Prova 1 - Cálculo 3 2022-2

Semestre II, 2022. 22-09-2022. TF1 - Cálculo Diferencial e Integral III Primeira Avaliação (40 pontos). Cada questão vale 10 pontos. Q1 1. Calcule a integral \int_{0}^{1} \int_{2x}^{2} \frac{1}{(1+y^2)^3} dy\, dx. 2. Encontre a massa da lamina delimitada pelas curvas x + 3y^2 = 0 e x - y^2 + 4 = 0 com densidade \delta(x, y) = y^2. Solução: Q2 Encontre o valor médio da função f(x, y, z) = 2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} sobre o sólido E = \{(x, y, z) \mid y \geq 0, z \geq 0, x^2 + y^2 + z^2 \leq 16\} . Solução: Q3 Seja R um paralelogramo no plano xy delimitado pelas retas x - 2y = 0, x - y = 0, x - 2y = -2, 2x - 2y = -3. 1. (4 pontos): Desenhe o paralelogramo R e sua imagem S sob a transformação: u = -x + 2y, v = 2x - 2y. 2. (6 pontos): Use a transformação para calcular a integral: ∬_R (y - x) sin(π(2y - x)) dA. Solução: 7 Q4 Coloque uma cruz sobre a caixa V, se você acha que a afirmação está correta. Caso contrário, coloque uma cruz sobre a caixa F. Não precisa justificar. (i) \( \int_0^1 \int_0^{x^2} f(x,y) \ dy \ dx = \int_0^1 \int_0^{\sqrt{y}} f(x,y) \ dx \ dy \ para \ qualquer \ função \ contínua \ f(x,y).\) V F (ii) \(\int_0^1 \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \rho^2 \sin \varphi \ d\theta \ d\varphi \ d\rho = 4\pi/3.\) V F (iii) \( \iiint_D (1 + x^2 + y^2) \ dA = -1,25, \ onde \ D = \{(x,y) \ | \ -1 \leq x \leq 1, \ -1 \leq y \leq 1\}.\) V F (iv) O integral iterado \( \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-x^2} \ dy \ dx \ dz \ é \ igual \ ao \ volume \ do \ tetraedro \ de \ vértices \ (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).\) V F (v) Seja \(D = \{(x,y) \ | \ y \leq 0, \ x^2 + y^2 \leq 4\}. \) Então: \( \iint_D y \ dA = \int_\pi^{2\pi} \int_0^2 r^2 \sin \theta \ dr \ d\theta. \) V F Matrícula Nome Assinatura 8 Agora, usaremos a transformação: \[ u = -x + 2y \quad v = 2x - 2y \] Aplicaremos essa transformações nos pontos dos vértices do paralelogramo: \[(2,2) \quad (0,0) \quad (-1,0.5) \quad (-3,-1.5) \] \[\begin{aligned} u(2,2) &= -2 + 2 \cdot 2 = 2 \\ u(0,0) &= 0 + 2 \cdot 0 = 0 \\ u(-1,0.5) &= 1 + 1 = 2 \\ u(-3,-1.5) &= 3 + 2(-1.5) = 0 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} v(2,2) &= 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 0 \\ v(0,0) &= 0 - 2 \cdot 0 = 0 \\ v(-1,0.5) &= -2 - 1 = -3 \\ v(-3,-1.5) &= -6 + 3 = -3 \end{aligned}\] E sob a transformação obtemos os pontos: \[(2,0); (0,0); (2,-3); (0,-3) \] Agora, podemos esboçar o conjunto: \(v\) Gráfico mostrando o conjunto E agora, a região $R$ se torna uma região retangular simples e $S$ é a região hachurada acima e pode ser posta como: \[ S = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2 / 0 \leq u \leq 2 \ e \ -3 \leq v \leq 0 \} \] 2.) Calculemos: \[\int\int_R (y-x) \sin(\pi(2y-x)) \ dA.\] Usando a transformação anterior. Já sabemos que $S$: \[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 / 0 \leq x \leq 2 \ e \ -3 \leq y \leq 0 \} \] Agora, determinaremos $y \equiv Y(u,v)$ e $x \equiv X(u,v)$ e $dA$. Temos: \[ \begin{cases} u = -x + 2y \\ v = 2x - 2y \end{cases} \ \\ \text{(i)} \text{ Somando temos: } x = u + v \\ \text{(ii)} \] Agora, temos: \[ u = -(u+v) + 2y = > 2y = 2u + v. \ \therefore y = u + \frac{1}{2}v. \] E temos por fim: \[ \begin{cases} x = u + v \\ y = u + \frac{v}{2} \end{cases} \] Calculemos $dA$ com efeitos: \[ dA = J(u,v) \, du \, dv = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} du \, dv \] \[ = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} \, du \, dv = (\frac{1}{2} - 1) \, du \, dv \ = -\frac{1}{2} \, du \, dv. \] Logo, $dA = -\frac{1}{2} \, du \, dv$. Veja ainda que: \[ y-x = (u + \frac{v}{2}) - (u+v) = -\frac{v}{2} \] \[ 2y-x = 2\left( u + \frac{v}{2} \right) - (u+v) = u \] Com isso, podemos calcular o desejado. Veja: \[\int\int_R (y-x) \sin(\pi(2y-x)) \ dA = \int\int_S \left( -\frac{v}{2} \sin(\pi u) \right)\left( -\frac{1}{2} \, du \, dv \right) \] \[= \int_{0}^{2} \left( \int_{-3}^{0} \frac{v}{4} \sin(\pi u) \ dv \right) \, du \] \[= \int_{0}^{2} \sin(\pi u) \, du \cdot \int_{-3}^{0} \frac{v}{4} \ dv \] \[= \int_{0}^{2} \sin(\pi u) \cdot \frac{d(u\pi)}{\pi} \cdot \int_{-3}^{0} \frac{v}{4} \ dv \] \[= -\frac{1}{\pi} \left[ \cos(\pi u) \right]_{0}^{2} \cdot \left[ \frac{v^2}{8} \right]_{-3}^{0} \] \[= -\frac{1}{\pi} \left[ \cos(2\pi) - \cos(0) \right] \cdot \left[ -\frac{9}{8} \right] \] \[= \frac{9}{8} \left[ 1 - 1 \right] = \frac{9}{8} \cdot 0 = 0. \] \[\therefore \int\int_R (y-x) \sin(\pi(2y-x)) \ dA = 0 \]