Integral de Superfície de um Campo Vetorial - Módulo 12 2022-1

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matematica e Estatistica Departamento de Matematica Aplicada 7 7 Calculo III-A — Mddulo 12 Aula 23 — Integral de Superficie de um Campo Vetorial Objetivo e Compreender a nocdo de superficie orientavel, e Estudar as integrais de superficie de campos vetoriais. Integral de superficie de um campo vetorial Hoje vamos integrar campos vetoriais sobre superficies. Quando estudamos as integrais de linha de campos vetoriais, vimos que a definicdo dependia da orientacao da curva, isto é, [Rae a- [Par c- C Aqui, em integral de superficie de um campo vetorial ou fluxo de um campo vetorial, a definicao também depende do conceito de superficie orientada, que passaremos a definir. Dizemos que S é uma superficie orientavel quando for possivel escolher sobre S um campo de vetores unitarios normais a S, que varie continuamente sobre S. Intuitivamente falando, significa que S tem dois lados. Ha superficies que tem um lado s6 como, por exemplo, a fita de Mobius que pode ser facilmente construida. Peguem uma tira de papel retangular ABCD. Pintem um lado de vermelho e o outro de azul. Fixem o lado AB e facam uma meia volta com o lado C'D e colem A com Ce B com D. B C B=D Ee - —— A D A=C A fita de Mobius tem apenas um lado, pois as duas cores se encontram. Calculo III-A Médulo 12 2 OBS.: Superficies fechadas orientaveis terdo duas orientacdes “natu- rais’, determinadas pela normal “exterior” e pela normal “interior”. ay > S: VO I Daqui para frente so consideraremos superficies orientaveis (com dois lados). Defini¢cao 1: Seja S uma superficie regular orientavel. Seja 7 uma orientacao de S. Seja FE um campo vetorial continuo definido em um aberto contendo S. A integral de superficie de FE através de S' ou o fluxo ¢ de FE através de S é a integral de superficie do campo escalar FE TW: © = / / F.Wds. S OBS.: 1) Se FE representa o campo de velocidades de um fluido, essa integral fornece o volume do fluido que atravessa S em uma unidade de tempo, na direcao de TW. wy \ nw ——_ S 2) Se S é parametrizada por y(u,v), (u,v) € D, entao b= [fF as= [PF o(ue))-pseliee x pull dude = fF (o(u,0))-(euxye) dude S D D UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 12 3 se 7 = (outer Pu Poll w= [[P a as = —[[ F(g(u,»)) (60 xe») dudv Ss D se 7 = ST ~uX Poll 3) Se S' é0 grafico da funcao z = f(x,y), (x,y) € D, entao: w= [[P a as= [ [Feu fe) (fo fy) dedy Ss D > _ (— fe —fys1) 88 Vie Hh? w= [[F at as= [ [Feu few) Ue fy 1) dedy s D se 7? = eh. V1+(fe)?+(fy)? 4) Queremos definir /[F - 7 dS, onde S = $,US,U-+-U Sy. Ss UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 12 4 Defini¢ao 2: Seja S uma superficie orientada por um campo de vetores normais unitarios 7. Dizemos que o bordo de S, OS, esta orientado positivamente se, ao caminhar ao longo de 0S, com Ww Of a cabeca no sentido de 77’, tivermos S' A nossa esquerda. OBS.: Uma regra pratica para orientar OS’ é a conhecida “regra da mao direita” com polegar no sentido de We. ve *& Defini¢ao 3: Dizemos que S = S; US) U---US,, esta orientada se for possivel orientar cada S;, de forma que nos bordos comuns a duas superficies, as orientacdes resultem opostas. es m Entao, [[Potas= [[Peias+o+ [[ PF imas. S Sy Sm UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 12 5 Exemplo 1 > > > Calcule o fluxo de F(a, y,2) = Qi + («x + y)j — 2xryk através da_ superficie S: p(u,v) = (u,v, 1 — u? —v?), com (u,v) € D:0<u<le0< v < 1, com normal > _ _YuX Pv n= , IlPu x Poul Solucao: Temos y, = (1,0, -2u) e yy = (0,1, —2v), portanto, o> > i j k ~uX v=} 1 0 —2u | = (2u, 20,1). 0 1 —2v O fluxo de FE é dado por: W _ ~ PurxPv , [fP tas = [fF eluw))- peSey lieu x ell dude Ss D = [[ Feelu.r))- (eux ge) dude D = [fewe + v,—2uv) - (2u, 2v, 1) dudv S = // (4u? + 2uv + 20? — 2uv) dudu S = // (4u? + 2v?) dudv S 1 pl = [I (4u? + 2v?) dudv 0 Jo le. 1 — | ae + 2uv?| dv 0 0 ' 4 0 1 = [h¥ —~ 442 — 3 + 3 = 2. Exemplo 2 > > > Calcule o fluxo do campo F(a, y,2) = x2i+yj + 2k através da parte da superficie esférica x? + y? + 2? = a?, com a normal exterior. UFF IME - GMA Calculo III-A Modulo 12 6 Solucao: Lembremos que, no caso da esfera x? + y? + z? = a? (ver Aula 19), temos 7” = e2) Entao, o fluxo é dado por: 2 2 2 [[Fotas= [feng as = [fe is= [[ eas _ af fas a a a S S S S S = aA(S) = adra? = Ara’. Exemplo 3 > a> 4 Calcule /[F - 7 dS, sendo F(2,y,2) =xi+yjt+zk eS a parte do cilindro x7 + y? = 4, S entre z =0ey+z=3, com a orientacao normal que aponta para o eixo z. Solu¢ao: O esboco de S é: z — 2) ‘ aR a an 8 y x Lembremos que, no caso do cilindro x? + y* = a? (ver Aula 19), 0 vetor unitdrio normal interior a S' é7= (e930) Entao, —7.— 2 2 [[Potas= [foun Spas =— [[ePas=- | [gas =-2/ fas. S S S S S UFF IME - GMA CAlculo III-A Médulo 12 7 Para calcular | fas. devemos parametrizar S. Logo S : y(t,z) = (2cost,2sent,z), com S (t,z)€D:0<t<2re0<z2<3-2sent. Vimos na Aula 19 que || x v-|| = ||(2 cost, 2sent,0)|| = 2. Como dS = ||y; x y-.|| dtdz, entao dS = 2 dtdz. Logo, 2m p3—2sent 20 [[Fat as=-2f f2 dtd =-4 | | deat = -4 | (3 —2sent) dt = —24r. f f 0 Jo 0 Exemplo 4 > > > Calcule [fF dS, sendo F(a, y,2) =xi+yj+zk eS a parte do plano y+ z = 3, limitada S —> pelo cilindro x? + y2 = 4, orientada com a normal 7 tal que 7 - kK > 0. Solucao: O esboco de S' é dado a seguir. z \ Pe \, \ \ o . Le, \ “ 7 ! a 2 3 y xv —> Se w- kK > 0 ent3o a componente z de 7 é maior ou igual a zero, portanto, 7 aponta para cima. A superficie S' pode ser descrita por S : z = 3—y = f(x,y), com (x,y) € S: a? +y? < 4. Um vetor normal a S é dado por N = (— fr, —fy, 1) = (0,0, 1) que aponta para cima. Logo, 7” = Cin. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 12 8 Por outro lado, sabemos da Aula 19 que dS = | dxdy = V2 dxdy. Portanto: [[Fotas = [fteus-0) Save dady 2 S D = [furs-» dady D = 3 | [avay D = 3 A(D) = 372? = 127. > > Exercicio 1: Calcule [fa dS’, sendo F(a,y,2) =yi-—xj eS apartedaesfera x7+y?+27 = S = a’, no primeiro octante com a normal apontando para fora. Exercicio 2: Calcule [[F - 7 dS, onde F (x,y,z) = (x,y, -22) e S éaesfera xr? +y?+ 27 =4, S com vetor normal 77 exterior. Exercicio 3: Calcule o fluxo de F(x, y,2z) = zi+2j—3y2z k através da superficie S, parte do cilindro x? + y? = 16, situado no primeiro octante, entre z = 0 e z = 5 ea normal 7 tal que 7-i > 0. Exercicio 4: Calcule [fF dS, onde F(a, Y,z)= vityj+zk e Sa regiao do plano 27+3y+z = S = 6, situada no primeiro octante, com 7i-k > 0. Exercicio 5: Calcule o fluxo do campo FE (x,y,z) = (x,y, z) através da superficie lateral do cilindro circular x2 + y? = 1, limitada inferiormente pelo plano x + y + z = 1 e superiormente pelo plano x+y +z = 2, com vetor normal 7 exterior. Exercicio 6: Calcule o fluxo do campo vetorial F (x,y, 2) = (y,—a, 27) através da superficie S:z=2%+y?, com 0 < z <1, na direco do vetor normal 77 exterior. > > > Exercicio 7: Calcule [[Fa dS, onde FB e=2? i +y? j +27k eS éa superficie plana x+y = 2, S delimitada pelos planos coordenados e pelo plano z = 4 € a normal se a afasta da origem. UFF IME - GMA Calculo III-A Médulo 12 9 Exercicio 8: Calcule [[F - 7 dS, onde F = (22 —x,-xry,3z) e S é a superficie do sdlido S limitado por z = 4—y?, x =0, x =3€ 0 plano zy, com vetor 7 exterior. 2 Exercicio 9: Calcule [[F - 7 dS, onde F = (ey, -=), e S éa superficie de revolucao obtida S girando-se o segmento de reta AB, com A = (0,1,2) e B = (0,2,4), em torno do eixo z, onde o vetor normal 7 é exterior a S. > > > Exercicio 10: Calcule /[F - 7 dS, onde F = 3y2zi +yj +zk eS éa superficie plana S > y +2 =2, interior ao cilindro x2 + y2 = 1, com campo de vetores normais 7” tal que 7 - k <0. UFF IME - GMA