Aula Cálculo 3 - Módulo 8 Tutor 2022-1

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matematica e Estatistica Departamento de Matematica Aplicada Calculo III-A — Modulo 8 — Tutor Exercicio 1: Calcule Je dx + x? dy de (—1,0) a (1,0) Cc a) ao longo do eixo x b) ao longo de C:: 7’(t) = (—cost, sent), com 0 <t <7. c) ao longo da poligonal de vértices (—1,0), (0,1), (1,1) e (1,0). Solucao: a) O esboco de C’ esta representado na figura que se segue. y —1 1 x C Uma parametrizacao de C’ é dada por 7’(t) = (t,0), com —1 < t < 1, portanto 7 (t) = (1,0). Pondo F(a, y) = (x, x7), entdo 1 foawee ay= [Fear = | F (P(t) 7 (t) dt = C C I 1 sy 1 1 -/ F(t, 0) - r’(t) dt -/ (t,t?) - (1,0) dt -/ tdt= —1 —1 —1 ey) 4 4 = [5], -3-37°- Calculo III-A Modulo 8 — Tutor 2 b) Temos que 7 (t) = (—cost,sent) implica 7 (t) = (sent, cost). Logo, 7 > Je dx +x? a= [Far | F ((t)) - r/(t) dt = C C ° = [ EF (— cost, sent) - Y(t) dt = [ (- costs SE ) -(sent, cost) dt = = | (— costsent + cost — sen’ t cos t) dt = 0 sen? t sen? t]™ = |S + sent — SS] =0. c) O esboco de C’ esta representado na figura que se segue. y C2 y=1 -x+y=1 1 x=1 C 1 Cs —1 1 xv Temos C' = C, UC) U C3. Logo, [Pats [Pars [Pars [Pa (1) C Cy C2 C3 Calculo de jf dr C1 Temos Ci :y =1+2, com —1 < x < 0. Logo, uma parametrizacao de C, é dada por 7 (t) = = (t,1 +t), com —1 <t <0 portanto 7 (t) = (1,1). Entao, 0 0 [Fa=| FF ())- F(t) ar= | F (t,14t)- 1 (1) dt = d, -1 -1 “(,2)<(1) at= [ (ee) aa fe 48)! nc )- (1) =f +) =|5+5]= 8 (5 _ x) —— — 2 3) ou [F .d?=-1 (2) 6 C1 UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 — Tutor 3 Célculo de / Fed? C2 Temos Cy : y = 1, com 0 < a < 1. Logo, uma parametrizacio de C2 é dada por 7’(t) = (t, 1), com 0 <t < 1 portanto Y(t) = (1,0). Entao, 1 1 [Fa=| F (P(t). F(t) a= / F (t,1)- 1 (t) dt = ds, 0 0 1 1 251 -/ (t, 1?) - (1,0) a= tdt= |S] =5 0 0 2Jo 2 ou / Fea? =-3 (3) C2 Célculo de / Fd? C3 Seja C3 0 segmento C3 com orienta¢ao contraria. Entao Cy : x = 0, com 0 < y < 1. Logo, uma parametrizacdo de CO; é 7’(t) = (1,t), com 0 <t <1 portanto 7 (t) = (0,1). Entao, 1 [Pat a-[Far-- | F (P(t). 1 (t) dt = C3 Cy ° 1 > 1 1 -- | F (1,t)-r'(t) a=- | (1,1) - (0,1) a=- | dt = [-#§ = -1 0 0 0 ou / F-d?=-1 (4) C3 De (1), (2), (3) e (4) temos que: ne [F dr = 6+ 5 l= 5° C Exercicio 2: Calcule os valores de / — 2xry dx + (x? + y?) dy ao longo do caminho C Cc a) parte superior da circunferéncia x” + y” = a? de (a,0) a (—a, 0) b) parte superior da elipse x” + 4y? = 2z, orientada no sentido anti-hordrio. Solucao: Temos o esboco na figura a seguir. UFF IME - GMA Calculo III-A Méddulo 8 — Tutor 4 y (0, a) ¢ C (—a, 0) (a, 0) v Uma parametrizacdo de C’ orientada no sentido anti-hordrio é y(t) = (acost,asent), com 0 <t <7. Logo, y(t) = (—asent,acost), 0 < t < m. Sendo F(a, y) = (—2ry, x? + y’), temos que: F(4(t)) V(t) = F(a cost,asent) -(—asent,acost) = = ( — 2acostasent, a’ cos’ t + a? sent) - (—asent,acost) = ———— = @ = 2a? cost sen? t + a® cost. Como b [= [ex dx + (a? +) dy = [F dP = / F(4(t)) y(t) dt C C ° com a=0eb=7 entao: Tv 3 7 I= | (2a° costsen*t + a® cos t) dt = 2a +a? sen t| = 0. 0 0 2 b) De x? + 4y? = 22, com y > 0 temos (x2 — 1)? + 4y? = 1, com y > 0 ou (x— IP +05 =, com y > 0. y 1/2 C 1 2 x Uma parametrizacao de C é y(t) = (1+ cost, 5 sent), com 0 < t < a. Logo, temos que UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 — Tutor 5 , 1 y(t) = (- sen t, 5 cost) e: F(4(t)) A(t) = EF (1 + cost, 5 sen) . (— sen t, 5 cost) = = (2c + cos 1); sent, (1 + cost)? + zsen? t) -(—sent, 5 cost) = _ 2 1 2 12 _ = (1+ cost) sen*t + 5 (1 +2cost+ cos b) cost + 3 Sen tcost = = 1-sen“t 2 2 1 2 1 lL 2 lL 2 = sen*t + sen*t cost + 5 cost + cos t+ 5 cost — 5 Sen tcost + g sen tcost = =1+ > sen? teost + cost. Logo, I= [F dP = | F (y(t) -+/(t) dt = J, 0 Tv 3 T = | (1 + 2sen*t cost + cost) dt = lt+ 2, sent +sent| =. 0 8 8 3 0 Exercicio 3: Calcule o trabalho realizado pela forca F(a, y) = (a, —y) para deslocar uma particula ao longo da curva fechada C = C; UC,UC3, onde C): segmento de reta de O = (0,0) a A = (1,1); Cy: parte da curva 4x? — 12x + 4y? — 8y + 12 = 0, com y > 1, do ponto A = (1,1) a B = (2,1); C3: segmento de reta BO. Solucao: Completando quadrados em 4x? — 12x + 4y? — 8y +12 =0, com y > 1, temos 4 (x? —3r)+4(y?-2y)=-12,y>1 6 S 4 (0? — 3x +2) +4 (y2—% +1) =-124944,y>1 6 3\2 2 S 4 (2-3) +4(y-1)°=1l,y>1 ses (3) ts 2 4 4 (semicircunferéncia superior de centro (3/2, 1) e raio 1/2). Assim, 0 esboco de C' esta representado na figura que se segue. UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 — Tutor 6 ¥y Co Cc, A B 8 Cs, x O trabalho realizado por F ao longo de C’ é dado por w= [Fat= [Fats [Pars [Far C Cy C2 C3 Calculo de jf dr’ C1 Uma parametrizacao de C, é dada por 7 (t) = (t,t), com 0 < ¢ < 1, portanto Y(t) = (1,1). Logo, 1 1 [rae -|/ F (F(t) - 7 (t) dt -|/ F (t,t) 7’ (t) dt = cs 0 0 1 1 1 -|/ (t, —t) - (1,1) a= f (t — t) a= f 0 dt =0. 0 0 0 Calculo de jf dr’ C2 Uma parametrizacao de Cy, no sentido anti-hordrio é: _ (31 1 Cy: F(t) = (5 + 5 cost, 1+ 5sent) y>1l1s L+ssent>1 & ssent > 0 = sent>0 S& O0<t<a. Logo, 7 (t) = (— sent, 5 cost). Entdo, UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 — Tutor 7 m = [Rara-[Par=-f F (¥(t))- 1 (t) dt = C2 C2 ° "73 41 1 1 1 = -| (5 + 3 cost, 1 — 5sent) : (-; sent ,5 cost) dt = "/ 3 1 1 1 = -| (—3 sent — q sent cost — 3 cost — ;sentcost) dt = "/ 3 1 1 = -| (-3 sen t — 3 Sent cost — 5 cost} dt = __|3 — lt en24— 2 "_ _3(_4_4)-3 = |Z cost qsen't 5 sent} = x ( 1-1)= 5° Calculo de jf -dr’ C3 Uma parametrizacao de C3 é dada por 7 (t)=B+t(O—-B) = (2,1) +#((0,0) — (2,1) = = (2,1) +t(—2,-1) = (2- 2t,1-#) com 0 <t <1, portanto 7 (t) = (—2,—1). Logo, 1 + 1 [Fae] FP (t)- P(t) a= (2 — 2, -1 + t)-(—2,-1) dt = ds 0 0 ' ' 32]) 3 =| (-44+4t+1-8 a= f (-3438) db=|-at+ 2] =-3. 0 0 2 Jo 2 Logo, 3 3 Exercicio 4: Calcule [2 dx — 3y dy + z? dz, onde C é 0 segmento de reta unindo (1,0,0) a C (0,1, 7/2). Solucao: Uma parametriza¢ao do segmento C' que liga A = (1,0,0) a B = (0,1, 7/2) é dada por T(t) =A+t(B—A) = (1,0,0) +#((0, 1, 2/2) — (1,0,0)] = = (1,0,0) +¢(—1,1,7/2) = (1 — t,t, 7/2t) — com 0 <t <1, portanto r’(t) = (—1,1,7/2). Pondo F(a,y,2) = (2x, —3y, 27), temos: UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 — Tutor 8 1 — jr dx —3y dy+2 a= [Far | F ((t))- 1 (t) dt= C C ° ' 7 ZF : 1? 7 -|/ F (1-111) 7 (t) a= (2-24, -34, 5) . (1.1.3) dt = 0 2 0 4 2 ' tT 09 t? tT? 3 1 1 5 -/ (-2+20-3¢+ 74 ) = [20-5450 | =ar-F Exercicio 5: Determine o trabalho realizado pela forca F'(x,y,z) = (83y+z)i + (y—3x)jt+ +(e? + x2) k para deslocar uma particula ao longo da curva C interse¢do do cilindro 2? + y? = 1 com o plano z = 5, orientada no sentido anti-hordrio quando vista de cima. Solucao: O trabalho é dado por W = [F . dv’, onde C, no sentido anti-hordrio quando C vista de cima, € parametrizada por 7’(t) = (cost,sent,5), com 0 < t < 2z, portanto 7 (t) = (— sen t, cost, 0). Logo, 27 > 27 > W= [re = | F (¥(t)) -r'(t)dt= | F (cost, sent, 5) -r'(t) dt= J 0 0 20 = | (3 sent + 5,sent — 3cost,e? + cos t) -(—sen t, cos t, 0) dt = 0 20 = | (—3 sen? t — d5sent + sent cost — 3 cos” t) dt = 0 20 = | (—3 sen? t — d5sent + sent cost — 3 cos” t) dt = 0 on sen? t]°" = | (—3 — 5sent+sentcost) dt = |—3t + 5cost + | = 0 0 =-—67+0+0=-—67 uw. Exercicio 6: Calcule iE dx + y dy — x dz, onde C' é a intersecao das superficies y + z = 8 e Cc x? + y? + 2? —8z =0, com x > 0, no sentido anti-hordrio quando vista de cima. Solucao: Temos que: UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 — Tutor 9 etyt+2—8z=0,4>0,2z=8-y > & w+y+(8—y)?—-8(8-y)=0,4>0 © & xt+y?+64-l6y+y?—64+8y=0,7>0 © & r4+2y?—-8y=0,7>0 S & v74+2(y?-4y)=0,r7>0 © & r4+2(y-4y+4)=8,7>0 S ve (y= 2)? _ 2 _ 9)2 Logo, a projecao de C’ sobre o plano xy é a semielipse = +o = 1, com xz > 0, de centro (0, 2) e semieixos a = 2\/2, b = 2. Entdo, uma parametrizac3o de C, no sentido anti-hordrio quando vista de cima é dada por x = 2\V/2cost, y =2+2sentez=8—y=8~— (2+2sent) = 6 — 2sent. Como n > 0 entdo 2V2cost > 0 ou cost > 0 portanto —7/2 < t < 7/2. Entado r(t) = (2V/2cost,2+2sent,6—2sent), com —7/2 < t < 7/2, portanto temos que 7 (t) = (—2V2sent,2cost ,—2 cost). Pondo F = (z,y, —x), temos a /2 > [etetudy-cde= [Fae = | F (7 (t))- 1’ (t) dt = C C orl? am /2 = / (6 —2sent,2+ 2sent, ~2V2cost) . (—2v2sen t,2cost ,—2.cost) dt = —1/2 am /2 = / (—12V2sent + 4V/2sen7t + 4cost + 4sent cost + 4V2 cos? t) dt = —1/2 am /2 -/ (4v2 — 12v2sent + 4cost + 4sen tcost) dt = —1/2 = [4v2t + 12\/2cost + 4sent + 2sen? qe, =4/2r +8. - z . > >, ; » Exercicio 7: Sabe-se que o campo F' = (e7*¥ +1) i +ex+yJj €um campo conservativo em R°. a) Encontre uma funcao potencial para F. F = , ; A: 9 1\2 1 b) Calcule / -dr onde C é 0 arco de circunferéncia (2 — 1)* + (y — *) =z coma> 1 C que vai de (1,0) a (1, 1). Solucao: UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 — Tutor 10 a) Vamos encontrar uma fun¢ao potencial y(, y) tal que Op 4 Fa erty ty (1 a etd ) Op 4 oF — erty 2 ae) em R?. Integrando (1) em relacdo a x temos: (x,y) = / (eo + 1)dx=e"™+a+ fly) (3) onde f(y) € uma “constante” de integracao. Derivando (3) em relacdo a y e usando a igualdade (2) vem: 3 Fae EOF f(y) =e Oy portanto f’(y) = 0 ou f(y) =, c constante. Obtemos, entdo: y(a,y) =e +at+e a familia de funcoes potenciais de F. b) Fazendo c = 0 temos uma funcdo potencial y(x, y) = e*tY +x. Logo, pelo teorema fundamental do calculo para integrais de linha, temos: (1,1) / F -d? = (1,1) — ¢(1,0) =(e?+1)—-(e+ 1) =e —e. (1,0) Exercicio 8: Determine uma func¢ao potencial para cada campo conservativo. ria a a) F (x,y) = (a2 +y2) 1 +20yj. > > b) F(a, y) = (cos(xy) — rysen(xy)) i — (x? sen(ry)) j. c) F(a,y) = (6ry? + 227 , 9x? y? ,4az + 1). Solucao: a) Uma fun¢ao potencial (x,y) do campo F = (P,Q) = (a? +y?,2ry) é tal que domy = ~domF = Re Ve= F em R?, isto é: Op Op Ox ar ty) 3 ou Ip ~ —— “F = 92 2 Dy Q By oY (2) em R?. Integrando (1) em relacdo a x temos: x 9 yp@y=ztey+fy) — (3) UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 — Tutor 11 onde f(y) € a “constante’ de integracao. Derivando a igualdade (3) em relacao a y e usando a igualdade (2) obtemos 2ry + f'(y) = 2xy ou f’(y) = 0 portanto f(y) = c onde c é uma constante. Substituindo em (3) vemos que: 3 (x.y) =F tay? +e para todo (x,y) € R? éa familia de funcdes potenciais de EF. b) Vamos encontrar uma fun¢do v(x, y) com D = domF = R? tal que Oy oy _ 1 Ap = Cos(ey) — eysen(ry) (1) O ay = —2x* sen(ry) (2) em R?. Integrando (2) em relac4o a y obtemos p(x, y) = xcos(xy) + f(x) (3) onde f(x) éa “constante” de integracao. Derivando (3) em rela¢ao a x e usando (1) encontramos: cos(ay) — xysen(xy) + f’(x) = cos(xy) — xy sen(xy) ou f’(x) = 0 portanto f(x) = c onde c é uma constante. Assim, a familia de fun¢gdes potenciais de F é dada por p(x, y) = xeos(xry) +c. c) Queremos encontrar uma fun¢ao v(x, y,z) com D = domF — R? tal que Oy — = 6ry? +227 (1 Fn ry? +22° (1) Oy SF = Oy? 2 By OY (2) Oy —=4 1 3 Ds vz + (3) em R3. Integrando (1) em relacdo a x temos y(z,y,2z) = / (Gry? + 22”) dx = 3x7y? + 2x27 + fy, z) (4) onde f(y, z) € uma “constante” de integrac¢ao. Derivando (4) em relacdo a y e z e usando (2) e (3), respectivamente, temos: Qx7y? + oF 9x7 y? Of _ 9 Oy Oy oy ou ay danz + 5 = daz + 1 ar portanto f(y,z) = z+, c constante. Substituindo em (4) vemos que o conjunto de todas as funcdes potenciais é dado por: v(x, y, 2) = 3x7y? + 2x27 +240. UFF IME - GMA