Prova 1 - Cálculo 3 2022 2

Semestre II, 2022. 22-09-2022. TF1 - Cálculo Diferencial e Integral III Primeira Avaliação (40 pontos). Cada questão vale 10 pontos. Q1 1. Calcule a integral \[ \int_{0}^{1} \int_{2x}^{2} \frac{1}{(1+y^{2})^{3}}\, dy\, dx . \] 2. Encontre a massa da lamina delimitada pelas curvas \( x + 3y^{2} = 0 \) e \( x - y^{2} + 4 = 0 \) com densidade \( \delta (x,y) = y^{2}. \) Solução: 2 Q2 Encontre o valor médio da função \( f(x, y, z) = 2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \) sobre o sólido \( E = \{ (x, y, z) \mid y \geq 0, \ z \geq 0, \ x^2 + y^2 + z^2 \leq 16 \} . \) Solução: 4 Q3 Seja R um paralelogramo no plano xy delimitado pelas retas x - 2y = 0, x - y = 0, x - 2y = -2, 2x - 2y = -3. 1. (4 pontos): Desenhe o paralelogramo R e sua imagem S sob a transformação: u = -x + 2y, v = 2x - 2y. 2. (6 pontos): Use a transformação para calcular a integral: \[ \int \int_{R} (y-x) \sin(\pi(2y-x)) \ dA. \] Solução: 6 7 Q4 Coloque uma cruz sobre a caixa V, se você acha que a afirmação está correta. Caso contrário, coloque uma cruz sobre a caixa F. Não precisa justificar. (i) ∫ 0 to 1 ∫ 0 to x² f(x,y) dy dx = ∫ 0 to 1 ∫ 0 to √y f(x,y) dx dy para qualquer função contínua f(x,y). V F (ii) ∫ 0 to 1 ∫ 0 to π ∫ 0 to 2π ρ² sin φ dθ dφ dρ = 4π/3. V F (iii) ∬_D (1 + x² + y²) dA = -1.25, onde D = {(x,y) | -1 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1}. V F (iv) O integral iterado ∫ 0 to 1 ∫ 0 to 1-x ∫ 0 to 1-x-z dy dx dz é igual ao volume do tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). V F (v) Seja D = {(x,y) | y ≤ 0, x² + y² ≤ 4}. Então: ∬_D y dA = ∫_π to 2π ∫_0 to 2 r² sin θ dr dθ. V F Matrícula Nome Assinatura 8 Agora, usaremos a transformação S: \[ \begin{aligned} u &= -x + 2y \\ v &= 2x - 2y \end{aligned} \] Aplicaremos essa transformação nos pontos dos vértices do paralelogramo: \[\begin{array}{l} (2,2) \\ (0,0) \\ (-1,0.5) \\ (-3,-1.5) \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{l} u(2,2) = -2 + 2\cdot2 = 2 \\ u(0,0) = 0 + 2\cdot0 = 0 \\ u(-1,0.5) = 1 + 1 = 2 \\ u(-3,-1.5) = 3 + 2(-1.5) = 0 \\ \end{array} \begin{array}{l} v(2,2) = 2\cdot2 - 2\cdot2 = 0 \\ v(0,0) = 2\cdot0 - 2\cdot0 = 0 \\ v(-1,0.5) = -2 -1 = -3 \\ v(-3,-1.5) = -6 + 3 = -3 \end{array}\] \newline E sob a transformação obtemos as pontos: (2,0) ; (0,0) ; (2,-3) ; (0,-3) Agora, podemos esboçar o conjunto: Diagrama: (Gráfico com o retângulo formado pelos pontos, sendo a região S) E agora, a região R se torna uma região retangular simples e S é a região hachurada acima e pode ser posta como: \[ S = \{(u,v) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \leq u \leq 2 \text{ e } -3 \leq v \leq 0 \}. \] 2.) Calcularemos: \[ \iint\limits_{R} (y-x) \sin(\pi (2y-x))\ dA \] Usando a transformação anterior. Já sabemos que S é: \[ S = \{ (u,v) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \leq u \leq 2 \text{ e } -3 \leq v \leq 0 \} \] Agora, determinemos: \[ y \equiv Y(u,v) \text{ e } x \equiv X(u,v) \text{ e } dA \] Temos: \[ \begin{aligned} u &= -x + 2y \\ v &= 2x - 2y \\ (i) & \text{ Somando temos: } \\ x = u + v \end{aligned} \] Agora, temos: \[ u = \underbrace{-(u+v) + 2y}_{2y}\Rightarrow 2y = 2u + v \therefore y = u + \frac{v}{2} \] E temos por fim: \{ \begin{aligned} x &= u + v \\ y &= u + \frac{v}{2} \end{aligned} \} Calcularemos \( dA \) com efeito: \[ \begin{aligned} dA &= \mathrm{J}(u,v)\ dudv = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} du dv \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & \frac{1}{2} \end{vmatrix} du dv = (\frac{1}{2} - 1) du dv = -\frac{1}{2} du dv. \end{aligned} \] Logo, \( dA = -\frac{1}{2} du dv \). Veja ainda que: \[ y-x = (u + \frac{v}{2}) - (u + v) = -\frac{v}{2} \] \[ 2y-x = 2\left(u + \frac{v}{2}\right) - (u + v) = u \] Com isso, podemos calcular o desejado. Veja: \[\begin{align*} \iint\limits_{R} (y-x) \sin(\pi (2y-x))\ dA = \int\limits_{5} \int\limits^{-\frac{v}{2}} \sin(\pi u) \cdot \left(-\frac{1}{2} du dv\right)\\ = \int\limits_{0}^{2} \int\limits_{-3}^{0} + \frac{v^2}{4} \sin(u \pi)\ dv\ du \newline = \int\limits_{0}^{2} \sin(u \pi)\ du \cdot \int\limits_{-3}^{0} \frac{v^2}{4}\ dv \newline = \int\limits_{0}^{2} \sin(u \pi) du \cdot \left. \frac{v^3}{12} \right\vert_{-3}^{0} \newline = \left.-\frac{1}{\pi} \cos(u \pi) \right\vert_{0}^{2} \cdot \left. \frac{v^3}{12} \right\vert_{-3}^{0} \newline = -\frac{1}{\pi} \left[ \cos(2\pi)-\cos(0) \right] \cdot \left[\frac{-9}{8}\right] \newline = \frac{9}{8}\left[1-1\right] = \frac{9}{8} \cdot 0 = 0. \\ \therefore \iint\limits_{R} (y-x) \sin(\pi (2y-x))\ dA = 0 \end{align*}\]