Aula 20 - Conjuntos de Nível e Mais Alguns Exemplos de Funç Vetoriais

1 Aula 20: Conjuntos de n´ıvel e mais alguns exemplos de fun¸c˜oes vetoriais Vers˜ao 1.0 Objetivo Ao final desta aula, vocˆe dever´a ser capaz de: • Calcular conjuntos de n´ıvel de fun¸c˜oes vetoriais de v´arias vari´aveis. • Parametrizar superf´ıcies simples. Conjuntos de n´ıvel Vocˆe j´a sabe que, dada uma fun¸c˜ao f : A ⊂ Rn −→ R, o conjunto de n´ıvel c de f ´e o subconjunto dos elementos do dom´ınio A que s˜ao levados por f em c. f−1(c) = {x ∈ A ; f(x) = c }. A nota¸c˜ao x, em negrito, serve para lembrar-nos de que x ´e um vetor de Rn. Em particular, se n = 2, esses conjuntos s˜ao chamados curvas de n´ıvel e, se n = 3, s˜ao as superf´ıcies de n´ıvel. Nesta se¸c˜ao vamos considerar esse conceito para o caso das fun¸c˜oes vetoriais de v´arias vari´aveis. Considere F : Ω ⊂ Rn −→ Rm uma fun¸c˜ao vetorial definida no subcon- junto aberto Ω de Rn e seja a = (a1, a2, . . . , am) ∈ Rm. O conjunto F −1(a) = {x ∈ Rn ; F(x) = a } ´e chamado conjunto de n´ıvel a de F. Lema Se F1, F2, . . . , Fm : Ω ⊂ Rn −→ R s˜ao as fun¸c˜oes coordenadas da fun¸c˜ao F, ent˜ao F −1(a) = F −1 1 (a1) ∩ F −1 2 (a2) ∩ . . . ∩ F −1 m (am). 2 Em outras palavras, o conjunto de nivel de F é a intersecao dos corres- pondentes conjuntos de nivel de suas fungdes coordenadas. Demonstracao: Basta observar que a equacao vetorial F'(x) = a é equivalente ao sistema de equac6es F(x) = Fy (a1, %2,...,%n) = at F(x) = Fo(x1,22,...,2n) = ag Frlx) = Fy(v1,%2,---,%n) = am. A solucao do sistema é a intersecao das solucées de cada equacao. UO Veja que o sistema F(x) = a tem n incégnitas (o mesmo numero que a dimensao do dominio de F') e m equagées (0 mesmo ntimero que a dimensao do contradominio de F’). Parece complicado, mas nao é nada que um exemplo nao esclarega. Exemplo 20.1. Seja F : R? —> R? a funcao do plano no plano definida por F(x, y) = (x? + 4y?, y — 2”). Vamos determinar o conjunto de nfvel (4,—1) de F. Veja, nesse caso, a funcaéo tem duas coordenadas e depende de duas varidveis, x e y, ou seja,n =m = 2, x = (x,y) e a= (4,—1). Queremos resolver a equacao vetorial F(x) = F(z,y) = (4,-1) equivalente ao sistema de equacoes (nao-lineares) r+4y? = 4 y— 2x = -l. Determinar os conjuntos de nivel pode ser uma tarefa cheia de emocoes, uma vez que os sistemas (em geral nao-lineares) podem ser dificeis de re- solver. De qualquer forma, nao custa tentar. Neste caso, vamos adotar a seguinte estratégia: isolamos x? na segunda equacao e o substitufmos na primeira, obtendo uma equacao do segundo grau em y. Parece bom, nao é? y-x=-1 —> a =ytl. 3 Substituindo na primeira equacao: yt14+4y2=4 <— 4y?+y-3=0. —-l+v14+16x3 —-1+/49 —-1+7 1 3 => —_—.._ 0" = = —_—_—__— = — ou _-,. y 8 8 8 4 Se y = —1, a equacdo y = x? — 1 nos diz que x = 0. 3 7 Se y= pa equacdo y = x7 — 1 nos da x = + va Portanto, F-\(4, —1) = { (0, —1), (-V7/2, 3/4), (V7/2, 3/4) }. Veja nas figuras a seguir a interpretacao geométrica do que acabamos de determinar. Figura 20.01 Figura 20.2 Curva de nivel 4 da fungao Curvas de nivel —1 da funcao Fi(x,y) = 2? + 4y?. Fy(x,y) =y— 2. Figura 20.3 Sobreposicao das duas curvas determinando os pontos (+V/7/2, 3/4) e (0,/,—1). 4 Atividade 20.1. Seja G : R? —> R? a funcao definida por G(z, y) = (x? +y?, y—x-1). Determine 0 conjunto de nivel (1, 0) de G. Exemplo 20.2. Vamos considerar agora um caso em que o dominio da funcao é tridimen- sional. Vamos determinar o conjunto de nivel (0, 2) da fungao F(x, y, z) = (2? + y? + 27-42, 2+” -2). Neste caso, vamos resolver um sistema de duas equacoes e trés incdgnitas: et+y+22-4z = 0 z+a-2 = 2. Essas equacoes definem uma esfera e um plano, respectivamente. A primeira equacao, x? + y? + 27 — 4z = 0, pode ser reescrita como x? + y* + (z — 2)? = 4, recompondo o quadrado (z — 2)? = 22 + 4244, Portanto, a superficie de nivel 0 da primeira funcgaéo coordenada de F' é uma esfera de raio 2 com centro no ponto (0,0,2), que é tangente ao plano zy, de equacéo z = 0. yO Figura 20.4 Superficie de nivel 0 da funcao Fi(z,y,z) =a? + y? 4+ 27-42. A equacao x + z = 4 nao impoe qualquer restricéo 4 varidvel y. Isso significa que ela define um plano paralelo ao eixo Oy, que é a superficie de nivel 2 da segunda funcao coordenada de F’. 5 Figura 20.5 Superf´ıcie de n´ıvel 2 da fun¸c˜ao F2(x, y, z) = z + x − 2. O conjunto de n´ıvel (0, 2) da fun¸c˜ao F ´e a interse¸c˜ao da esfera com o plano. Nesse caso, esse conjunto ´e uma curva fechada em R3. Figura 20.06 Superf´ıcies de n´ıvel das fun¸c˜oes coordenadas. Figura 20.7 Conjunto de n´ıvel (0,2) da fun¸c˜ao F. Uma maneira de descrever analiticamente este conjunto ´e encontrando uma de suas parametriza¸c˜oes. Isso, para quem n˜ao tem pr´atica, pode ser um pouco dif´ıcil. No entanto, n˜ao custa tentar, vocˆe n˜ao acha? Vejamos. A estrat´egia ´e muito parecida com a que usamos no exemplo anterior, para resolver o sistema de equa¸c˜oes. Vamos nos livrar de uma das vari´aveis. Veja: usando a segunda equa¸c˜ao, obtemos z = 4 − x. Substituindo na primeira equa¸c˜ao, temos x2 + y2 + (4 − x)2 − 4(4 − x) = 0, que ´e equivalente a 2x2 − 4x + y2 = 0. 6 Recompondo o quadrado, obtemos (x − 1)2 + y2 2 = 1. Essa equa¸c˜ao define, no plano z = 0, uma elipse. A interpreta¸c˜ao geom´etrica ´e a seguinte: essa elipse ´e a proje¸c˜ao no plano xy da curva localizada no espa¸co. Figura 20.8 Conjunto de n´ıvel de F e sua proje¸c˜ao no plano xy. Uma outra maneira de interpretar esse procedimento ´e a seguinte: a equa¸c˜ao (x − 1)2 + y2 2 = 1 define, em R3, um cilindro el´ıptico, paralelo ao eixo Oz, que cont´em o conjunto de n´ıvel da fun¸c˜ao F. Assim, a interse¸c˜ao desse cilindro com o plano z = 0 ´e a elipse plana da figura anterior. Figura 20.9 Cilindro definido pela equa¸c˜ao (x − 1)2 + y2 2 = 1. 7 Iniciaremos o processo de parametrizacao pela elipse do plano z = 0, definida por 2 (w-1? +2 = 1, 2 O truque consiste em lembrar que cos?t +sen?t = 1. Veja, basta fazer os ajustes necessarios: x—-1l = cost Yy = \V2sent. Realmente, 2 2 2sent (x1)? +2 = cos? t+ (2 8ent)? =1. 2 2 Assim, a fungao vetorial B(t) = (1+ cost, V2sent, 0) parametriza a elipse. Para obtermos uma parametrizacao da curva de cima, que é 0 queremos, precisamos descrever 0 movimento na coordenada z em funcao do parametro t. Ora, a equacao z=4-¢2 nos diz que devemos colocar z = 4 — 1 — cost. Assim, a fungao vetorial a(t) = (1+ cost, V2sent, 3— cost) é uma parametrizacgdéo do conjunto de nivel (0, 2) da funcao F’, nesse caso, uma curva fechada. Com o sucesso desse exemplo em mente, nao deixe de tentar vocé mesmo encontrar uma dessas parametrizacoes. Aqui esté uma boa oportunidade. Atividade 20.2. Considere G : R? —> R? a funcao definida por G(x,y,z) = (#? +y?—2z, 2-2 +1). 8 Descreva o conjunto de nivel (0, 1) de G, esbocando as superficies de nivel das correspondentes fungdes coordenadas. Encontre uma parame- trizacao para G~!(0,1) nos moldes do que foi feito no Exemplo 20.2. Muito bem! E hora de tratar de outro tema! Funcoes de R? em R?® — superficies novamente Assim como as imagens das fungoes vetoriais de uma varidvel sao curvas (no plano ou no espaco tridimensional, dependendo do caso), as imagens de funcdes de subconjuntos do plano R? em R® sao, em geral, superficies. Essa é uma outra forma de descrever superficies em R*®. Lembre-se: anteriormente descrevemos certas superficies em R* como graficos de funcdes de subconjuntos do plano R? em R e como conjuntos de nivel de funcées de subconjuntos de R® em R. Exemplo 20.3. O paraboloide definido pela equacao z=a'°+ y" +2 pode ser descrito explicitamente como o grafico da funcao f: R — R (x,y) —> x+y? +2, implicitamente como a superficie de nivel 0 da funcao g: R° — R (z,y,z) > aty?—2+2 e parametricamente como a imagem da funcao vetorial F: R —-; R (zy) > (a, y, a +y? +2). E verdade que esse exemplo parece um pouco artificial, mas vocé precisa se acostumar com esta nova maneira de expressar as superficies, de maneira gradual. O préximo exemplo devera trazer um pouco mais de novidade. 9 Exemplo 20.4. Considere G : R? —> R? a funcdo definida por G(u,v) = (ut+tv,u—vt+2,u? + 2u—v? + 2Qv). Queremos descobrir como é a imagem de G em R°. Antes de prosseguirmos, uma palavra sobre a escolha dos nomes das varidveis independentes u e v. Assim como em todas as outras profissdes, os matematicos tém certos costumes e usos. Assim como preferimos a letra t¢ para representar 0 parametro de uma curva, como em a(t) = (t, cost, sent), é comum usar varidveis u e v nas parametrizacoes de superficies. Vai bem com ft, U, U,... Este caso apresenta maior dificuldade do que a situacao apresentada no exemplo anterior, no qual as duas primeiras funcgoes coordenadas definiam, simplesmente, a inclusdo de R? em R®, coordenada a coordenada. Agora, as duas primeiras funcgdes embaralham, pelo menos um pouco, as varidveis u e v. Sem problemas! Vamos usar a estratégia de reodenar as coordenadas. Antes de qualquer acao, vamos revisar o plano geral. Pretendemos trocar as varidveis u e v por novas variaveis, que por falta de mais imaginacao chamaremos s e t, de tal forma que a funcao G fique mais parecida da funcgao do exemplo anterior. Em termos mais técnicos, queremos construir uma fungao (u, v) = y(s, t), de R? em R?, tal que a composicao H(s,t) = G(y(s,t)) = G(u(s,t), v(s,t)) seja do tipo (s, t, g(s,¢)). t U « Y G —" —" 8 u x y H=Goy ES Esquema da composicao das funcoes G e y. Acreditem, isso 6 menos complicado do que parece. Veja, uma vez estabelecida a estratégia, basta seguir a pista. Queremos UtvU = §s u-v+2 = ¢. 10 Portanto, vamos resolver o sistema. Somando as duas equacoes, obtemos 2u+2 = s+t. Portanto, st+t = _ 41, « 2 Agora, usando a equacéo u + vu = s, obtemos v=s—ue s—t = — 1. v 5 + Assim, obtivemos a formula que define a fungaéo (mudanga de coorde- nadas) y : R? — R?: t —t (u(s, t), v(s,t)) = (s,t) = S —1, so + 1). 2 2 Agora, fazemos a composicéo H = Go y, lembrando que G(u,v) =(utv,u—vt+2, uv? + 2u— v7 + 2v). S+t s—t H(s,t) = G(u(s,t), v(s,t)) = a(S -1, $+ 1) S+t s—t S+t s—t = (Ho + th Fol en stt 2 st+t s—t 2 s—t (aay na (SE) (Gta) ea(t)) = (s,t, st). Para comprovar a igualdade na ultima coordenada, vocé precisara de uma folha de rascunho. Agora, podemos ver a imagem da funcdo G em R?, que é a mesma imagem da fungao H, que é um hiperboldide (uma sela). Observe que G(—1,1) = (0,0,0). Na figura a seguir vocé podera ver a imagem por G do quadrado [—3, 1], [—1,3], cujo centro é 0 ponto (—1,1), aplicado por G na origem de R®. 11 Figura 20.10 u v Reticulado com retas horizontais e verticais com centro em (−1, 1) G −→ Figura 20.11 Imagem por G do reticulado `a esquerda. Veja, ainda, que a imagem das retas horizontais, definidas por v = cons- tante, s˜ao as par´abolas cujas concavidades s˜ao voltadas para cima, enquanto a imagem das retas verticais, definidas por u = constante, s˜ao par´abolas cu- jas concavidades s˜ao voltadas para baixo. Veja mais um exemplo. Exemplo 20.5. Vamos descobrir qual ´e a imagem do retˆangulo { (u, v) ∈ R2 ; 0 ≤ u ≤ π e 0 ≤ v ≤ 2π } pela fun¸c˜ao E(u, v) = (sen v cos u, sen v sen u, cos v). A profus˜ao de senos e cossenos nessa f´ormula pode deix´a-lo um pouco apreensivo. No entanto, vamos abord´a-la com calma. Note que a terceira coordenada n˜ao depende de u. Isso quer dizer que, se fixarmos v, igualando a alguma constante, e fizermos u variar, obteremos uma curva plana paralela ao plano xy, pois a vari´avel u aparece nas duas primeiras coordenadas. Vamos levar essa id´eia um pouco mais adiante. Ainda com v fixo, as duas primeiras coordenadas definem uma curva do tipo k cos u, na primeira coordenada, e k sen u, na segunda coordenada, onde k ´e sen v. Dessa forma, a imagem das retas horizontais s˜ao c´ırculos de raio sen v e com centro em (0, 0, cos v). 12 Isso tamb´em nos diz que a imagem de E em R3 ´e uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao em torno do eixo Oz. Portanto, para descobrirmos que superf´ıcie ´e essa, basta que fa¸camos um corte num semiplano que contenha o eixo Ox. Veja, se fizermos u = π/2, por exemplo, teremos sen u = 1 e cos u = 0, e a curva obtida, em fun¸c˜ao de v, ser´a dada pela equa¸c˜ao α(v) = E(π/2, v) = (0, sen v, cos v). Quando v varia de 0 at´e π, essa curva tra¸ca um semic´ırculo no semiplano yz, com y ≥ 0, com extremidades nos pontos (0, 0, 1) e (0, 0, −1). Ora, isso quer dizer que a imagem do retˆangulo [0, 2π]×[0, π] ´e a esfera de centro na origem e raio 1. Figura 20.12 u v Reticulado com retas horizontais e verticais, de largura 2π e altura π. E −→ Figura 20.13 Imagem por G do reticulado `a esquerda. Os segmentos de retas horizontais, de comprimento 2π, s˜ao levados por E nos paralelos e os segmentos de retas verticais s˜ao levados por E nos meridianos, semic´ırculos que ligam o ponto (0, 0, 1) (P´olo Norte) ao ponto (0, 0, −1) (P´olo Sul). 13 Sy ANN a | | Ss SI (ea) <9 C\H | Wy CES WY > SY Figura 20.14 Figura 20.15 Imagens por £ das retas horizontais. Imagens por FE das retas verticais. Comentarios finais Nesta aula, vocé aprendeu mais coisas do que pode parecer, a principio. A leitura cuidadosa desses exemplos, especialmente daqueles que tratam de parametrizacao de superficies, renderam bons frutos num futuro breve. Nao deixe de ler, também, as solucoes das atividades propostas ao longo da aula, apresentadas logo a seguir, nem deixe de trabalhar com os Exercicios Propostos (EPs). Solucoes das atividades propostas Atividade 20.1. Seja G: R? —> R? a funcao definida por G(z, y) = (x2 +y?, y—x—-1). Determine o conjunto de nivel (1, 0) de G. Solugao: Nesse caso, temos de resolver o sistema de equacdes y-x-l = 0. Isolando y na segunda equacao e substituindo na primeira, obtemos a equacao et+e= 0, 14 que tem raizes xr = 0 e x = 1. Essas solucodes correspondem aos pontos (0,1) e (1,0), que formam o conjunto de nivel (1,0) da fungao G. G~*(1,0) = {(0,1), (1,0) }. Geometricamente, esses dois pontos sao comuns a reta y = x + 1 € ao circulo definido por x? + y? = 1, de raio 1 e centro na origem. Atividade 20.2. Considere G : R? —> R? a funcao definida por G(x, y, 2) = (x? +y? 2, e— 2x4 + 1). Descreva o conjunto de nivel (0, 1) de G, esbocando as superficies de nivel das correspondentes fungdes coordenadas. Encontre uma parame- trizacao para G~1(0,1) nos moldes do que foi feito no Exemplo 20.2. Solugao: Neste caso, temos de resolver o sistema e+y—z = 0 z—-2a4+1 = 1, de duas equacoes e trés incdgnitas. A primeira equacado, z = x7 + y?, define um paraboloide de revolucao, que é a superficie de nivel 0 da primeira funcao coordenada. A superficie de nivel 1 da segunda funcaéo coordenada é um plano. Portanto, o conjunto de nivel que procuramos é a intersecao dessas duas superficies. Vamos determinar uma parametrizacéo dessa curva. Comecamos eli- minando a varidvel z, que significa, geometricamente, projetar a curva no plano z = 0, por exemplo. A primeira equacéo nos dé z = 2x. Substituindo na segunda equacao, resulta 2? + y? — 2x = 0. Recompondo o quadrado «x? — 2x, obtemos (x —1)? +9? = 1, um circulo de centro na (1,0,0), de raio 1, contido no plano z = 0. Podemos parametriza-lo com a funcao B(t) = (1+ cost, sent, 0). 15 Para determinarmos a curva que procuramos, basta obter a parame- triza¸c˜ao de z, usando a equa¸c˜ao z = 2x. Assim, uma parametriza¸c˜ao do conjunto G−1(0, 1) ´e dada por α(t) = (1 + cos t, sen t, 2 + 2 cos t). Figura 20.9 Conjunto de n´ıvel (0, 1) da fun¸c˜ao G(x, y) = (x2 + y2 − z, z − 2x + 1). A imagem da curva α ´e a interse¸c˜ao do parabol´oide com o plano, que se projeta no plano z = 0 na imagem da curva β, o c´ırculo de centro em (1, 0, 0) e raio 1, tangente ao eixo Oy. Exerc´ıcios 1. Determine o conjunto de n´ıvel indicado para cada uma das fun¸c˜oes a seguir. a) f(x, y) = (y − x2, y − x), (−4, 2); b) g(x, y) = (x2 + y2, x2 − y), (1, 1); c) h(x, y) = (x (x + y), xy − 1), (5, 0). 2. Determine o conjunto de n´ıvel indicado para cada uma das fun¸c˜oes a seguir. Se o conjunto for uma curva ou um conjunto de curvas, determine correspondentes parametriza¸c˜oes. 16 a) F(x, y, z) = (x + y − z, x − y + 3z), (2, −2); b) g(x, y, Z) = (x2 + 2y2 − 2z2, y), (2, 1); c) H(x, y, z) = (x2 + y2 − z2 z2), (1, 3); d) I(x, y, z) = (x − y, x2 + y2 + z2), (0, 2); e) J(x, y, z) = (x2 + z2, x + z + 2y), (1, 2); f) K(x, y, z) = (x2 + y2, z2, x − y), (1, 4, 0). 3. Considere ϕ : R2 −→ R3 a fun¸c˜ao definida por ϕ(u, u) = (cos u, sen u, v). a) Mostre que a imagem de ϕ est´a contida no cilindro x2 + y2 = 1. b) Fa¸ca um esbo¸co da imagem por ϕ do conjunto { (u, v) ∈ R2 ; 0 ≤ u ≤ π, −2 ≤ v ≤ 2 }. 4. Considere ψ : R2 −→ R3 a fun¸c˜ao definida por ψ(u, v) = ((v2 + 1) cos u, (v2 + 1) sen u, v). a) Determine as imagens por ψ das retas v = −2, −1, 0, 1, 2. b) Determine a imagem por ψ das retas u = 0 e u = π/2. c) Fa¸ca um esbo¸co da imagem de ψ. 5. Determine a imagem pela fun¸c˜ao F(u, v) = (u + v, u − v, 4u + 2v) do quadrado [0, 1] × [0, 1] e fa¸ca um esbo¸co desse conjunto. 6. Considere a fun¸c˜ao definida por G(u, v) = (u, 2u2 + uv + v2, u + v). Determine a imagem por G do quadrado [−1, 1] × [−1, 1].