Aula Cálculo 3 - Módulo 8 2022-1

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matematica e Estatistica Departamento de Matematica Aplicada Calculo III-A — Méddulo 8 Aula 15 — Integral de Linha de Campo Vetorial Objetivo e Definir integrais de linha. e Estudar algumas propriedades. Integral de Linha de Campo Vetorial Motivacao Considere uma particula que se move ao longo de uma curva C': 7(t) = (x(t), y(t)), t € [a,b], sob > > a acao de um campo de forcas F(a, y) = P(x,y) i + Q(a,y) Jj. Queremos calcular o trabalho realizado pela for¢a F, quando a particula se desloca de A = y(a) até B = ¥(0). Da fisica, temos, no caso em que FE é constante e C’ 6 um segmento de reta, o trabalho dado pelo produto escalar W = F : AB. No caso geral, dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos |t;_;,t;], 7 = 1,...,n, de mesmo comprimento A; = t; — t;_,. Temos n subarcos ¥({ti-1, til) = C; e n segmentos [A;_1, Aj], Aj = (ti) = (2(ti), y(ti)), com i=1,...,n. Aj a= to Ai+1 tj-4 y t; b=ty Supondo que FE constante ao longo do segmento [A;_1, Aj], o trabalho ao longo de C; é aproxima- damente igual ao produto escalar et W; = F (7(t:)) Ay Aj = F (y(t;)) -(A; — Aj-1) = P(x(ti), y(ti)) Av + Q(x(ti), y(ti)) Ay, onde Ax = x(t;) —_ x(t;_1) e Ay = y(t) —_ y(ti_-1). Calculo III-A Médulo 8 2 Pelo Teorema do Valor Médio, temos Ax = a’ (t7) At, com t €|t,_1,t;| e Ay = y’ (t*) At, com t* € |t;_1,t;[. Logo, W, 2 [P (w(t), y(ti))2" (#8) + Q(o(ti), y(ts)) u(t) | At portanto WES? [P(oltd), vlta))2"(H) + Q(wlt), lt) u(t") At = Sy. i=l Assim, definimos W = lim S,,. Entao At—0 b W= f [Pll ve)x') + Q(x), v)u'()] at. Esta motivacao sugere a definicao que se segue. Defini¢ao: Seja C C R® uma curva regular dada por uma parametriza¢ao 7 : [a,b] + R® de classe C', tal que 7/(t) # 0, para todo t € Ja, bf. Seja FE = (P,Q, R) um campo vetorial continuo sobre C. Entao a integral de linha do campo FE ao longo de C’, denotado por [F -d?’, é definida por Cc b [Fare [Foy vou C a b = / [P(w(t), y(t), 2(0) 2") + Q(x), yO), 2) yO + R(et), yO), 20) 20] at. OBS.: 1. Seja C uma curva regular por partes: C = C, UC) U...UC). Entao [Pata [Fares [Par C Cy Cn sl, ‘ > 2. A integral de linha de um campo vetorial F, [F -d? nao Cc — depende da parametrizacao de C’, desde que nao se inverta sua orientacao. Isto é, denotando por C” a curva C’ percorrida em outro sentido, entao [Rava [Pat c- C UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 3 OBS.: at ly . Se C é uma curva fechada (y(a) = e esta orientada no a) 3. SeCé fechada (7(a) = 7(b)) { orientad act sentido anti-hordrio, denotamos a integral de linha por phar, ‘ ° — Caso contrario, denotamos por fF -d7?’. co Exemplo 1 Seja F(a, y,2) = et + yh + ok. Temos a integral de linha FE ao longo da hélice C: y(t) = (cost, sent,t), com 0 < t < 2m dada por b 2r pF dP = / EF (y(t)) -(y’(t)) dt = | (cost, sent, t) -(—sent,cost,1) dt CG a 0 20 = | (— costsent + sent cost +t) dt 0 20 = | t dt 0 20 — |# — |, = 2Qr?. Uma outra notacao Sabemos que dt_ = w(t) dt, dy = y(t) dt e dz = 2'(t) dt. Se usarmos a convencao dv =dxi +dyj +dzk = (dz, dy,dz), temos [Paw = [(P.Q,R)- (ax, dy, a2) C C = [Pic + Qdy+ Raz C b = / [P (x(t), y(t), 2(t)).2"(t) + Q(x(E), y(t), 2) y'() + R(e), y(t), 200) 2] at. Logo, uma outra notacao é JP dx + Qdy+ Rdz. C Exemplo 2 UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 8 4 Calcule Jy dx +(x? + y”) dy, onde C é formado pelos segmentos que ligam (—2,0) a (0,0) e (0,0) Cc a (0, 2). y Solucao: (0,2) O esboco de C' = C; U C2 esta representado Cy na figura ao lado. (—2,0) (0, 0) Xx C1 C, e Cy podem ser parametrizadas por xr=t Cf y =0 ,-2<t<0, portanto dz =dt e dy=0. x=0 Cf To O<t< 2, portanto dx = 0 e dy=dt. Temos , Jo dx + (x? + y*) ay= | 0 dt+ (t? + 0°) -0=0 Cr ~? 2 2 472 Jy dx + (a? +”) ay= [04 we) a= fe dt = IS = 8. 0 ds 0 0 Logo, [ude (Psy dy =0+8=6&. C Aula 16 — Campos Conservativos Objetivo e Estudar uma classe de campos vetoriais que tem a propriedade de que a integral de linha nao depende do caminho. e C4lculo de funcdes potenciais. UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 5 Campos Conservativos Dizemos que FE :D CR" > R", (n= 2, 3) €um campo conservativo ou um campo gradiente se existir um campo escalar diferenciavel y : D C R"” > R, tal que Vy = FE em D. O campo escalar py: D C R” > R é dito fungao potencial de F em D. Exemplo 1 > > > O campo vetorial F(2,y,2) = (2x + 3yz) i + 3x2 j +3aryk é um campo conservativo em R?, pois existe v(x, y, z) = x? + 3xryz diferencidvel em R?, tal que Vy = F em R’. A seguir, apresentaremos alguns resultados dos campos conservativos. Teorema 1: Seja F:D c R" — R”, (n = 2,3) um campo vetorial de classe C'. Se F é conservativo, entao rot F = 0. Demonstrac¢ao: Suponhamos n = 3. Entdo, F = (P,Q, R). Se F é conservativo, existe p : DC R® SR, tal que Vy = F. Logo, rot =Vx FE = V x (Vy) = 0 por propriedade dos operadores diferenciais. a Mais adiante, veremos um exemplo de um campo vetorial nado conservativo, com rotacional nulo. sal OBS.: O Teorema 1 também pode ser enunciado da seguinte maneira: ae , ; _ | “Se rot F #~ 0 em D, entao FE nado é conservativo em \ —D” . — Exemplo 2 Temos que F(a,y) = ie i+ ai i é um campo conservativo em R? — {(0,0)}, pois existe y(z,y) =In(2? + y”), tal que Vy = F em R?- {(0,0)}. Exemplo 3 > > Temos que F(a, y) = —2y i + 2x j nado é um campo conservativo. Ora, temos que 9 > > > => rot (a,y) = (2 - 2) kK = (2—(-2))k =4kK 40. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 8 6 Teorema 2: Seja F:D Cc R" > R’, (n = 2, 3) de classe C?. Se F é conservativo, isto é, FE = Vy em D, ese C é qualquer curva regular por partes com ponto inicial A e ponto final B, entao [Feat = [ ved? = 918) (a), C C Demonstra¢ao: A demonstra¢ao segue da definicdo de integral de linha e da regra da cadeia (ver Teorema 6.2 do livro). a Este resultado é conhecido como Teorema Fundamental do Calculo para Integrais de Linha. E dele que concluimos que a integral de linha de um campo conservativo so depende dos pontos Ae Be nao depende da trajetéria que os une. Teorema 3: Se FE : DCR" > R", (n = 2, 3) é conservativo, entao fF -dr =0 qualquer que Cc seja o caminho fechado. Demonstrac¢ao: A demonstrac¢ao segue do Teorema 2, pois C’ sendo um caminho fechado, o ponto final B coincide com o ponto inicial A, portanto y(B) — y(A) = 0. Assim, a integral de linha é zero. a Este Teorema também pode ser enunciado da seguinte maneira: "Se fF -d7’ + (0) para alguma curva fechada C' entao FE nao é conservativo” . Cc Exemplo 4 > => Calcule JF .d?’, onde F(a, y)=r2i +yj eC édada por 7(t) = (arctgt, cost’) , O<t<1. Cc Solucao: Observemos que F éum campo conservativo em R? com fungdo potencial y(a,y) = $ (x? + y”). UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 8 7 Assim, [FR -d? =y(9(1))—¢(4(0)) = v(aretg 1, cos 1) — y(arctg 0, cos 0) C = ~ (4, COS 1) a y(0, 1) = 4 (€ +cos*1) — 4 (0? +1?) = i (4 - 1 +cos*1) 2 \ 16 . . wpe . ~ . . =~ A seguir exibiremos um campo vetorial nado conservativo com rotacional 0, o que mostra que a reciproca do Teorema 1 é falsa. Exemplo 5 . 4 72 . 7 a Seja Fey) =mplit+api. @yeDs= R? — {(0,0)}. Como oo = on (verifique!), rot’ = 0 em D. Calculemos fF .d7’, onde C é a circunferéncia 7(t) = (acost,asent), Cc O0<t< 2m. Temos 20 QF df = |= di + poady = / | (=48"*) (—asen t) + (“°$*) (acos t)] dt C C 20 = | (sen? t + cos? t) dt 0 = 27 £0 (1) Se FE fosse conservativo, teriamos encontrado, pelo Teorema 3, que fF . dr’ = 0, 0 que Ct contradiz (1). Logo, F nao é conservativo. Na aula 18, veremos, para o caso n = 2, que, impondo certas condi¢des ao dominio de F, a reciproca do Teorema 1 é verdadeira. Calculo de Funcoes Potenciais Exemplo 6 Sabe-se que F(a, y) = (Qry? — y?, 2x*y — 3xy? + 2) éum campo gradiente. Determine uma fun¢do potencial. Solucao: UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 8 Para determinar uma fun¢ado potencial v(x, y), devemos ter Op ap a ty (2) 0 ay = 2Qx?y — 3xry? + 2 (3) Integrando (2) em relacdo a x, temos (x,y) = ay" — xy” + f(y) (4) Integrando (3) em relacado a y, temos (x,y) = ay" — xy? + 2y + g(x) (5) De (4) e (5), vemos que, tomando f(y) = 2y e g(x) = 0, segue que uma fun¢ao potencial é p(a,y) = wy" — vy? + dy. Exemplo 7 > > > Sabe-se que F(a,y,2) = 2ryi + (a? 4+ zcos(yz)) j + ycos(yz)k € um campo conservativo. Determine uma funcao potencial. Solucao: Devemos ter: 3 P an 2xy (6) 0 x =x" + zcos(yz) (7) y 0 Se = ycos(y2) (8) Integrando (6), (7) e (8) em relacado a x, y e z respectivamente, temos o(x,y,2) = xy + f(y, 2) (9) p(x, y, 2) = vy + sen(yz) + g(x, 2) (10) p(x, y, 2) = sen(yz) + h(x, y) (11) De (9), (10) e (11), devemos ter f(y, z) = sen(yz), g(z, z) =0 e h(x, y) = 2’y. Logo, (x,y, 2) = vy + sen(yz) é uma funcao potencial de F. Exercicio 1: Calcule Je dx + x? dy de (—1,0) a (1,0) Cc UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 8 9 a) ao longo do eixo x b) ao longo de C': 7’(t) = (—cost,sent), com0<t <r. c) ao longo da poligonal de vértices (—1,0), (0,1), (1,1) e (1,0). Exercicio 2: Calcule os valores de / — 2Qxry dx + (x? + y) dy ao longo do caminho C, onde C éa Cc a) parte superior da circunferéncia x” + y? = a? de (a,0) a (—a, 0); b) parte superior da elipse x” + 4y? = 2z, orientada no sentido anti-hordrio. Exercicio 3: Calcule o trabalho realizado pela forca F(a, y) = (a, —y) para deslocar uma particula ao longo da curva fechada C = C; UC,UC3, onde C): segmento de reta de O = (0,0) a A = (1,1); Cp: parte da curva 4a? — 12x + 4y? — 8y + 12 = 0, com y > 1, do ponto A = (1,1) a B = (2,1); C’3: segmento de reta BO. Exercicio 4: Calcule [2 dx — 3y dy + z” dz, onde C é 0 segmento de reta que une (1,0,0) a Cc (0, 1, 7/2). Exercicio 5: Determine o trabalho realizado pela forc¢a F'(xz,y,z) = (By +z) i + (y— 3x) j+ +(e? + x2) k para deslocar uma particula ao longo da curva C interse¢do do cilindro 2? + y? = 1 com o plano z = 5, orientada no sentido anti-hordrio quando vista de cima. Exercicio 6: Calcule iE dx + y dy — x dz, onde C é a intersecao das superficies y + z = 8 e Cc x? +y?+ 27 —8z=0, com x > 0, no sentido anti-hordrio quando vista de cima. - z . > oye ; » Exercicio 7: Sabe-se que o campo F’ = (e7*¥ +1) i +e*t¥ j €é um campo conservativo em R’. a) Encontre uma funcao potencial para F. F , ; a 9 1\? 1 b) Calcule / -d? onde C é 0 arco de circunferéncia (a — 1)? + (y — 5) =jcomar> 1 Cc que vai de (1,0) a (1, 1). Exercicio 8: Determine uma fun¢ao potencial para cada campo conservativo. aid > a) F (x,y) = (22 +y?) t+ 20yj. > > b) F(a,y) = (cos(xy) — rysen(xy)) i — (x? sen(ry)) j. c) F (2, y) = (Gry? + 22? ,927y? daz +1). UFF IME - GMA