Atividade Avaliativa de Cálculo Diferencial e Integral - Integração e Área sob Gráfico

Atividade Avaliativa 5 Cálculo Diferencial e Integral Questão 1 Calcule as integrais abaixo usando o método de substituição ou integração por partes a ln𝑥𝑑𝑥 e𝑥3𝑒3𝑥𝑑𝑥 b 𝑒𝑥 𝑒𝑥3𝑑𝑥 fln1 𝑥𝑑𝑥 c 𝑥3𝑥2 1𝑑𝑥 g𝑒𝑥cos 𝑥 2𝑑𝑥 d cos1 3𝑥𝑑𝑥 h𝑥𝑒3𝑥𝑑𝑥 Questão 2 Calcule o valor da área sob o gráfico de 𝑓𝑥 𝑥𝑠𝑒𝑛5𝑥 para 0 𝑥 2𝜋 Gráfico de 𝑓𝑥 𝑥𝑠𝑒𝑛5𝑥 Cálculo 1 a lnxdx temos lnxdx 1lnxdx lnx1dx ddx lnx 1dx dx C lnxx 1x x dx C lnx x dx C x lnx x C lnxdx x lnx x C b ex ex 3 dx façamos y ex 3 derivando ddx y ex dx dy ex logo temos ex ex 3 dx ex y dy ex dy y lny C lnex 3 C ex ex 3 dx lnex 3 C c x3 x2 1 dx façamos y x2 1 dy 2x dx dx dy 2x e também temos x2 y 1 logo x3 x2 1 dx x3 y dy 2x 12 x2 y dy 12 y1 y dy Continuidade x3 x2 1 dx 12 y 1 y dy 12 y32 y12 dy 12 25 y52 23 y32 C 15 x2 152 13 x2 132 C x3 x2 1 dx x2 152 5 x2 132 3 C d cos13x dx façamos y 1 3x dy 3 dx dx dy 3 e temos cos13x dx cosy dy 3 13 cosy dy 13 seny C 13 sen13x C cos13x dx sen13x3 C e x3 e3x dx façamos inicialmente y 3x dy 3 dx dx dy 3 logo x3 e3x dx y33 ey dy 3 181 y3 ey dy Agora nos ateremos a seguinte integral y3 ey dy A qual integraremos por partes Com efeito y3 ey dy y3 ey dy ddy y3 ey dy y3 ey 3 y2 ey dy Para i temos y2 ey dy y2 ey dy ddy y2 ey dy dy y2 ey 2 y ey dy Para ii temos y ey dy y ey dy ddy y ey dy dy y ey ey dy y ey ey iii Pondo iii em ii e em i obtemos y3 ey dy y3 ey 3 y2 ey 2 y ey ey C y3 ey 3 y2 ey 6 y ey 3 ey C ey y3 3 y2 6 y 3 C y3 ey dy ey y3 3 y2 6 y 3 C Logo com x y 3 y 3 x temos x3 e3x dx 181 e3x 27 x3 27 x2 18 x 3 C f ln1x dx Pondo u 1x temos du dx o que nos dá dx du Logo ln1x dx lnu du lnu du u lnu u c que segue do item a Logo temos em x ln1x dx 1xln1x 1x c g ex cosx2 dx Primeiramente fazemos u x2 logo temos du dx2 dx 2 du com isso temos ex cosx2 dx 2 e2u cos u du Vamos resolver e2u cos u du Integrando por partes temos e2u cos u du cosu e2u du ddu cosu e2u du du cosu e2u2 12 senu e2u du ci Para ii temos senu e2u du senu e2u du ddu senu e2u du du senu e2u2 12 cos u e2u du cii Pondo ii em i temos e2 u cos u du e2 u cos u2 12 e2 u2 senu 12 cos u e2 u du C Logo e2 u cos u du 1 14 e2 u cos u2 e2 u senu4 C e2 u cos u du e2 u 2 cos u5 sen u5 C₁ C₁ C 45 h x e3 x dx Basta fazermos integração por partes x e3 x dx x e3 x dx ddx x e3 x dx dx x e3 x3 13 e3x dx C x e3 x3 e3 x9 C x e3 x dx x e3 x3 e3 x9 C 2 fx x sen 5x 0 x 2 π Façamos 5x u du 5 dx dx du5 e x u5 Logo fx u5 senu em 0 u5 2 π 0 u 10 π E assim a área do fx em 0 x 2 π é ₀²π x sen x dx ₀¹⁰π u5 senu du 125 ₀¹⁰π u senu du com u está num intervalo positivo temos ₀¹⁰π u senu du ₀¹⁰π u senu du Expandindo e eliminando os módulos ₀¹⁰π u sen u du ₀π u sen u du π2π u senu 2π3π u senu du 3π4π u sen u du 05π u senu du 5π6π u senu du 6π7π u sen u du 7π8π u senu du 8π9π u senu du 9π10π u senu du A primitiva é u senu du u sen u du ddu u senu du du u cosu senu Daí temos que i 0 to π u senu du u cosu senu 0 to π π ii π to 2π u senu du u cosu senu π to 2π 3π iii 2π to 3π u senu du u cosu senu 2π to 3π 5π iv 3π to 4π u senu du u cosu senu 3π to 4π 7π v 4π to 5π u senu du u cosu senu 4π to 5π 9π vi 5π to 6π u senu du u cosu senu 5π to 6π 11π vii 6π to 7π u senu du u cosu senu 6π to 7π 13π viii 7π to 8π u senu du u cosu senu 7π to 8π 15π ix 8π to 9π u senu du u cosu senu 8π to 9π 17π x 9π to 10π u senu du u cosu senu 9π to 10π 19π Logo 0 to 10 u senu du π 3π 5π 7π 9π 11π 13π 15π 17π 19π 100π Então A² 0 to 2π fx dx 125 0 to 10 u senu du 100π 25 4π E a área é 4π