Aula 21 - Limites e Continuidade

Limites e Continuidade TTT] AULA 21 Aula 21 — Limites e Continuidade Introducao Limites e continuidade foram introduzidas para funcodes reais f :U Cc R” — R nas aulas 3 e 4. Nesta aula estudaremos as definigdoes destes conceitos para funcoes vetoriais reais f : U C R” — R™, mjneNe m > 2. Definicao 1 Considere f : U C R" > R™ e a = ("1,--+,2%n) um ponto de acumulacao de U. Dizemos entaéo que yo = (Y1,°°:,Ym) € R™ € 0 limite de f em 2 se, para qualquer ¢ > 0, existe um 6 > 0 tal que | f(x) — yol| < ¢ sempre que 0 < lla — rol < 6. Neste caso denotamos yo = lim f(z). 220 R | yy Be ye. =o I ( ‘ad... Dominio def Espago do dominio ®? Espago da imagem 2° caso f :U Cc R? = R? Observe que a definigao de limite para funcoes vetoriais é, em esséncia, a mesma que fizemos para as fungoes reais, o que difere sao as dimensoes dos contra-dominios e suas respectivas normas. A expressao | f(x) — yoll representa a distancia entre dois vetores do R™, isto é, f(x) — yoll = V(A(@) — yi)? ++ ++ + fm(®) = Ym)? ; em que f1(2),--- , fm(x) sao as fungdes coordenadas de f. Note ainda que a distancia Ife) — yo = VCAi(@) = yn)? +++ + fim (@) = Ym)? => V(fi(x) — yi)? (1) = |fi(x) —yil | CEDERJ Limites e Continuidade [TTT Ooorarrvrv S$ 7 Calculo III com 7 =1,---,m, e que Lf(o) — wl < Vn mdz {| file) — yl} (2) Usando a desigualdade (1) podemos concluir que se lim | f(2)—yol| = 0, w—-XLO entao lim |f;(x) — y;| = 0 para cada funcao coordenada fj, i = 1,---m; w—-XLO isto é, se lim f(x) = yo, entao lim fi(x) = y;,,i=1---,m. L—2XrO LX Por outro lado, usando a desigualdade (2), podemos concluir que se lim |f;(x) — y;| = 0, para i = 1,---,m, entao lim | f(a) — yoll = yo. Isto LX CL XO posto, podemos enunciar o seguinte teorema: Teorema 1 Seja f : U C R” — R”™, com funcoes coordenadas f,,--- , fm, % um ponto de acumulacao de U e yo = (y1,°-* , Ym) em R™. Entao: lim f(x) = yo se, e somente se, lim fi(x) = y; L—2XO ct XO com i= 1,---,m. Exemplo 1 Seja f(x,y) = (y+ tgz,xlny). Note que lim x,y)= lim +tgr=1 ceantoay HY) = cea toayY * e lim fe(@,y)= lim a«lhy=0. cea toay PY) = 6 yaa) Logo, lim L,Y) = lim x,y), lim x, = (1,0). cli, Fea) = (im, filesads tim, fle) = (0) Exemplo 2 Seja f(x, y,t) = (xy, sen F). Como . 1 lim sen — (x,y,t)—(0,0,0) t nao existe, temos que lim x,y,t (x,y,t)—(0,0,0) P( y ) também nao existe. CEDERJ be Limites e Continuidade AULA 2 Continuidade Definicao 2 Considere f : U C R” — R™ e a € U. Dizemos que f é continua em x9 se lim f(x) = f (ao). LX Obs 1 Em um ponto isolado (ponto que nao é ponto de acumulacao) do dominio de f, nao podemos falar de limite. Neste caso diremos que f é automaticamente continua em tal ponto, por definicao. Obs 2 Dizemos que uma fungao é continua se ela é continua em todo ponto do seu dominio. Como conseqiiéncia da definigao 2 e do teorema 1 podemos enunciar o seguinte teorema: Teorema 2 Uma funcao vetorial é continua se, e somente se, as suas funcgdes coordenadas sao continuas. Exemplo 3 Como fj(@1,°+* ,2n) = 41% +++++Ain%p, coma; € Rej =1,---,n,é uma funcao continua em R”, para i = 1,--- ,m, temos que a transformacao linear f : R" — R™ definida por f(x1, us , Xn) = (filer, ue Xn), us fm (21, ue :n)) é continua em R”. Exemplo 4 ~ _ f(senzy cosay\ , ; 2... ~ A fungao f(x,y) = (= srt) é continua em R* pois cada fungao coor- , ; 2 _ senay _ cosxy _~ denada é continua em R*. De fato, fi(x,y) = <a ° fo(x,y) = ay Sao continuas, pois sao definidas como quocientes de funcdes continuas e e*TY > 0 para todo (2, y) € R’. Com relagao a nocao de continuidade podemos enunciar ainda os seguintes resultados: | CEDERJ Limites e Continuidade ———_—_—_WTJTHs—A_Ae OS 7 Calculo III Teorema 3 Considere f : R” — R” eg: R™ — R? continuas de tal modo que go f esteja definida. Entao (g 0 f)() = g(f(x)) 6 continua em R”. Teorema 4 Considere f : R” — R” eg: R” — R” continua e \ € R. Entao: a) (f +9)(x) = f(x) + g(z) é continua; b) (Af)(«) = Af (x) é continua. As demonstragoes dos teoremas 3 e 4 podem ser observadas num texto de Calculo Avangado, por exemplo, Williamson etali, (1976) e Apostoé. Deixamos ao leitor curioso a tarefa de consulta-las. Em verdade, 0 que nos interessa, num primeiro curso de Calculo, é que vocés saibam interpretar e usar estes resultados. Vamos aos exercicios! Exercicios Propostos 1. Em que pontos as seguintes fungoes nao tém limites? x yttgez x a = Cc x,y) = — + ()- (ES) tems _Y co 40 24] ——+y se &£ b) (7) - _ d) f(ay)= 4 E* y Poi Fj 2+y se x=0 2. Em que pontos as seguintes fungdes nao sao continuas? x + + + ~ +y se «40 a) r( jos “oY c) fay)= 4 OE" y x+y? 1l+y se x=0 3u — 4u b) f (") = v u+ 8v CEDERJ be