Aula 22 - Derivadas Parciais - Diferencial

Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana AULA 22 Aula 22 – Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana Introdu¸c˜ao Uma das t´ecnicas do c´alculo tem como base a id´eia de aproxima¸c˜ao de uma fun¸c˜ao por uma fun¸c˜ao linear ou por uma fun¸c˜ao afim na vizinhan¸ca de um ponto do seu dom´ınio. Foi assim para fun¸c˜ao f : R → R (C´alculo I), f : R → Rn (C´alculo II) e f : Rn → R (in´ıcio do C´alculo III). E para fun¸c˜oes f : Rn → Rm a his´oria, como veremos, ir´a se repetir. Defini¸c˜ao 3 Dizemos que uma fun¸c˜ao A : Rn → Rm ´e afim se existe uma fun¸c˜ao (ou transforma¸c˜ao) linear L : Rn → Rm e um vetor y0 em Rm tal que A(x) = L(x) + y0 para todo x ∈ Rn. Conforme j´a observamos, veremos que as fun¸c˜oes afins constituem a base do C´alculo Diferencial das fun¸c˜oes vetoriais. Exemplo 5 A(x, y, z) = (2x + y − 1, x − 2z + 1, x + y + z) = (2x + y, x − 2z, x + y + z) + (−1, 1, 0) ´e uma fun¸c˜ao afim de R3 → R3, em que y0 = (−1, 1, 0) e L ´e a transforma¸c˜ao linear representada na forma matricial como segue: ⎡ ⎢⎣ u v w ⎤ ⎥⎦ = L(x, y, z) = ⎡ ⎢⎣ 2 1 0 1 0 −2 1 1 1 ⎤ ⎥⎦ ⎡ ⎢⎣ x y z ⎤ ⎥⎦ 35 CEDERJ Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana [S$ 7 Calculo II Obs 3 Note que poderiamos ter apresentado a fungao afim do exemplo anterior usando também a representacao matricial U 21 0 x —1 v | =A(a,y,z)=}]1 0 -2 y | + 1 w 1 1 1 z 0 a et Ne L(x,y,z) Yo Exemplo 6 Em dimensao 1, uma fungao afim tem a forma f(x) = ax+b, em que a parte linear é L(x) = ax, sendo [a]:,1 a matriz que representa a fungao linear. Em Busca do Conceito de Diferenciabilidade Recordamos inicialmente o caso das fungoes reais f de uma varidvel real x. Ora, sabemos que se f é diferencidvel em x,, entao f pode ser aproximada numa vizinhanga de x, por uma fungao afim A(x) = ax + b. Como f(x,) = A(x,) = ax, + b, obtemos: A(z) =axr+b=a(x—2,)+ f(a). A parte linear de A(x) (representada anteriormente por L) é, neste caso, a expressao a-x. A norma euclideana de um numero real é 0 seu valor absoluto, assim a condicao de diferenciabilidade torna-se E A — ~ a(x — 0 = tim SO = jim LOAM = yy AOS) ae) (gy Ty |ar — Z| TX t— Xo Ty lax _ x,| onde E(2) é 0 erro que se comete quando aproximamos f(a) por A(x) numa vizinhanga de x,. Como sabemos, a expressao (3) é equivalente a lim 16%) =F) = L-Xo x Xo O numero real a é usualmente denotado por f’(x,) e é denominado derivada de f em z,. A funcao afim A é portanto dada por A(x) = f(%) + f'(x,)(« — x) CEDERJ be Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana AULA 22 e o seu grafico éa reta tangente ao grafico de f em x, (veja figura a seguir). y= f(x) _S Y= F(X) + f' (xo )(x ~ Zo) f(x) a Xv Agora estudaremos a possibilidade de aproximar uma funcao vetorial real arbitraria f : R" — R” numa vizinhanga de um ponto x, do seu dominio por uma fungao afim A(z). Ora, para inicio de conversa, devemos ter A(x,) = f(x,), isto é, para x =x,, A(a) deve fornecer o valor exato de f (acompanhe a discussao atual comparando com o exemplo das fungoes f : R — R). Como A(x) = L(x)+y, e f(x,) = A(a,) = L(x,) + y,, temos que A(a) = L(x) + yy = L(x) + f(%) — L(%)- Ora, L(x) é linear, logo L(x) — L(a,) = L(x — 2%) e, portanto, concluimos que A(a) = L(t — ay) + f(%0) (4) E natural impormos também a condicaéo de que tim (f(x) — A(z) =0 (5) 0 afinal queremos que A(z) seja uma aproximacao para a funcao f numa vizi- nhanga de x,. Entretanto, para que isso aconteca, precisamos que f seja contina em x =2,. Com efeito, observe inicialmente que como L(x) é continua, temos que lim L(x — x,) = L(0) =0 T~ Loy logo, 0= lim (f(x) - A(e)) = lim (f(x) — fe.) — L(w—2,)) = Jim (fe) — f(@)) 0 0 0 isto é, tim f(e) = F(0,). 0 | CEDERJ Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana [S$ 7 Calculo III Ora, isto é significativo, mas nada diz a respeito de L. Portanto, a fim de que o nosso conceito de aproximacao possa distinguir uma funcao afim de outra ou medir de algum modo até que ponto A é uma boa aproximacao para f, algum requisito é necesdrio. No caso de dimensao 1 (fungéo de R em R), exigimos que |f(x) — A(x)| tendesse a zero mais radpido do que x tendesse a £,, isto é, exigimos que x) —f(x,)-a(a-—a fan £tL= flea) = ale =) _ rX |x _—& o| (denotamos, neste caso, a por f’(x,) - veja equacao (3) da pagina anterior). E natural que fagamos 0 mesmo (é claro, com algumas adaptacoes) para fungoes de R"” — R™. Assim, exigiremos que fay £OOL= flea) = Le =) _ ame) jz — 2, Equivalentemente, podemos exigir que f seja representavel na forma f(x) = f(t) + La — a) + |v — & |E(@ — 2), em que E(x — x,) é uma fungao que tende a zero quando x — x,y. Isto posto, podemos fazer a seguinte definicao Definicao 4 Uma fungao f: U Cc R" — R” sera denominada diferencidvel em x, se: (i) x, 6 um ponto interior de U (ii) Existe uma funcao afim que aproxima f numa vizinhanga de z,, isto é, existe uma fungao linear L : R" — R™ tal que x)— f(a) - L(x# - 2 jim LO = f(t) = Le = %) _ ro Xo |x — X | A fungao linear L é denominada diferencial de f em x,. Dizemos sim- plesmente que a fungao f é diferencidvel se ela for diferencidvel em todo ponto de seu dominio. Conforme a definigao, o dominio de uma fungao diferencidvel 6 um conjunto aberto. Entretanto, 6 conveniente estender a definigao de modo tal que se possa falar de uma funcao diferenciavel f definida num subconjunto arbitrario S do espaco do dominio. Diremos, neste caso, que f é diferenciavel em S' se existir f : U C R" — R™ diferencidvel num conjunto aberto U que contém S de modo que f | =f. S CEDERJ be Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana TTT] AULA 22 Como Determinar a Diferencial de uma Dada Fungao Da Algebra Linear sabemos que uma transformacao linear L : R" — R™ pode ser representada por uma matriz m x n. Assim, o que precisamos fazer é determinar os coeficientes (a;;) dessa matriz. Veremos a seguir que estes coeficientes podem ser determinados em termos das derivadas parciais de f. Ora, como L é univocamente determinada por f em cada ponto interior do dominio de f, podemos falar de a diferencial de f em x, e a denotamos por d,, f. Assim, para encontrar a matriz [de, f| de f uma funcao diferencidvel f : R" — R™, consideramos a base canonica (ej, €2,:-+: ,€n) do espaco dominio R". Se x, é um ponto interior do dominio de f, os vetores Lj=X,+te;, J=l,---,n estao todos no dominio de f para ¢ suficientemente pequeno. Temos ainda pela condicao (ii) da definicao de diferencial que: x;)— f(x,)—dy f(x; -—2x say ti) = Floto) = day Fl) = 205) _ 6) LX t para j = 1,--- ,n. Como d,, f € linear, temos que dy, f(r; ~~ Ly) = dy, f (te;) = tdy, f(e;) . Logo, o limite (6) é equivalente a dizer que (fai) = £(%o) . f (25) — f (xo) jy (PEPE) — a, A(e;)) = 0 2 tim LO) a, es), ) para j =1,---,n. Ora, d,, f(e;) € a j-ésima coluna da matriz de d,, f. 0 Qi eee aij eee Ain . aij a2] wee a2; wee Qn, I _ a2j Am **" Amj “++ Amn 0 Anj dy, f €j Por outro lado, o vetor x; difere de x, apenas na j-ésima coordenada, e nesta coordenada a diferenca é justamente o nimero t. Portanto, 0 primeiro membro da equacao (7) é precisamente a derivada parcial Of By, (to) : j a CEDERJ Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana [a ee $$ 7 Calculo III De fato, se f1, fo,--- , fm sao as fungoes coordenadas de f, entao lim f (xj) = f(%9) _ lim fi(%p + te;) — fil%p) .-. lim Fin(@o + tej) = fm(%o) t0 t t0 t , "£50 t = (Fed Fe) of = Da, “0 . Isto posto, temos que: a,— Of, ) qj Ox; 0 Qo, = PP (, ) 23 Ox; 0 Ofm ami = On, 2) com 7 =1,--- ,n. Assim, temos que a matriz de d,, f tem a forma Of, Of, Of, _ x _ x eee _ x Felts) SE) FAC) Ofe Ofe Ofe _ x _ x eee _ x Felt) lt) Flas) —— x —— x eee _ x Feeley) Ga) FE Cae) Esta matriz é denominada matriz jacobiana ou derivada de f em x, e é denotada por f’(x,). Podemos resumir o resultado que acabamos de provar no seguinte teorema: Teorema 5 Seja f : U C R" — R” uma fungao diferenciavel e x, um ponto interior de f. Entao a diferencial d,, f € univocamente determinada e a sua matriz é a matriz jacobiana de f, isto é, para todos os vetores y € R”, temos dx, f(y) = f'(%) °Y (8) CEDERJ be Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana TTT] AULA 22 Apesar da transformagao linear d,, f e a sua matriz f"(x,) serem logi- camente distintas, a equacao (8) mostra que elas podem ser identificadas na pratica contanto que seja entendido que a matriz de d,, f seja tomada em relacao as bases canonicas de R” e R™. Exemplo 7 Seja f : R® — R? definida por f(x,y, z) = (a? + e¥,a + ysenz). Ora, as fungoes coordenadas de f sao fi (x,y,z) = 2? + eY, fo(x,y,z) =v + ysenz e a matriz jacobiana em (2, y, z) é dada entao por: Pha y,2) eey.2) Aeey,2) Ox 99) dy 99) Oz re _ 2x eY 0 Ofe Ofs Ofe 7 1 sen Zz DB_he YZ ale, Y, 4 DBTl2,Y, 4 Y COS Bn 2) By He) Brey) Portanto, o diferencial de f em (1,0, 7/2) é a funcao linear cuja matriz é 2 1 0 f'(1,0, 7/2) = 1 1 0 Exemplo 8 A fungao f : R? — R? definida por f(x,y) = G + y)?, vy? + vy) tem diferencial d,, f em (x,y) representada pela matriz jacobiana 2e+2y 2x4 2y fawy= |, , yo +2xry x + 2xry Condigao Suficiente para a Diferenciabilidade Dada uma funcao f : U C R" — R"™ diferenciavel, U um aberto do R”, vimos que d,, f, %) € U fica univocamente determinada a partir dos calculos das derivadas parciais Ofi Fo) com2=1,---,mej=1,---,n, se utilizarmos as bases canonicas de R” e R™, isto é, se f é diferencidvel em x, € U, entao Sh (z,), com i=1,---,m J ej =1,---,n, existem e Of; (a. f =| FAC] ° Ox; ° mxn a CEDERJ Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana [a ee $$ 7 Calculo III Diante disto, surge uma questao natural: sera que se todas as derivadas parci- ais h(x.) existem? podemos afirmar que f é diferencidvel em x,? Sabemos J (por aulas anteriores) que tal fato nao se verifica para funcgdes f : R” — R. No entanto, podemos adicionar alguma condicao sobre as derivadas parciais ae de modo a garantir a diferenciabilidade de f. Acreditamos que vocé ja deva saber do que se trata (veja o proximo teorema). Teorema 6 Seja f:U CR" — R”™, U um aberto do R”. Se todas as derivadas parciais oh J das fungoes coordenadas sao continuas em U, entao f é diferencidvel em U. Nao faremos aqui a demonstracao deste teorema. O leitor curioso pode encontrar uma demonstracao deste resultado em [Williamson etall, 1976, pp 261-263]. O que realmente interessa para nds é se vocé sabe usar este resultado para argumentar sobre a diferenciabilidade de fungoes vetoriais. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 9 Considere f(x,y) = (1 — x? — y? definida no disco aberto D= { (x,y) ER |r t+y< 1}. Note que: SF (ey) =" oF ey) = 5. Y) FF Ses SC *_—_ OCG OY Fae Ox \/1 — 2? — y? Oy | — 7? = 7? sao continuas no disco aberto. Logo, f é diferencidvel em D. Exercicios Propostos 1. Se f é fungao vetorial definida por 2 — y2 f(2,y) = ( 9 . ty Determine a derivada de f nos seguintes casos: x a 1 1/2 b " () (:) ° (:) 0 (5) CEDERJ be Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana AULA 22 2. Determine a derivada de cada uma das seguintes fungoes nos pontos indicados: x x 1 a) f =a? +y? em = y y 0 b) g(z,y, 2) = xyz em (2, y, z) = (1, 0,0) c) f= (2) em t = 7/4 cost et d) ft)}=|t}] emt=1 t? x+y c) at) = (22% ) em (oa) = (1.2) UtvU 1 f) (") =]/u-v|] em (") -( v v 0 1 U COS U 1 g) r(") = | usenv}] em (") = ( U U TT U h) f(t,y,z)=(w@+yt+2, xy + yz + xz, xyz) em (x,y, 2) 3. Seja P uma funcao do espaco euclideano tridimensional no bidimenional definida por P(x, y, z) = (2, y). a) Qual é a interpretacao geométrica desta transformacaéo? b) Mostre que P é diferencidvel em todos os pontos e determine a matriz da diferencial de P em (1, 1,1). 4. a) Desenhe a curva em R? definida parametricamente pela funcao g(t) = (t-1,? —3t+2), -oo<t<+oo. b) Determine a fungao afim que aproxima g (1) numa vizinhanga de t = 0 (2) numa vizinhanga de t = 2 c) Descreva a curva definida parametricamente pela fungao afim. a CEDERJ Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana [a ee $$ 7 Calculo II 5. a) Esboce a superficie em R® definida explicitamente pela funcao z= f(x,y) =4-2°-y?. b) Determine a fungao afim que aproxima f (1) numa vizinhanga de (0,0) (2) numa vizinhanga de (2,0) c) Desenhe os graficos das fungoes afins em (b). 6. Qual é a derivada da fungao afim a, ag a3 x a9 by bo bs Yy + bo ? Cy C2 © z Co 7. Prove que toda fungao linear é a sua propria diferencial. 8. Prove que toda translacao é diferencidvel. Qual é a diferencial? 9. A funcao R” R definida por g(x) = |x| = /(a)?+---+ (a,)? é diferencidvel em todo ponto de seu dominio? 10. Verifique que a funcgao x —_ se HF ty f@yay Py 0 se w=+y tem a matriz jacobiana em (0,0), mas que nao é diferencidvel ai. CEDERJ be