Lista 7 - Cálculo 4 - 2023-2

G MA LISTA 7 Transformada de Laplace P Teorema da translagao Calculo IV - 2023.2 DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA ° “ ° Derivada da transformada Usando a definicao de transformada de Laplace, calcule £{f(t)}} para t se0<t<l 0 se0<t<f a )) = ~ , b t)= = 2? (a) F() ‘ set>1. (b) FC) {Pt set > 4. Determine as transformadas de Laplace das funcgoes abaixo, usando alguma identidade trigonométrica apropri- ada (a) f(t) =cos?t (c) f(t) = sen(3t + 2) (e) f(t) = sen(2t) cos(3t) (b) f(t) = sen(2t) cos(2t) (d) f(t) = cos3(t) Determine as transformadas de Laplace das fungoes abaixo. (a) f(t)=e% (e) f(t) = e~* sen*(t) (i) f(t) = t? cosh(t) (b) f(t) = 05° (f) f(t) =e*(t- 1)" (j) f(t) = e-*' cos (t + z) (c) f(t) = (¢+1)° (g) fH =(e -e*)? (d) f(t) = e% senh(t) (h) f(t) = tle’ + e**)* (k) f(t) = (Vte>? cost)? . - . . _ ft). (a) Seja f uma fungdo continua por partes em [0,00) de ordem exponencial. Suponha que him a existe. = Mostre que c{ HOt = / F(u)du. (b) Use o item anterior para calcular as seguintes transformadas 2t)-—1 3t __ ,—3t (i) e{ ae. (ii) e{- ==, t t Calcule as seguintes integrais 3,2 °° te’ sen(2t) — t? (a) [ e t sen(t)dt (b) [ ann 1 (a) Para f(t) e g(t) fungdes continuas e de ordem exponencial, vale que L{f(t)g(t)} = L{f(t)}L{g(t)}? Explique. 82 (b) F(s) = PaLa é a transformada de Laplace de alguma fungao f(t) continua por partes em [0,00) e de s ordem exponencial? Explique. (a) Para b > 1 temos b 1 b | ef (t)dt = | e *'tdt +f e “dt. 0 0 1 Por outro lado, b —st |O _ _ / oat = = _ef et 1 oer s s e uma integracgao por partes nos da 1 —st |i 1 .-st —s —s —s —s te * e€ e€ —-e f4+1 1 oe e | etdt = —| +f —dt = -—- + —,— =5-— - =. 0 —s |i.9 Jo 8 S s S S s Assim, b = —bs a 1 e% e 1 ee = li —stdt = ij es EAPO} Jim, f P(e "de canes (= s? 8 ) s? 8? para s > 0. (b) Vamos calcular primeiro | e~* cos(t)dt. Usando integrag&o por partes, fazendo dv = cos(t)dt eu = e~™, temos que v = sen(t) e du = —se~**. Entao, fe“ cos(t)dt = e~ *' sen(t) + oo sen(t)dt Novamente, fazendo integracdo por partes, fazendo du = sen(t)dt e u = e~**, temos Jew cos(t)dt = e~ * sen(t) + s (<< cos(t) — s fe con(tdt) Fatorando e isolando f e~* cos(t)dt, temos ~t sen(t) — se~** cos(t Jew cos(t)dt = <8 ORY n( ; 7 () Calculando agora a integral definida temos b —sb —sb ages sen(b) — cos(b 2 / e-** cos(t)dt = © Sento) = se cos(b) _ 8? zg 1 + g2 1 + g2 Finalmente, b —sb —sb ages ees . _ . e *’sen(b) — se~*’ cos(b) e782 e 2 l st _ l _ = — ye. [ eo costa = i +8 142% 1+e Esta ultima igualdade porque cos(t) e sen(t) sao funcgdes limitadas e limp5.. e~* = limp... se7*? = 0. Por outro lado, para b > 5, temos que b b | e*' f(t)dt = | e * cos(t)dt. 0 z Portanto co ' b ' e783 — —s — qj —s — 2 (a) Pela identidade cos*t = (1 + cos(2t))/2 e como 8 L{cos(2t) } = 4d temos L{cos?t} = 2£{1} + 2£{cos(2t)} = 2 +S — 2 2 2s 2(s2 +44)" (b) Usando a identidade sen(2a) = 2sen(a) cos(a) e L{sen(4t)} = = sen = F410" temos 1 9 Lt f(t)} = 5Ltsen(4t) } = Pale (c) Usando a identidade sen(a + b) = senacos b + cos asen b, temos 3 8 3cos(2) + ssen(2) 2)b= 2 2)= 2)>— 2)>—— = —_ L{sen(3t + 2)} = L{sen(3t) cos 2 + cos(3t) sen 2} = cos( 2 +9 + sen( 2 +9 49 (d) Pela identidade cos?t = (1 + cos(2t))/2, temos que cos?t = (costtteostt) cos(2t) Por outro lado, da identidade cos(a) cos(b) = 4 (cos(a + b) + cos(a — b)), temos que cos(t) cos(2t) = $ cos(3t) + $ cos(—t). Assim, 3 1 1 1 L{cos” (t)} = fteos(t)} + gb icos(3t)} a gh icos(t)} oe ~ A(s2 +1) 4(s2 +9) (e) Usando a identidade sen(a) cos(b) = 4 (sen(a + 6) + sen(a — b)), temos 1 1 L£{sen(2t) cos(3t) } =5Ftsen(5t) } + gf itsen(—t)} 1 1 5 1 =5Fisen(5t)} —_ gL isen(t)} = 2(s? + 25) _ (8241) (a) Podemos ver que f(t) = e7!~3 = e**e-3, logo 2t-3 —3 py 2t e° Lie } =e Li{e } = 32 (b) Temos que f(t) = t°5¢ = t?e!™°. Assim 5! 5! St 5 tind 5 L{t?5"} = Li{tPe ee a a qa lsos—ins = (s—n5) (c) Observe que (t+1)? = t?+3¢t?+3t+1. Assim, pela linealidade de Le usando a identidade L{t"} = n!/s"*?, temos 6 6 3 1 1 38 — 3 2 $= — aad aa oats L(t +1)°} = L{t?} + 8L{t?} + 3L{t} + L{1} atgtyt,; (d) Como 1 L{senht} = Sd? 3 concluimos que 1 1 *tsenht} = ———_—_ = ——______. Etel’senht} = aa 4 = a 10s + 2 (e) Usando as formula sen?t = (1 — cos(2t))/2 e 8 2t)} = —"— £{cos(2)} = =, temos 1 1 1 Ayo 8 2 —~2__ F L{sen“t} = sft} 5 Li cos(2t) } 3s Xs? +4)" Logo, 1 stl 2 Lf{e'sen*t} = ——_ — ——_____ = —___________. a As+]1) A(st)24+4) (s+1(s?+25+5)) (f) Expandindo (t — 1)? = t? — 2¢+ 1, vemos que 2 2 1 L{(t— 1)?} = £{2} - 20 +0} = 4 - S42, s sr Assim, 2 2 1 Lifer (t — 1)?7} = ——— — — 5 tet} = Goa” Goa t= (g) Observando que (e! — e~')? = (e*)? — 2e’e# + (e*)? = e?* —2 + e~*, calculamos 1 2 1 Li{(et — e*)?} = Lfe**} — 2£f1} + L{e~**4} = —— — $4 —_ s—-2 8s s+2 (h) Observe que f(t) =t ((e')? + 2e%e** + (€7*)?) = te™ + 2te** + te™. Como L{t} = 1/s?, temos 1 Li{te™*} = ——_.. Logo, 1 2 1 = t 2t 9 t 3t At — Fe ee L{f(t)} = L{te*} + 2L {te} + L{te™} G22 + G3" + Gs (i) Usando que L{cosht} = ~5,, temos que d? 8 2s + 6s 2 | L{t* cosht} = (—1) 7s (= = :) (133 j) Temos que cos (t+ 4) = costcos (4) — sentsen (4). Portanto, (i) 7 7 7 aT TV _ rt Oy _ us —2t L {e cos (t+ ) = cos (=) L{e-~" cost} — sen (=) L{e~~ sen t} T s+2 1 1 = COS (F) (s+2)2+1 (5) (s+2)?+1 (k) No exercicio 2a. mostramos que 1 8 2 t}=—+—5— .. Lioos't} = 9 + 52 44) Logo L{(Vte~? cost)?} =L{te~* cos? t} =L{t cos? t}|ss541 (-as (a5 + aerH)) =|-a, las taeaan ds \2s 2(s?+4)//,_.541 1 gs? —4 =(—5+>5—>3 2s? -2(s? + 4)? Per ol 4 (s+1)?-4 — 2(s+1)? — 2(((s +1)? + 4)? 4 (a) Como f é continua por partes em [0, co) e him, f(t)/t existe, a funcao g(t) = f(t)/t também é continua por partes em [0,00). Além disso, como f(t)/t < |f(¢)| para todo t > 1, o fato de f(t) ter ordem exponencial implica que g(t) também tem essa ordem. Logo, assim como f(t), a fungao g(t) possui transforma de Laplace e vale d —Gelta} = Ata} = A1F@}- Usando a notagao F'(s) = L{f(t)} e G(s) = L{g(t)} e integrando ambos os lados da equagéo acima entre sek, temos k G(s) — G(k) = / F(u)du, pelo teorema fundamental do célculo. Tomando o limite quando k — co em ambos os lados e usando o fato que limp... G(k) = 0 (por ser g(t) uma fungao continua por partes em [0,00) de crescimento exponencial), chegamos finalmente a k oo G(s) = lim / F(u)du = / F(u)du. k>00 J. g (b) (i) A funcgao f(t) = cos(2t) — 1 é continua e limitada e, usando a regra de L’Héspital, lim cos(2t) — 1 — lim —2sen(2t) =o. t—=0 t t30 1 Em particular, f(t) satisfaz as condigdes do item anterior. Como F(s) =£{f} = 24 -- Ss = => —_-— st+4 8’ temos c cos(2t) — 1 in ui ol du. t s \w+4 u Por outro lado, ey / —du=I\Ink—-Ins, 5 U ° k 1 1 / aa = sin(k? +4) — 5In(s? +4) = nvk? +4 — Inv/'s? +4, 3 u onde a segunda integral pode ser calculada pelo método da substituigaéo. Assim, k 1 Vk2 +4 Vs? +4 / = du = Inv k? +4—-InVs?+4-—Ink+Ins=In ia —In ae . s \uw+4 ou k 8 Logo, °° u 1 . Vk2 +4 Vs?+4 Vs?+4 —+— _ — — } du= lim In | ——— ] —In | ——— ]} = —ln | ——— ]], s w+4diow k00 k s s ja que [7.2 lim In (=) =In1l=0. k-o0o k Por fim, concluimos que cos(2t) — 1 °° u 1 Vs? +4 8 LS ——— p= —>+— _— — } du = —In | ——— } = ln | —— }. t s us + 4 U s Vv s2 al 4 5 (ii) A funcgao f(t) = e** — e~** 6 continua em [0, 00) e usando a a regra de L’H6spital, 3t _ ,—3t 3t aoe lim © 2 = Jim 328 Lg, t—0 t t—0 1 Assim, f(t) satisfaz As condigdes do item anterior. Como 1 1 F(s) = L{f(t)} = —~ - —~ (s) = LF} = —4-y temos 31 31 ' ' et — e7 ee ——— p= — — —— ] du. cf t \ | (4 =) “ Por outro lado, k 1 1 u—3)\ yk k-3 s—3 —— — —_) du = In(u— 3) - 1 yf =n (== \ | =n (2 ) —n (= [ (5 3) w= Inu 3)— Inu + 3)I5 (555) s »(F3) »(5) Assim ee 1 1 k—-3 3 3 / —— — —_) qu = lim n( *—*) —-in( 22) =-mn (2-2 ; 5 u-3 ut+3 k-400 k+3 s+3 s+3 k-3 k-3 pois jim In (3) =In (im i) =In1l =0. Logo temos que 3t _ ,—3t fs e \m(233). t s—3 (a) Temos que | et? sent = L{t? sen t}|,—3 0 Agora d? d? 1 6s? —2 2 = —1 27 = — ———— => L{t" sent} = (—1) 732 (L{sen t}) 72 € [ :] (41) Portanto, °° 6-37-2183 —3t 42 _ 2 [ CE SMES BIT T)8 250 (b) Temos que ~ te’ sen(2t) — t? © te’ sen(2t) <4 aa ae =¢ | te~' sen(2t)dt — e | Peat = e L{tsen(2t)}],_, — 2 LEP}|,_,- 0 0 Por outro lado, £L{t?} = 2/s3 e d d 2 4s 2 = —- ot ne Ett sen(2t)} ds £isen(2t)} dss2?+4 (s? +44)? Logo, £{tsen(2t)}|,_, = 4/25 e Li{t?} | _, = 1/4 e concluimos que * te sen(2t) — t? de? e? , NS dt = - — = -0, 09”. [ et—2 2 4 ue 6 Solução do Exercício 6 (a) Não vale esta propriedade para a transformada de Laplace. Por exemplo, se f(t) = 2, g(t) = t, L{f(t)g(t)} = 2 s2 , L{f(t)} = 2 s, L{g(t)} = 1 s2 . Então L{f(t)g(t)} ̸= L{f(t)}L{g(t)}. (b) Vimos que se f(t) é contínuas por partes em [0, ∞) e de ordem exponencial, então F(s) → 0, quando s → ∞. Neste caso temos que lims→∞ F(s) = lims→∞ s2 s2+3 = 1 ̸= 0. Logo não existe uma função f(t) contínua por partes e de ordem exponencial tal que F(s) = s2 s2+3. 7