Capítulo sobre Composição de Funções e Derivadas

CAPTEULO ROVALE TASER RS YAS PBUINGCHEIS ERIM COS CCIATS Poy Wesner Lorne 1 Problema Sabese que a producao p de celulas no sangue depende do numero x de granulocitos um tipo de leucocitos presentes segundo a formula 1 px Axsesxr sendo A s e r constantes Encontrar dp dx Solucao A funcao px envolve o produto de uma funcao exponencial por uma polinomial Mas nao e apenas isto A funcao exponencial em questao apresenta a forma esxr que e mais complexa do que a formulacao elementar de uma funcao exponencial ex mostrando que nao basta a regra do produto para calcular a derivada da funcao 1 No presente caso e necessario considerar que sxr e uma funcao de x Neste sentido denotando fx sxr temos esxr efx Isto e a expressao representa a exponencial de uma funcao Este tipo de combinacao de funcoes funcao de uma funcao e chamada funcao composta e sera abordada neste capıtulo Em primeiro lugar vamos compreender a composicao de funcao como uma operacao que representa a aplicacao consecutiva de duas funcoes reais Considere por exemplo uma calculadora Acionando as teclas 2 x2 e 1x nesta ordem vocˆe realizara uma composicao de funcoes que resultara em 0 25 pois a funcao 1x sera aplicada sobre o resultado de x2 sobre x 2 isto e 2 x2 4 1x 0 25 Gerneralizando dadas as funcoes g A R e f B R com gA B definimos a composicao de f por g como f gx fgx x R O exemplo da calculadora transcrito na simbologia acima fica assim 2 gx 4 fx 0 25 Ou seja consideramos aqui gx x2 e fx 1x 2 Exemplo 1 Dadas as fungoes fx e gx determinar f o gz a fa eg22 Solucto f 90 fll Fle 5 b fx cosx e ga 12 Solugdo fo gx fg FA x cos1 2 c fx Vx e ga sen x Solugao fo gx fgx Fsenx ysen 2 Exemplo 2 Em cada item dada a fungao Cx encontrar fx e gx tais que Ct fe g2 a Cx V2a 2441 c Cx e 1 b Cx tg V2 d C2 cosx Solugao Para este exemplo consideraremos uma forma mais simplificada para as fungdes compostas fgx fu na qual Isto significa trocar gx por u Esta operacao 6 chamada mudanca de varidvel e ajuda a resolver o problema Veja a w 22 27 1 fu Jus fx Vre gx 22 2741 b u Va flu tg u f tg x e ga Ve c uaea flu e fr e e gx 242 d ucosxz fu fr e gx cosz 3 c Para pensard Clique AQUI para manipular funcoes compostas Exercıcio 1 Considere as funcoes fx gx e hx com valores na Tabela 1 x 0 1 2 3 4 5 fx 1 2 3 4 5 0 gx 0 3 5 4 2 1 hx 2 1 0 3 5 4 Tabela 1 Imagens de fx gx e hx Determine a f g0 b f h1 c g h4 d h g3 e h f5 f g g2 Exercıcio 2 Dadas fx e gx determinar f gx e g fx a fx 2x 1 gx 1 cosx b fx x2 2x gx ex c fx 1 x gx x 1 d fx 1 1 x gx 1 x 1 e fx 3x 1 gx x 1 f fx sen x 1 gx 1 x Exercıcio 3 Dada Cx encontrar uma decomposicao Cx f gx a Cx 1 x x2 b Cx cosex 2 c Cx 2 sen x 1 d Cx 1 x 1 x2 1 x3 e Cx sen cosx f Cx eex Antes de vermos como se calcula a derivada das funcoes compostas e preciso lembrar que a derivada de uma funcao fx e definida em um ponto x a desde 4 que fx seja continua em a No entanto nao é dificil ver que a continuidade é preservada na composicao de fungoes isto é Teorema 1 Se gx for continua em ae fx for continua em ga entao fog zx sera continua em a Demonstragao Com efeito f o gx esta definida em a pois g esta definida em a e f esta definida em ga Além do mais limf 0 gx f ga porque x a wa implica em gx ga pela continuidade de gx E por sua vez fgx fga pela continuidade de fx a A regra de derivacaéo para as fungoes compostas é a seguinte Teorema 2 Regra da cadeia Sejam gx fungao derivavel em a e fx de rivavel em ga Entao f9x fg 9 Demonstragao Considere como no Exemplo 2 a mudanga u gx O Teorema 2 passa a ter o enunciado fu fu w Para facilitar a notacao usaremos 2 Au ux Ax ux Acoim 7 ree flute Au fw 4 ule Aa ula fu u Jim Au pa Ax Como Az 0 Au 0 podemos reduzir os dois limites em um unico limite fu Au fu ua Ax ux Ch en fe Ne pee I u u Ar30 Au Ax a flut Au Ff 1 ee os Jim a A simplificagéo usou a equagao 2 4 flue Ax fu Jim Usamos novamente a equagao 2 F a 5 Exemplo 3 Calcular a derivada de fx V3a3x21 Solugdo Faga u 3x a 1 donde fu u Aplicando a regra da cadeia teremos 1 3 Pi gy 3 Vi san Agora devemos calcular u temos u 32 a2 1 donde uw 327 21 Substituindo u e u em 3 obtendo 3a a41 P 2303 41 23 2 Exemplo 4 Calcular a derivada de fx cos x x 2 Solucdéo Faca u x3 j donde fu cosu Aplicando a regra da cadeia x 4 cosu sen w wu Agora devemos calcular u temos u 23 224 donde ul 23a3 4 4 2a 23 V3 82 Substituindo u e u em 4 obtendo fw sen a3 2a4 23a7 73 82 Exemplo 5 Calcular a derivada de fx e Solugao Denote u cosx Com isto 5 Fu et et et vu etal Agora u sen x Substituindo u e u em 5 obtemos fx sen 2 eS 6 xe Exemplo 6 Calcule a derivada de fx costa através de uma combinagao cosx das regras do produto quociente e cadeia Solugao Em exercicios desta natureza devemos ter o cuidado com a organizacao Em primeiro lugar considere u re e v cosx Estas substituigdes servem para usarmos a regra do quociente Para isto precisamos determinar u e v Todavia o calculo de wu exige regra do produto e 0 calculo de v exige regra da cadeia Facamos por partes 1 Calculo de xer Considere u x e v e Entao u 1 e v e Pela regra do produto temos xe 1ee e14 2 2 Calculo de cosx3 Faca u x donde cosx cosu Pela regra da cadeia cosu senuu sen2 327 32sen 2 ret 3 Volta ao calculo de cosx Dos itens anteriores ja sabemos que euxe ew e12 e v cosz e uv 327sen 2 Pela regra do quociente e1 a cos2 xe 3xsen 2 fa eee cos2 e 1 2 cosa 32sen x 7 cos 23 7 Exemplo 7 Use a regra da cadeia duas vezes para calcular a derivada de fx sen 3x x 2 Solucao Se u sen 3x x2 2 entao fu Vu e portanto rl Pausa para o calculo de sen 32 x 2 Faca u 327 a 2 Entao u 6x 1 donde sen u cosu u cos3a a 2 6x 1 Volta ao cdlculo de sen 3x2 2 7 1 1 1 c08327 x 2 62 1 2sen 32 x 2 6x 1 cos3a x 2 2sen 3a x 2 Exercicio 4 Considere as funcgdes fx e gx e suas respectivas derivadas com valores na Tabela 2 of 3 3 5 9 3 9 12 1 8 Tabela 2 Valores para fx gx fx e gz Determine f 0 g0 e 90 f3 8 Exercicio 5 Use as derivadas de fx x e gx Vx para calcular a de fog 2 Exercicio 6 Calcule a derivada de cada fungao que segue a pt i k Mp e ww Mh 8 8h 1 0 w 148 5 c 2x 2a 1 m Gn 1 i d fx rvsen x 1 Tae c w0 te 38 f Ct 2te4 n Fx sen erost 8 fe sen 0 wt sen cost u 2 p Ex 8 h Pt tsen 7 v 1 amyun de a fe seevaye j Bx sen cosx 1 Pn een Exercicio 7 Derivar a funcio 1 do problema que introduziu este capitulo Exercicio 8 Seja fx uma funcao derivavel em todo ponto x R e fx 0 Determine a derivada de a fx c e sen fx f 7 f2 b Vf x d ef f ffx 9 Respostas dos exercicios propostos Exercicio 1 a 1 b 2 c 1 d 2 e 2 f 1 Exercicio 2 a fogx 21 cos2 1legofx 1 cos2z 1 b fo gx e 2c e go fa e 1 1 c fog4 Vrri e go fx V a fe ge e go fa 5 ec fogz VVa1legofzVVre11 f fo gx sen2 2x e go fz 1sen x 1 Exercicio 8 a fv VEe gle 122 b fx cosx e ga e 2 c fx e gx senx 1 a flv rta2420 gx e fx sen x e gx cosx f fv e e gx e Exercicio 4 fo g1 12 e go f3 120 Exercicio 5 vn a p2 2 3 fo gx 3V2 Da 5v2 10 Exercicio 6 1 1 1 a pt 2r1 cos h Pt sen 3Vh 3h 1 i Vn 2n1 c 2x 4008 a 1 Ayn n vn x cos x ON d fa sen x j B2 sen 2 cos cosz c w0 6 sec 36 t wo 7 k Mp ere e w0 6sec g il 1 f Ct 2e4 3081 0 Kp vee 3 3 2a 1 p a 2 2n 1 n Fx e8l cos ecoste sen e 0 wt 2t cos t cos t 3tsen t sen t 1 2 cosec x 2 cotg a By eee eee sec Z ate z tg 2 sec q f rr L2r r Fn e sec n te n 2n Exercicio 7 px Asxse7st ren Exercicio 8 a 2faf2 c 1 te e fx cos fx Ha Fa Yo Vie a feel f PF F 11