Coordenadas e Distâncias - Geometria Analítica

Coordenadas e distâncias :\nem uma reta; seja r uma reta, vamos dizer que r está orientada quando adotamos sobre r um sentido de percurso. Tal sentido adotado é dito sentido positivo. \nO sentido oposto é dito sentido negativo.\nQuando foi fixado um sentido (orientação) sobre uma reta, faz sentido discutir quando um ponto der r está 'antes' ou 'depois' do outro.\n'A está antes de B' ou 'B está depois de A'\nUm eixo E consiste de uma reta orientada na qual foi escolhido um ponto O que será dito a Origem E.\nFATO: existe uma identificação entre os pontos de um eixo E e o conjunto IR: [números reais]\n\nPontos E \n0 → 0. h = r\nPonto A depois de O: distância entre A e O d(A,0) \nPonto B antes de O: distância entre B e O d(B,0) O número real que corresponde a um ponto A sobre um eixo E é dito a coordenada de A sobre E.\nLembrar: o módulo (ou valor absoluto) de um número real a é definido por:\n|a| =\n a → se a ≥ 0 \n 0 → se a = 0 \n -a → se a < 0\nObs: usando coordenadas fica fácil calcular a distância entre pontos sobre um eixo.\nSe x e y são pontos sobre um eixo e possuem coordenadas x e y, respectivamente, então:\n\nd(x,y) = |x-y| = |y-x|\n\nExemplo:\n(x,y) = 1/2 d(x,y) = |1/2 - 1/3| = 1/6 |1-5/6| = 5/6 Exemplo: (Ponto médio): Se x e y são pontos sobre um eixo com coordenadas x e y, respectivamente, então a coordenada do ponto médio M entre x e y é: m = (x+y)/2\n\ny < m < x\n\nd(L,M) = d(x,M)\n|y-M| = |x-M|\n-(y-m) = x-m\n2mx = x+y\nm = (x+y)/2\n\nCoordenadas em um plano:\nSeja Π um plano \nObjetivo: introduzir em Π um sistema de coordenadas que irá nos permitir os pontos de Π com pares ordenados de n° reais.\n1) Escolher um ponto O em Π que será dito a origem do sistema de coordenados.\n2) Escolher duas retas perpendiculares por O.\n3) Orientar tais retas para obter eixos (Ox e Oy).\n4) Para cada ponto P em Π obtemos pontos Xp e Yp sobre os eixos do seguinte jeito: (reta paralela a Oy) ∩ Ox = Xp por P.\n(rata paralela a Ox) ∩ Oy = Yp por P.\nXp = coordenada de Xp em Ox\nYp = coordenada de Yp em Oy.\nAssim identificamos o ponto P em Π com um par de n° reais. (x₀,y₀) ∈ ℝ² = {pares ordenados de números reais}\n\nxp = abscissa de P\ny₀ = ordenada de P\n\n2° Q\n(x₀,y₀)\n\n3° Q\n(x₀,y₀)\n\n4° Q\n(x₀,y₀) → Oₓ\n\nObs: A abscissa ou um ponto P de coordenadas (xp,yp) está sobre: \n- I eixo Oₓ ⇔ yp = 0\n- II eixo Oᵧ ⇔ xp = 0\n\nExemplo: Em um plano munido de coordenadas, encontrar as pontos cujos coordenadas satisfazem a relação x² - y² = 0 e estão sobre os eixos\n\nOs pontos que satisfazem x² - y² = 0 vivem sobre o eixo Oₓ são dados por:\n\n(x = 10 - y² ⇒ x = 10)\n\ny = 0 único ponto é aquele (10,0)\n\nSImilamente aqueles sobre o eixo Oᵧ são obtidos por:\n\n(x = 10 - y² → 0 1= 0 → y = ± √10)\n\nP₁ e P₂ de coord. (0,√10) e (0,-√10) cujas coord. satisfazem a equação x - 10 - y² Distâncias no Plano\n\nSuponha que os pontos P e Q do plano têm coordenadas (xp,yp) e (xᵠ,yᵠ) respectivamente. Olhe o ponto auxiliar R que tem coordenadas (xr,yr)\n\nUtilizando Pitágoras...\n\nd(PQ)² = d(PR)² + d(QR)²\n\nd(P,Q) = √((xᵠ - xₚ)² + (yᵠ - yₚ)²)\n\nEXEMPLO: calcular as distâncias entre os pontos de coordenadas:\na) (-3,4) e (4,-11)\nd = √((1 - 3)² + (14 - 11)²)\nd = √(49 + 225) = d = √274\nd² = 224\n\nb) (10,-2) e (6,-6)\nd = √((10-6)²+(2-6)²)\nd = √(16 + 16) = d = √32 = 4√2\nd = √(36 + 36) = d. = √52 = 2√13\nd = √(7,-3) e (-2,-2)\nd² = √(8 + 4 + 16) = d = 85\n\nExemplo: Determinar m ∈ R: tal que os pontos de coordenadas (m,1) e (m,m) distam 1.\na = √((m - m² - 1)²)\nd = (m - 1)² + 2m1*m2\n\nm = 1 EXERCÍCIO: Quais as coordenadas do ponto P sobre o eixo Oᵧ que dista 13 do ponto de coordenadas (5,-1)?\n\nDefinição: Se P∈π e r > 0 é um número então o círculo de centro P e raio r é o conjunto Cₚ,r dos pontos Q ∈ π satisfazendo d(P,Q) = r.\n\nSuponha agora que o centro P tem coordenadas (xp,yp). A condição para um ponto de coordenadas (x,y) ser um ponto de Cₚ,r é:\n\nr = d(P,(x,y))\nr = √((x - xp)² + (y - yp)²)\nr² = (x - xp)² + (y - yp)²\n\nExemplos:\n1) Qual é a equação do círculo de centro origem e raio √3?\n(√3)² = (x - 0)² + (y - 0)²\n3 = x² + y²\n\n2) Identifique centro e raio e esqueça os círculos dados pelas equações:\na) (x - 1)² + (y - √2)² = 4/5\nCentro (1,√2)\nraio = √2/4 (x + 1)² + y² = 12\nCentro: (-1, 0)\nr = √12 -> r = 2√3\nx² + y² - ux + oy = 0\nb₁: 1 b₂: 6\nx - 4x y₂(6) - b(b_2: 3)\n(x - 0)² - 4\n(x + 3)² - 9\n(x - 0)² + (y + 3)² - 13 = 0\nPara discutir os itens c e d falamos de:\ncompletamento de quadrados\nObjetivo: escrever expressões do tipo z² + bz como uma diferença entre dois quadrados.\nz² + bz = (z + b/2)² - (b/2)²\nLogo, z = b/2\nResumo:\nz² + bz = (z + b/2)² - (b/2)²\nExemplos: Complete os quadrados nas expressões:\na) z² - 8z (z - 4)² - (4)² = 16 (continuação)\nb) u² + m = m² + (u + 1)² - (1/2)² - (1)² - (2)²/4\nb = 1\nb = b/2\nc) u√8 - 3u\n 4\nb = -3/4\nb = -3/8\n\ncond. exp\nd) 3x² + 3y² - 2x + 7y + 4 = 0\n3·(x² + y² - 2x + 7y + 4) = 0\n3·3·3 = 9\nx² - 2x\nb₂ = -1\n(x - 1/3)² - (y + 1)² - 6\nb = -1 b = 3\ny² = 1 − 4\nb = 7\nb = 1\n1 + 49 - 18 = 5\n\n- (x - 1)²\nmaior = √5/6\nmínimo (1, -7/6)\n- √6