P2 - Geometria Analítica - Asun

Geometria Analítica e Cálculo Vetorial. PROVA II. Turma G1 Professora: Ana Jiménez 01/08/2013 (1) Considere o ponto A = (2α, 4α, 2α), onde α ∈ R – {0}, e as retas r₁ : x = -4t y = z = 1 - 2t t ∈ R r₂ : x = 3 + 2s y = 3 + s z = 1 + s s ∈ R. (a) (2 pontos) Determine o valor de α ∈ R – {0} e o ponto P ∈ r₂ tais que o vetor \(\overrightarrow{AP}\) seja perpendicular à reta r₁, se \(|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{2}\). (b) (1,5 pontos) Mostre que os pontos A e P do item anterior e a reta r₁ são coplanares. (c) (1,5 pontos) Determine a posição relativa das retas r₁ e r₂. Caso sejam concorrentes calcule o ângulo que elas formam, e caso sejam reversas calcule a distância entre elas. (2) (2,5 pontos) Determine a natureza da quadrática da seguinte família dependendo do valor do parâmetro λ ∈ R: Qλ : - (λ² + 3) x² - λ² y² + (λ² - 3) z² – (λ + 3) y z = -λ. (3) (2 pontos) Determine a equação e a natureza da(s) quadrática(s) na posição canônica que passa(m) pelo ponto P₀ = (1, 1, 2) e contém a seguinte região plana y² + 4y² = 4 (0,5 pontos) Faça um esboço da(s) quadrática(s) obtida(s) acima.