Aula Cálculo 3 - Módulo 4 - Tutor 2022-1

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matematica e Estatistica Departamento de Matematica Aplicada Calculo III-A — Modulo 4 — Tutor 3 pl pV1—2z2 Exercicio 1: Calcule a integral iterada | | | ze’ dadzdy. 0 Jo Jo Solucao: Temos, 3 pl pVI=2 3 pl 3 1 1/2 [I] ze! dededy = ff sel VT Fdedy = | e | (1 — 2”) zdzdy = 0 Jo Jo 0 Jo 0 0 3 1 3 1 1 2\ 1/2 1 2 2) 3/2 _ --;/ e | (1 — z*) (22) dedy = 3 f eS |(1 - 2%) | y= if, lp yj 173 --i/ € (0-1) dy = 5 le] =5(€ — 1) . Exercicio 2: Calcule /I/ em dxdydz, onde W éo conjunto0<2<1,0<y<xve0<2z< 1. w Solucao: Temos 2 2 l 2 /I/ e” dxdydz = / e | dzdxdy = / e” dxdy Ww Dry ° Dey O<ax<l , Lon onde Dry : { 0<y<x é a projecao de W sobre o plano xy. y 1 x Entao, 2 I 2 7 l 2 1 I 2 i dedyde = | e* | ayae = f code = 5 | e” (2x) dx = 0 0 0 2 Jo Ww —lfpe2])_ lea oy 1p =s5le J=5le ce’) = ze 1). Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 2 Exercicio 3: Escreva as seis integrais triplas iteradas para o volume do solido W limitado pelos planosy+2z2=1,y=2, x2 =O0e2z=0. Calcule uma das integrais. Solucao: Esboco do sodlido W : Esbocando os planos y + z = 1 e y = a, vemos que A = (0,0,1) e B = (1,1,0) so comuns aos dois planos. Entao, ligando-os temos a reta intersecao. Considerando que W é também limitado pelos planos x = 0 e z = 0, temos o esboco de W na figura que se segue. Zz 144 eh ae PS Tite a ae tbes hs oO plano « = 0 plano y = x eae , Os NS i ye planoy+2=1 ee gee a sate eats PA Peete cae: meyer nas eee eae sate Coe epee nate ( NO Rae TBR TER ty Bee f—planoz=0 SN r B Temos, V(W)= /I/ dxdydz . w Limites de integracao nas ordens dzdxdy e dzdydx: Projetando o sdlido W sobre o plano xy, encontramos o tridngulo Dzy. UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 3 y y=l y salem y = 1 y 1 1 1 z=0 ¢ / entra em x = 0 yY=u Se EM UES / salem 7 = y x x x O<a<l O<axr<y |. Temos D,,, : ~~ tipo 1) ou Dey : ~~ tipo Il). A reta que passa por (1, y) € Dz, e é paralela ao eixo z entraem W em z = 0 e sai de W em z=1-y. Entao,0O<z<1-y. z Ih AS : > LR _ be ON saiem z=1-—y NS Bett ies ee EON entra em z=0 Sct ch) 1 i : = MRT Hct Lather eta 1 ay? x Logo, l-y V(W) = IT dzdxdy . 0 Day Portanto: 1 pl pl-y a) V(W) = | / | dzdydx 0 Ja JO UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 4 l py pl-y b) V(W) = | | | dzdxdy 0 Jo Jo Limites de integracao nas ordens dadydz e dxdzdy: Projetando o sdlido W sobre o plano yz encontramos o triangulo D,,,. Zz 1% 1 AS NO > PREP bu pie se Meee eRe Ge es Ea ae Wee entra em x = 0 Skt Fe raha Re A eda a EN eg tga ALi ena aa i i i otal Vos fa3 “7 ee 1 Ree eet Rey y ee salemx=y S\f x Zz z jem z=1- 1 . 1 °a * y ) salem y=1-—z ytz=1 entra em y = 0 1 Y 1 Y entra em z = 0 O0<y<l 0<2<l1 Temos D,, : oS tipo |) ou D,, : ~~ tipo Il). mLo<e<iay MPONuPn =) gcyci—z2 (pel A reta que passa por (y,z) € D,, e é paralela ao eixo x entra em W em x = Oe sai de W em UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 5 x =y. Entao, 0 < x < y. Logo, y V(W) = ITI dxdydz. 0 Dy: Portanto: 1 pl-y py 1 pl-z py c) V(W) = | | | dxdzdy d) V(W) = | | | dxdydz 0 Jo 0 0 Jo 0 Limites de integracao nas ordens dydzdx e dydxdz Projetando o sdlido W sobre o plano xz, temos o tridngulo D,... Zz * ls I} AY ia entra em y = a fe EON saiem y=1-—z f Haier ASS BN rf AT ARERR eer UN ery oo NAPE eee SSE nc Wen Eom ; Degas eee Bee hee: i lee oa Ps He oy , es y Cer eae x Zz Zz 1 salem z=1-—2 1 » salem x=1-—z r+z=1 1 @& 1 2 entra em z = 0 UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 6 O0O<a<l . J O0<cz<il . Temos D..: { 0<2<1-2 (tipo 1) ou Dz. : { 0<r<l-z (tipo Il). A reta que passa por (x,z) € Dy, e é paralela ao eixo y entra em W em y = x € sai de W em y=1—z. Entao, x <y <1-—<z. Logo, l-z V(W) = IT dydxdz . Diz Portanto: 1 1-2 l-z 1 l-z l-z sviry=f | / dydzde qviny=f ff dydad: 0 JO x 0 JO x Usemos 0 item (a) para calcular o volume de W. 1 pl pl-y 1 pl 1 241 vn=[] | dedyde = ff (1 ~y)dyae = | ys dx = 0 Ja JO 0 Ja 0 2J2 1 1 1 1 x? 1 x? x x? x? -| (1-5) -(2-5)] a= f (F-+F)ar= [5-545] = 1 1 1 1 = 73 tgqgl Exercicio 4: Esboce o solido W cujo volume é dado pela integral iterada 1 pl 1-y? I= | / | dzdydx 0 J Ve Jo e reescreva na ordem dadydz. Solucao: Temos, I= /I/ dadydz Ww 0<a<l ; _ 3. _ 42 . <a<l, ~ onde W = {(a,y,z) € R’; (a, y) © Dw, OS e<1-y }e Day | JE<y<l é a projecdo de W sobre o plano xy. UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 7 y y= 1 ° xz=0 y= Va VS 1 x De 0 < z < 1—y? vemos que W 6 limitado superiormente pelo cilindro parabdlico z = 1— y’ e inferiormente pelo plano z = 0. Assim o esboco de W esta representado na figura que se segue. z 1 cilindro y = /x ve cilindro parabdlico z = 1 — y? WwW i plano z = 0 > ( \\Pa/ y plano z = 0 \ x Para expressar a integral | na ordem dxdydz, devemos projetar W sobre o plano yz. Temos que D..: O<z<l “0s ysvl-2z ° UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 8 z 1 entra em x = 0 x WwW : 1 . 2 . (y, 2) entra em y = 0 saiem y= V1 —z saiem © = y ! \ | is SS 5 Baer bist aries ‘ 1 y \ 1 \ ; y x Além disso, a reta que passa por (y, z) € Dy, e € paralela ao eixo x entraem W em x = 0 e sai de W em x= y’. Logo, 0 < x < y?. Entao, y? 1 pVi—z py? I= ITI dadydz = | | | dadydz . 0 0 Jo 0 Dyz Exercicio 5: Use a integral tripla para encontrar o volume do solido a) W limitado pelo cilindro x = y? e os planos z=ONOer+z2=1; b) W limitado pelos planos z+y=8, z-y=8,x4=0,4=4e2z=0. Solucao: a) Esbocando 0 cilindro x = y? eo plano x + z = 1, vemos que A = (1,—1,0), B = (0,0,1) e C = (1,1,0) sao comuns. Ligando-os temos a curva intersecdo. Considerando que W é também limitado pelo plano z = 0, temos o esboco de W e sua projecao D sobre o plano xy representados na figura que se segue. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 4 — Tutor 9 y saiem x = 1 z 1 planox+z=1 Bil 5 =i entraem x =y ER Eat salem z=1-—2 cilindrow=y? fy we vests Ef - Die ft eS EE box ea Pee ee PI Seg PERSE SN | C x entra em z = 0 -l<y<l Temos W = {(x,y,z) ER’; (x, y)e De 0<z<1-ase D,, : { YP a 1: Portanto temos: - - 1-2 vw) = [ffav= ff | dedrdy = [ [(1 — 2) drdy = 0 1 pl 1 241 1 1 1 -/ / (1-2) dedy = [ je ay= | (1-5) — (v-4)| dy = -1 Jy? -1 21 y -1 2 2 1 1 _ 19 r) =|ty-¥ r] _ (4-3 1) -[.G yt) = |5y~ y+), ~7e 73 to) = 15— 1043 8 = 2 + ——_ =— — U.V. 30 15 UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 10 b) O esbo¢o do sdlido W esta representado na figura que se segue. z 34 ° plano z—y=8 re 8 LO Ww “\ planoz+y=8 8 ee eN [ Pearman ee GN 4 v x . ~ O0<a<4 Projetando W sobre o plano xz temos o retangulo D,. : Oc<r<8- A reta que passa por (x,z) € De € paralela ao eixo y entraem W em y = z— 8 e sai de W em y = 8 — z. Entao z—-8<y<8-—z. Portanto temos: 8-z vvr)= [ffav=[f | dydedz = f [(9— 2-248) ded2 = w pe Di: 4 p8 4 22 8 =2 [[(s—2)deaz =2 f | (— 2)dede =2 | 82-5 dx = 0 Jo 0 2 Jo Dez 4 4 =2 | (61 ~ 32) de = 2-32 | dx = 64-4 = 256 wv. 0 0 Exercicio 6: Calcule a massa do sdlido W no primeiro octante limitado por y = x7, y = 9, z =O, x=Oey+z=9 sea densidade é dada por J(z, y, z) = x. Solucao: Esbocando o cilindro y = x? e o plano y + z = 9 vemos que A = (3,9,0) e B = (0,0, 9) sao pontos comuns. Ligando-os temos a curva intersecao. Considerando que W é limitado pelos planos x = 0 e z = 0, temos o esboco de W ea sua projecao D sobre o plano xy na figura que se segue. UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 11 z y saiem y = 9 ob 9 cilindro y = x? Vs ae saiem z=9—y Peering Serge alano z 0 | a : D 9 entra em z = 0 SN y A reta que passa por (z,y) € De é paralela ao eixo z entra em W em z = 0 e€ sai de W em z=9-y. Entéo, 0<2<9-y. Logo, W = {(z,y,z) € B®; (x,y) € De 0< z < 9—Yy} onde 0O<24<3 , Dey f re <y <9 . A massa de W é dada por 9-y w= [f[[oou2av= [ffoav = ff | x dzdxdy = Ww Ww p °° 3 9 3 259 = [ [29 -y)aeay = [ | (9 y)dyde = | x |oy— + dx = 0 x 0 2 J 2? D 3 4 3 4 -/ x |(s1- >) — (90? - 5) Jar = [ «(5-927 +5) dx = 0 2 2 0 2 2 3 3 _ 8lz ag 3 _ _ [ae _ 9at “ _ -| (F -92°+ 5) ae = [FF - 9+ 5] = _ 81-9 9-81 Be BF a 4 4 12 4 #4 °°" Exercicio 7: Seja W um sélido limitado pelo cilindro x? + y? = 1, com z > 0, e pelos planos y = z e z = 0 com funcao densidade d(x, y, z) = y. Calcule: a) A massa de W. b) O momento de inércia em rela¢ao ao eixo z. Solucao: UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 12 a) Esbogando o cilindro xz? + y? = 1, com z > 0 e€ 0 plano y = z vemos que A = (1,0,0), B = (0,1,1) e C = (—1,0,0) sao comuns as superficies. Ligando-os temos a curva intersecdao. Considerando que W é limitado pelo plano z = 0, temos o sdlido W ea sua projecao D sobre o plano xy representados na figura que se segue. z 1 salem z= y B y 1 Seay ee eat a ioe Bt pee =1 1 r ey p (yt J A 1 x A reta que passa por (x,y) € D e é paralela ao eixo z entraem W em z = 0 e sai de W em z = y. Logo, 0 < z<y. Assim, W = {(z,y,z) €R*; (27, y)€ Dia? +y?<ly>0e0<2z< yt. Entao, ; w= [ff ova =/ffva = ff f y dzdxdy = w Ww pb. = | fy-waeay = [fv acay. D D O0O<r<l . Passando para coordenadas polares temos y = rsen 0, dxdy = rdrdée Dy» : O<cb<T- Entao, M= [fr sen? Or drdé = [fr sen? 6 drdé = D,6 Dro : " 1 sen 20] : -|/ | sen? 6 dédr = = jo | | redr = 0 0 2 2 Jo Jo a2 {5 am ~~ 2L14]o 8° UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 13 b) Temos, I= /I/ (x? +”) d(x, y,z)dV = /I/ (x? +”) ydV = Ww Ww . 2 -// (x? + y’) v | dedvdy = | [ (x? +’) y° dxdy = D ° D = [fr sex? 0 raras = J [ vsex? 8 ara = D,6 Dro 1 T T 1 671 -|/ ef sen? 9d = 5 [9 — S| | rdr=* =| =. 0 0 2 2 0 Jo 2L6]0 12 Exercicio 8: Um sdlido tem a forma de um cilindro circular reto de raio de base a e altura h. Determine o momento de inércia do sdlido em relacao ao eixo de simetria, se a densidade no ponto P € proporcional a distancia de P até a base do sdlido. Solucao: Vamos escolher os eixos coordenados de tal maneira que 0 eixo de simetria seja 0 eixo ze a base esteja no plano xy. Entao a equacao da superficie cilindrica sobre o plano ry 6 v7 + y? = a?, comd0<z<h. z MEE h Rye ee == ! w a ee a x Entio W = {(2,y,z) € R®; (t,y)€ Dia? +y? <a e0<2z<h}. Como a densidade em P = (x,y,z) € proporcional a distancia de P a base do sdlido W, a funcdo densidade é O(a, y, 2) = kz, onde k é a constante de proporcionalidade. UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 4 — Tutor 14 Portanto, o momento de inércia em relacdo ao eixo z (eixo de simetria) é: I= /I/ (2? +”) O(a, y,2) dV = eff (x? + y’) zdV = Ww w h h = e[f | (x? +”) zdzdxdy = ef] +") | zdzdxzdy = p °° D ° yn ER = ef (a? + y”) =|. = “il (x? + y?) dady. D D 0<r<a 2 2 _ 2 _ . > => Passando para coordenadas polares, temos 7° + y~ = r*, dxdy = rdrdé e D,o : { 0<0<2n- Logo, 2 2 =H [fre rdraa = [fr arao = D6 Dro 2 20 a 2 20 474 "| [Para | | do = 2 Jo 0 2 Jo 4 lo __ kha! [ 1g — BeBe 8 J, 4 UFF IME - GMA