Aula Cálculo 3 - Módulo 10 2022-1

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matematica e Estatistica Departamento de Matematica Aplicada Calculo III-A — Modulo 10 — Tutor Exercicio 1: Seja S a superficie parametrizada por y(u,v) = (u,v,l1—v?), omu>0,v>0e utou<tl. a) Desenhe S. b) Determine o plano tangente a S' no ponto y (1/2, 1/4). c) Determine a drea de S. Solucao: cr=U a) Temos S: 4 y=v com (u,v) € D:u+u<1,u>0ev> 0 portanto, eliminando os z=1-v pardmetros, temos que S: z= 1—y? com (x,y) € Diy: at+y <1, 4 >0ey > 0. Logo, 0 esboco de S' esta representado na figura que se segue. z 1 | S 1 1 x y D b) Temos (1/2, 1/4) = (1/2, 1/4, 15/16), 2°(u,v) = (1,0,0), 2 (u,v) = (0,1, -20) portanto, > > US dp. dp i j k Du Ov 1 0 0 = (0, —2v, 1). 0 1 —2v Logo, “ x oe (0, 1/2, 1/4) = (0, —1/2,1) é um vetor normal a S em vy (1/2, 1/4). Portanto, uma equac¢do do plano tangente a S em y (1/2, 1/4) é dada por —y(t.!)).2% (1 = (5.4) = [(o.9.2) °(5-4)| Ou (5-3) * a a7) = 1 1 15 1 13 ou (e-5.u-5, 2-2) : (0. -5,1) = 0 ou, yt 22 = —. Calculo III-A Médulo 10 — Tutor 2 c) Temos: A(S) =| / \% x =| dudv = [[ tea? tua. D D v 1 . /—-u=1-v 1 u . O<v<l Enquadrando D como tipo II, temos que D : { 0<uc<l—v- Logo, 1 pl—v 1 as) = [ | VIF TE dude= f(T ae ae = 0 Jo 0 1 1 -|/ viedede- f vV1+4v? dv . 0 0 sO I Iz Calculo de I, _ _ 1 2 v= 0 0 = 0 ~ Fazendo 2v = tg@, temos dv = 5 Sec 0 d@. Para { v=1 temos { 6 = arctg2 Entao, arctg 2 1 1 arctg 2 n=/ VIF EO: E500? 9.40 = 3 | sec? Od6. 0 0 Do Calculo II, temos: [se 6d) = 5 sec Ota 8 + 5 In(sec 6 + tg@) + C (Verifique!) Logo, i =1 fl sccatg6 +4 in(secd +te6)| 1 = 5 [580 g + 5 In(sec +tg0)|. Fazendo u = arctg2 temos tgu = 2. Entdo sec?u = 1+ tg?u = 5, portanto secu = V5 ou sec(arctg 2) = V5. Entao, 1=24tin(2+ v5) . UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 10 — Tutor 3 Calculo de Iy Temos que: 1 1 I, -|/ uv 1+ 4v? du -|/ v (1+ 40?) 1”? dv. 0 0 Como d (1+ 4v”) = 8v du entao: 1 1 _ 1 9\1/2 2) 1 2 9\ 3/2 _ 1 h=i| (1+ 4v?)'? d (1+ 40?) = 5-3 [(1440?)""] = 5 (5V5-1) . Assim: _ v5 1 bV¥5 dl 1 Exercicio 2: Esboce e parametrize as superficies abaixo, indicando o dominio dos parametros: a) S={(2,y,z)ER*; v+y?4+2=4, 221}. b) S= { («,y,2) ER, 2= (322 +y?), P@+yt2< i}. c) S={(a,y,2) RR; atytz=2, a +y? < If. d) S= { («,y,2) ER, &P+y=4, 0<2<245-4h. e) S={(z,y,z) ER; ety? =2y, 0<2< a7? +y’'}. Solucao: a) A superficie S' esta ilustrada na figura a seguir. z esi ; Om ua 3 _ ee __ + ~ 2-222 ky > \ / / Usando @ e @ como paradmetros, temos S : v(¢,0) = (2sen@cos6,2sen dsenO,2 cos), com 0<o¢<7/3e0 < @ < 2x. Também podemos definir S usando as coordenadas retangulares x e y. Temos 3: y(z,y) = (cy, \/4— x? =), com (x,y) € D: 2? +y? < 3. Uma outra forma de definir S é usando as coordenadas r e 0. Temos S : y(r,0) = (r cos 0, rsen 6, 4 — r?), com 0<r<V3e0<6< 2r. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 10 — Tutor 4 b) Encontremos a intersecdo das duas superficies: z= vate" +y") 21,2 21,2 2,,2_1 v3 => ty 43(ar*t+y)=lsSat+y =5 7 *7=7>- Elas se interceptam segundo uma circunferéncia contida no plano horizontal z = /3/2, de centro (0,0, V3/2) e raio 1/2. z v Ti . ix a x Usando as coordenadas x e y para definir S, temos y(z,y) = («, y, V3(x? + P)), com (x,y) € D: x? +y? < 1/4. Outra parametrizacdo seria S : y(r,0) = (rcos0,rsend, V3r), com0<r<1/2e0<6< 2Qr. c) O esboco de S pode ser visto na figura que se segue. z , . XS NN ft. INNS iN [| KN J) °s. RNS f\ Sa» 1 1 1 2 y 2 x Uma parametrizacdo é dada por S:: y(z,y) = (x, y, 2-—x-—y), com (2,y) € D: a? +y? <1. Outra parametrizacado seria S : y(r,@) = (rcos0, rsend, 2—rcos?—rsen#), com0<r<le 0<6@< 2r. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 10 — Tutor 5 d) O esboco de S esta na figura ao 4 lado. Adotando @ e z como pardmetros, definimos S' por p(@, z) = (2cos 6, 2sen6, z) com > ae — i 0<0<27 2 0< 2 < 24 88 — song , 2\ 2 4 y e) A superficie S esta ilustrada na figura ao lado. Zz Seja (x,y,z) € S. Entado x e y satisfazem x? +y? = 2y ou 2? 4+ (y—1)? =1. Logo, x =cost | y =1+sent com t € (0, 27]. Adotando t e z como pardmetros, temos a se- guinte parametrizacao para S: p(t, z) = (cost, 1+sent, z) \ TA y oan ( 5 com O0<t<27 O<z2<2(1+sent) ° a Exercicio 3: Seja C = {(0,y,z) € R®; 2 + (y- 2)? = 1}. Ache a drea da superficie gerada pela rotacao do conjunto C’ em torno do eixo z. Solucao: Uma parametrizacao da curva C' é dada por x(t) =0 y(t) =2+ cost, 0<t<27 z(t) = sent Se (x,y,z) € S entao (x,y,z) pertence a circunferéncia de raio y(t) = 2 + cost e de centro (0,0, z(t)) = (0,0, sent). Entao x = (2+ cost) cosé y = (24+ cost) sen 6 z= 2(t) =sent UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 10 — Tutor 6 comO0<t<27e0 << 2r. Assim, uma parametrizacao de S é dada por S: y(t,0) = ((2 + cost) cos@, (2+ cost) sen@, sent) com O0<t<27 (t,0) ED: 0<0< 27. Tem-se 1 = (—sentcosé, —sentsen6@, cost) yo = (— (24+ cost) sen@, (2 + cost) cos 6, 0) portanto 7 7 Kk rx ~po = — sent cos —sentsen@ cost —(2+cost)sen@ (2+ cost)cos? 0 = (— (2+ cost) costcos@, —(2 + cost) costsen@, —(2 + cost) sent cos” 0 — (2 + cost) sent sen” 6 ) ———————————————— SS = —(2+cos t) sent = (2 + cost) (— cost cos6, — cost sen 6, — sent) . Logo, Ilo: X Yoel] = (2+ cost) /cos*tcos? @ + cos? tsen? @+ sen? t = ee = cos? t = (2+ cost)Vcos* t + sen? t = 2+ cost. Como A(s) = ff Iker val) ata D entao 2a p2r A(S) = [[eercost) dtd0 -|/ | (2+ cost) dtd0 = i 0 Jo 20 on 20 = | 2¢ + sen i dé = nf dO = 8? u.a. 0 0 0 Exercicio 4: Seja S a superficie obtida girando-se o segmento de reta de (0,1,3) a (0,3,1) em torno do eixo z. a) Dé uma parametrizacao de S. b) Calcule a drea de S. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 10 — Tutor 7 Solucao: a) O segmento de reta de (0, 1,3) a (0,3, 1) é parametrizado por y(t) = (0, 1,3) + ¢((0, 3, 1) — (0,1,3)) = (0,14 2t, 3 — 2t), com 0 <t< 1. Logo, x(t) =0, y(t) = 1+ 2te z(t) =3-—2t, coom0<t< 1. A superficie de revolucao tem como parametrizacao: p(t, A) = (y(t) cos@, y(t) sen @, z(t)) = ((1 + 2t) cos 6, (1 + 2t) sen 6,3 — 2t) com 0<t<l (t,0) ED: ; 0<0< 27 b) Temos que A(S') = // |e X Ya|| dtdO onde D 7 j Kk pex Po = 2 cos 6 2 sen 6 —2 —(1+2t)sen@ (1+2t)cos@ 0 = (2(1 + 2t) cos, 2(1 + 2t) sen @, 2(1 + 2t) cos? @ + 2(1 + 2t) sen” 0) See 2(1+2t) = 2(1 + 2t)(cos 6, sen 6, 1) portanto ||y, x yo|| = 2(1 + 2t)Vcos? 6 + sen? 6 + 1 = 2\/2(1 +4 2t). Logo, 1 p20 A(S) = | fv20 + 2t) dtd = v3 f | (1 + 2t) dodt = " 0 Jo 1 1 = inv f (1 + 2t) dt = 4nv2It + | = 8rV/2 ua. 0 0 Exercicio 5: Determine a drea do paraboloide z = 2 (x? + y”), abaixo do plano z = 8. Solucao: O esboco da superficie S pode ser visto na figura a seguir. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 10 — Tutor 8 Zz a= 2 y 2 D x Definimos S da seguinte maneira: S:2=2(0? +9) =fle.y), com (x,y) € D: 27 +y? <4. Como = ff ye) +) A(S) -// 1+ (Sf) + ae) de dy D entao: A(S) = / V1 (4x)? + (4y)? dx dy = / V1+ 16x? + 16y? dx dy. D D Em coordenadas polares, temos: 2 p27 5 1/2 A(S') = | [vive rdrao= | f (1+16r*) rd6dr= Oy, 0 Jo _ 2a 2 fl 1 16r?)"a(1 4 16r?) _ 7. 2 (1 + 1672)". _ 32 Jy 16 83 0 = 57 (6565 —1) ua. Exercicio 6: Calcule a drea da superficie S parte do plano x + y+ z = a, interior ao cilindro e+y =a’. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 10 — Tutor 9 z Solucao: A superficie S' esta ilustrada na figura ao lado. Temos {8 iN” CG S:z=a-ax—-y= f(x,y), i iy com (x,y) € D: x2 +y? < a®. Como \ SS A A(s)= [fis GE) + (BE) aeay Oa Ox Oy CN Ty D SY entao a x A(S) = [[ ve (—1)?+ (-1)? dx dy = V5 ff avdy = V3 A(D) = V37d? ua. D D Exercicio 7: Calcule a drea da superficie z = \/x? + y?, (x — 2)? + 4y? <1. Solugao: Tem-se 9 : z = \/x? + y?, com (x,y) € D: (x — 2)? + 4y? < 1. Como S €é 0 grafico de —S = f(«,y) z= f(x,y),com (x,y) € D, usaremos a formula A(s) = ff y+ EP + (GP aod, D Tem-se: —— fy = Ye Logo, 1+ (fe? + (fy)? = 1+ so + 4 = 14+ SS = V2 “P+ WP = ht cept erg = Vt eye =? Entao, A(S) = | [i acay - v3 / dxdy = V2 A(D). D D Como D é uma elipse com a = 1, b = 1/2, entado 1 7 A(D) =nab=7-1-5=5- Logo, A(S) = me ua. Exercicio 8: Determine a area da porcao da esfera x? + y? + 2* = 4, cortada pela parte superior do cone x7 + y? = 27. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 10 — Tutor 10 Solugado: De 2? + y2+ 22 =4e 2? +7? = 2? temos 2? + y? = 2e z = V2. Logo, a curva intersec3o das superficies é a circunferéncia x? + y? = 2 contida no plano z = V2. O esboco de 9 esta representado na figura a seguir. z 2 x Uma parametrizacao de S é: S': y(¢,@) = (send cos @, sen dsen 0, cos #) com 0<o<n/4 (¢,0)ED: 0<0<27 Da aula 19, temos que dS = sen¢d¢dd. Como A(S') = // dS' entao D a/4 p2r am /4 A(S') = | [sen o-doas -|/ | sen ¢ déd¢d = 2n | sen ddd = - 0 Jo 0 m/4 J/2 = 2m — cos ¢] 5 = 27 (1 — 2) =T (2 — V2) u.a. UFF IME - GMA