Análise Dimensional - Fundamentos e Aplicações em Engenharia Mecânica

218 Análise Dimensional 1 É uma ferramenta útil que permite reduzir o número de variáveis a ser considerado na descrição de um processo físico ou correlação de dados experimentais proporcionando significativa redução de custos associados a ensaios de laboratóriocampo e tempo A Análise Dimensional baseiase no fato de que toda equação que expressa uma relação entre variáveis que descrevem um fenômeno físico é dimensionalmente homogênea Isto é cada um de seus termos aditivos possui a mesma dimensão Considere uma equação que descreve um fenômeno físico e que apresente n variáveis V1 V2 V3 Vn A Análise Dimensional permite rearranjar a equação anterior em termos de um número mínimo de r grupos adimensionais com r n na forma 12 3 r Uma vez especificadas as n variáveis V1 V2 Vn a Análise Dimensional é o procedimento sistemático que permitirá não apenas determinar o menor número r de grupos adimensionais como também identificálos Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 219 Análise Dimensional 2 Teorema de Buckingham Pi Seja Qi i1 m o menor conjunto de unidades básicas MLtT ou FLtT ou qualquer subconjunto de um Sistema de Unidades MLtT ou FLtT usado na representação das variáveis V1 V2 Vn Seja Vj a representação das dimensões da variável Vj de tal forma que Vj Q1a 1j Q2a 2j Qma mj Então r np representa o menor número de grupos adimensionais que pode ser formado sendo p o posto da matriz aij i1m e j1n definida abaixo V1 V2 Vn Q1 a11 a12 a1n Q2 a21 a22 a2n Qm am1 am2 amn Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 220 Análise Dimensional 3 Finalmente escolhendose p variáveis Vj como sendo a base exprimese as outras r variáveis em termos dessas formando r grupos adimensionais Observações O número mínimo de grupos adimensionais r np é a nulidade de aij O posto p p m da matriz aij é o número de linhas não nulas da matriz linha reduzida à forma escada associada a aij Alternativamente p é a maior ordem possível das submatrizes quadradas de aij com determinantes diferentes de zero Em geral p m exceto em alguns poucos casos conforme veremos adiante Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 221 Análise Dimensional 4 Uma matriz m n é linha reduzida à forma escada se a O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1 b Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos o seus outros elementos iguais a 0 c Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas d Se as linhas 1l são as linhas não nulas e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki então k1 k2 kl A última condição confere a forma escada à matriz como ilustrado abaixo 0 3 2 5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para 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adimensional Repita este procedimento para as variáveis não repetias remanescentes 6 Expresse o resultado na forma 12 3 r Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 223 Análise Dimensional 6 Observação relativa ao Passo 4 Ao selecionar as variáveis repetidas no Passo 4 da metodologia apresentada anteriormente recomendase quando possível escolher uma variável de cada um dos seguintes grupos abaixo Grupo das variáveis de natureza geométrica Exemplos comprimento diâmetro espessura Grupo das variáveis de natureza cinemática Exemplos velocidade linear eou angular aceleração vazão Grupo das variáveis de natureza dinâmica ou das propriedades físicas Exemplos força torque potência queda de pressão massa específica viscosidade pressão de vapor módulo de compressibilidade Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 224 Análise Dimensional 7 Exemplo 1 Ao analisar a queda de pressão por unidade de comprimento dpds em escoamentos laminares de fluidos incompressíveis e Newtonianos no interior tubos horizontais um engenheiro propôs que fosse investigada a seguinte relação dpds Dv Encontre via análise dimensional uma relação admensional apropriada Solução Passo 2 Escolhendo o Sistema de Unidades MLtT dpdsML2t2 DL vLt1 ML1t1 QiVj dpds D v M 1 0 0 1 L 2 1 1 1 t 2 0 1 1 n4 m3 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 225 Análise Dimensional 8 1 0 0 1 2 1 1 1 2 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 Passo 3 p m 3 O posto p de aij é igual a 3 Vejamos L2 2L1 L2 L3 2L1 L3 L2 L3 L2 L3 L3 Passo 4 Observando a matriz aij percebese que uma escolha possível para as variáveis repetidas é Dv Passo 5 Neste caso teremos apenas um grupo adimensional pois r 4 31o qual pode ser determinado encontrando os coeficientes a b e c de forma a se obter 1 dpdsDavbc0 ou seja resolvendose o sistema linear M 1 c 0 c 1 L 2 a b c 0 a 2 t 2 b c 0 b 1 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 226 Passo 6 1 dpds D2 v1 1 cte Isto é Veremos mais adiante que o valor da constante é Análise Dimensional 9 D2 cte vμ ds dp 32 cte Exemplo2 Notando a necessidade de estender a investigação conduzida no exemplo anterior a escoamentos turbulentos em tubos rugosos o engenheiro propôs investigar experimentalmente a seguinte relação dpds Dv sendo a rugosidade do tubo Se fossem ensaiados dez valores distintos para cada variável seriam necessários 105 experimentos Faça uma análise dimensional e veja que redução pode ser obtida no número de experimentos Solução Passo 2 Escolhendo o Sistema de Unidades MLtT dpdzML2t2 DL vLt1 ML1t1 ML3 L Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 227 Análise Dimensional 10 Montamos a seguinte matriz aij QiVj dpds D v M 1 0 0 1 1 0 L 2 1 1 1 3 1 t 2 0 1 1 0 0 m3 n6 Passo 3 É possível mostrar que p m 3 O posto p de aij é igual a 3 Passo 4 Observando a matriz aij percebese que uma escolha possível para as variáveis repetidas é Dv Passo 5 Neste caso teremos três grupos adimensionais pois r 633 os quais podem ser determinados encontrando os coeficientes a b e c para cada grupo abaixo de forma a se obter 1 dpdsDavbc0 cuja solução fornece a 1 b 2 e c 1 2 Davbc0 cuja solução fornece a 1 b 1 e c 1 3 Davbc0 cuja solução fornece a 0 b 0 e c 0 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 228 Passo 6 1 dpds D v21 2 D1 v11 e 3 D o que nos permite escrever Na expressão acima Re vD é o adimensional número de Reynolds e fRe o fator de fricção cuja dependência em Re e obtida através de ensaios experimentais é apresentada na transparência seguinte Com base nos resultados obtidos podemos ver que se fossem ensaiados dez valores distintos para 2 e 3 realizaríamos apenas 102 experimentos contra os 105 previstos anteriormente no enunciado do problema Isto é 99900 experimentos a menos Análise Dimensional 11 2 v D ρ Re D ds dp ou ainda ρvD D μ Φ ρv D ds dp 2 2 f Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 229 Análise Dimensional 12 Diagrama de Moody Re3500D Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 230 Análise Dimensional 13 Exemplo 3 Um tanque cilíndrico de teto flutuante utilizado no armazenamento de derivados de petróleo é apoiado em uma cinta que contorna sua superfície inferior O tanque de diâmetro D contém um produto de peso específico A distância entre a superfície livre do líquido submetida à pressão atmosférica e o fundo do tanque vale h A deflexão vertical no centro da placa inferior do tanque é admitida ser uma função Dht E na qual t é a espessura da placa inferior e E representa o módulo de elasticidade do material da placa Conduza uma análise dimensional deste problema Solução Passo 2 Escolhendo o Sistema de Unidades MLtT L DL hL tL ML2t2 EML1t2 Neste caso n6 e m3 e a seguinte matriz aij pode ser montada Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada 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Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 233 Exercício 2 Determine um conjunto de grupos admensionais para correlacionar dados experimentais com o coeficiente de película h de troca de calor entre as paredes de um tubo reto de seção reta circular e um fluido que escoa em seu interior As outras variáveis envolvidas são a densidade do fluido o diâmetro interno do tubo D a velocidade média do fluido v a viscosidade absoluta do fluido a condutividade térmica do fluido k e o calor específico do fluido cpNote que hFL1t1T1 e kF t1T1 Reposta Resultados experimentais mostram que os dados podem ser muito bem correlacionados através de uma equação do tipo Análise Dimensional 16 k μ c μ Φ ρvD k hD p μ ρvD e Re k c μ k Pr hD Bi são constantes e b e a C Pr Re na qual os C Bi p b a Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 234 Principais Grupos Adimensionais em Mecânica dos Fluidos A presença de alguns grupos adimensionais é tão importante e freqüente na área de escoamento de fluidos que vale a pena estudálos em detalhe A compreensão do seu significado físico contribui significativamente para a percepção dos fenômenos em apreço Como esses grupos expressam razões entre forças é conveniente listar e caracterizar as principais forças em cena Se L denota uma comprimento característico as forças podem ser caracterizadas como Forças de inércia ma L3VVL V2L2 Forças viscosas A dudy A VL L2 VL Forças de pressão p A pL2 Forças de gravidade mg L3g Forças de compressibilidade K A K L2 Forças de tensão superficial L Análise Dimensional 17 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 235 Como as forças de inércia são importantes na maioria dos problemas em Mecânica dos Fluidos a razão entre esta e as outras forças conduz à formação de 5 grupos adimensionais Re VL Número de Reynolds Expressa a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas Estabelece um critério que permite determinar o regime de escoamento laminarturbulento É importante na grande maioria dos problemas Eu p12V2 Número de Euler ou coeficiente de pressão Cp Expressa a razão entre as forças de pressão e as de inércia Surge nos problemas em que a diferença de pressão é relevante Em escoamento de líquidos é importante na caracterização do fenômeno de cavitação Neste caso adotase p p pv sendo pv a pressão de vapor do líquido e o grupo adimensional é chamado número ou índice de cavitação Ca Análise Dimensional 18 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 236 Fr VgL12 Número de Froude Expressa a razão entre as forças de inércia e de gravidade Aparece em escoamentos com superfície livre como escoamentos em canais abertos Na área de escoamento em dutos é um parâmetro relevante na descrição de escoamentos com coluna aberta meia cana slack flow We V2L Número de Weber Expressa a razão entre as forças de inércia e de tensão superficial Surge nos problemas nos quais existe interface fluidofluido como os de escoamento bifásicos em dutos Exerce papel importante na determinação da velocidade sônica em escoamentos com bolhas e na caracterização do volume de óleo vazado em dutos submarinos Ma Vc Número de Mach no qual cK12 é a velocidade do som no meio M 1 o esc é subsônico M 1 o esc é supersônico Expressa a razão entre as forças de inércia e de compressibilidade Via de regra se Ma 03 o fluido pode ser tratado como incompressível Note que num meio incompressível c e por conseguinte Ma 0 Análise Dimensional 19 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 237 Similaridade 1 Similaridade ou semelhança é uma condição sistematicamente explorada em escoamentos de fluidos para prever o comportamento físico de um protótipo a partir de resultados obtidos em um modelo geralmente em escala reduzida A semelhança completa entre modelo e protótipo ocorrerá quando houver semelhança geométrica cinemática e dinâmica Geométrica requer que o modelo e o protótipo tenham a mesma forma e que todas as dimensões lineares estejam relacionadas através de um único fator de escala constante Cinemática requer que as velocidades no escoamento em todos os pontos correspondentes tenham a mesma direção e sentido diferindo apenas por um fator de escala constante Dinâmica requer que as forças de tipos idênticos sejam paralelas e estejam relacionadas em magnitude por um fator de escala constante em todos os pontos correspondentes do escoamento Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 238 Similaridade 2 Observações 1 Dois escoamentos são cinematicamente semelhantes quando suas linhas de corrente forem relacionadas por um fator de escala constante 2 Para que dois escoamentos sejam cinematicamente semelhantes é necessário que sejam geometricamente semelhantes As superfícies sólidas de um corpo em contato com o fluido delimitam suas linhas de corrente 3 A semelhança cinemática é um requisito necessário porém não suficiente para haver semelhança dinâmica 4 Para haver semelhança dinâmica completa é necessário considerar todas os tipos de forças inércia pressão gravidade compressibilidade etc relevantes no escoamento 5 Em muitas situações práticas escoamentos com superfícies livres nem sempre é possível assegurar semelhança dinâmica completa entre modelo e protótipo Nestes casos trabalhase com semelhança incompleta e a transposição dos efeitos entre modelo e protótipo deve ser feita com extrema cautela Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 239 Similaridade 3 O emprego de todas das condições de similaridade ou semelhança permite por meio de transposição de escala prever velocidades pressões forças etc no protótipo em tamanho real com base nestes dados obtidos em escala reduzida no modelo A exploração do conceito de similaridade aplicada na teoria de modelos é obtida a partir da análise dimensional do problema A análise dimensional de um determinado problema permite uma vez identificadas as variáveis relevantes que intervêm no fenômeno físico em questão expressar o grupo adimensional dependente 1 em termos dos outros 2 3 n na forma sendo a forma específica de estabelecida através de ensaios experimentais n 3 2 1 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a 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Rachid 20222 242 Similaridade 6 Observação continuação 2 Teoricamente é sempre possível impor que os grupos adimensionais do modelo serão iguais aos do protótipo Todavia em algumas situações práticas é virtualmente impossível assegurar que i im para todo i 1n Se pelo menos para um i l l lm a semelhança entre protótipo e modelo é dita incompleta 3 Modelos que possuem semelhança incompleta são denominados modelos distorcidos e não são raros na engenharia Nestes casos é fundamental conhecer em profundidade o problema de forma a se escolher os grupos adimensionalais para o qual i im de forma a conferir representatividade ao modelo distorcido 4 Modelos distorcidos podem ser utilizados mas a interpretação dos resultados requer atenção especial 5 Não há regras para lidar com modelos distorcidos e por isso cada problema deve ser considerado isoladamente Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como 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TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 244 Similaridade 8 Exemplo 1 Se testes em um modelo em escala reduzida cujo diâmetro vale Dm tivessem que ser realizados para prever o escoamento em um protótipo de duto estabeleça a relação entre as outras variáveis do problema de forma a assegurar semelhança completa Admita que o fator de escala seja DmD Solução es dos fluidos deve ser satisfeita propriedad ρ V então a seguinte relação entre as μ ρ 1 μ V μ ρVD μ ρ V D Como c V c V c V c λe V e D e D λL e L D L D L m m m m m m m m m m m m m m m m m λ c c ρ ρ μ μ m m m Conclusão 1 Fluidos diferentes devem necessariamente ser empregados 2 Dificilmente seriam encontrados fluidos que obedecessem essa relação Note que a rugosidade do modelo deve ser menor que a do protótipo Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 245 Similaridade 9 Exemplo 2 Se os efeitos de compressibilidade podem ser desprezados para Ma 03 qual seria a magnitude relativa da queda de pressão entre o modelo e o protótipo em termos do fator de escala e da razão entre as propriedades dos fluidos Se o mesmo fluido fosse empregado no modelo e no protótipo qual seria a relação entre pmp em termos do fator de escala DmD para 01 Solução 100 Δp 01 Δp 1 para Δp Δp o mesmo fluido fosse empregado Se μ μ ρ 1 ρ V V ρ ρ Δp Δp ρV Δp ρ V Δp ρ V e μ ρ 1 μ V μ ρVD μ ρ V D Como m 2 m 2 2 m m 2 2 2 m m m 2 2 m m m m m m m m m m Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 246 Similaridade 10 Exemplo 3 Uma aplicação importante do conceito de similaridade ocorre na caracterização do desempenho de bombas centrífugas Sabendose que o desempenho da bomba varia com a vazão volumétrica Q o diâmetro do rotor D e a velocidade angular de rotação n frequentemente desejase saber como a variação desses parâmetros Q D e n ou do fluido em escoamento e afetam o rendimento Os parâmetros que refletem o desempenho da bomba são a altura manométrica útil Hu hug hu é a energia por unidade de massa cedida ao fluido em sua passagem pela bomba a potência útil P ou Pu fornecida ao fluido pelo rotor e o rendimento PuPm sendo Pu QHu e Pm ou N a potência motriz do motor que aciona a bomba As relações simbólicas entre os parâmetros dependentes hu e P e os independentes QDn podem ser expressas como gHu 1 QDn e P 2 QDn Conduza uma análise dimensional e mostre que u 1 2 2 2 3 3 5 3 gH Q Qρ P Q Qρ Φ e Φ n D nD μD ρn D nD μD Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 247 Similaridade 11 Os grupos adimensionais obtidos no exemplo anterior são denominados Unidades usuais Q m3h e gpm n rpm e rads Hu m e ft D m e in P ou Pe W e CV e HP ou BHP u H 2 2 Q 3 P 3 5 2 gH C coeficiente adimensional de altura de carga pressão n D Q C coeficiente adimensional de vazão capacidade nD P C coeficiente adimensional de potência ρn D Qρ πD V ρ ρVD π Re π núm μD 4 μD μ 4 4 ero de Reynolds Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 248 Similaridade 12 Como é difícil prever teoricamente o desempenho da bomba exceto no ponto de operação curvas características são elaboradas a partir de ensaios experimentais geralmente conduzidos com água à velocidade nconstante para diversos valores de vazão Uma vez determinadas as curvas características de uma certa bomba em condições específicas o conceito de similaridade pode ser empregado para prever seu comportamento em condições distintas de Q D n eou Semelhança completa entre estas condições exigiriam que os coeficientes adimensionais CQ CH e CP e o número de Reynolds Re fossem idênticos Todavia se os efeitos viscosos não são significativos fluidos com viscosidades próximas quando duas bombas geometricamente semelhantes operam sob condições similares então basta que CQ CH e CP seja idênticos Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Se os índices 1 e 2 denotam duas condições distintas a similaridade nesta situação específica requer As relações acima são conhecidas como relações homólogas Elas permitem transportar por escala as características de desempenho de bombas geometricamente semelhantes para diferentes condições de operação quando se varia D ou n É importante lembrar que elas estão restritas à situação em que os efeitos viscosos são desprezíveis fluidos com viscosidades próximas O comportamento típico das curvas características Hu vs Q vs Q e Pe vs Q de uma bomba centrífuga operando com água são ilustradas na Figura a seguir em linha contínua 249 Similaridade 13 u1 u2 1 2 1 2 3 3 2 2 2 2 3 5 3 5 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 gH gH Q Q P P e e n D n D n D n D ρ n D ρ n D Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 250 Similaridade 14 Se a bomba opera com fluidos mais viscosos como óleo e derivados o comportamento das curvas características se afasta daquele observado com água conforme indicado pelas linhas tracejadas Q Hu Pe Água a Líquido a Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 251 Similaridade 15 Via de regra se a viscosidade do líquido for maior do que 10 cSt 50 SSU o desempenho da bomba se degrada sensivelmente quando comparado com o observado com água Com base na informação anterior podese concluir que a altura manométrica útil Hu gerada pela bomba quando esta desloca gasolina 09 cSt e diesel 76 cSt será praticamente a mesma do que a observada com água Fatores de correção para Hu Q e são aplicados às curvas características fornecidas pelo fabricante para água de forma a se obter o desempenho da bomba quando fluidos muito viscosos são considerados Conforme será visto adiante para fluidos incompressíveis PugQHu e por conseguinte CPCHCQ Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 252 Similaridade 16 Um parâmetro importante no estudo de bombas centrífugas pode ser obtido eliminandose o diâmetro D nas expressões de CH e CQ Fazendo CH12 CQ34 obtémse O adimensional acima é o ponto de partida da definição da velocidade específica Ns de uma bomba que representa a velocidade de rotação que uma bomba homóloga teria operando com uma altura unitária de Hu 1ft e uma vazão unitária de Q 1gpm 12 Q 34 34 H u C n Q C gH s 34 u nrpm Qgpm N rpm H ft Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 253 Similaridade 17 A velocidade específica Ns caracteriza o tipo de rotor da bomba A seguinte classificação é emprega pelo Hydraulic Institute Bomba centrífuga do tipo radial Ns rpm 2000 Bomba centrífuga do tipo Francis 2000 Ns rpm 4200 Bomba de fluxo misto 4200 Ns rpm 9000 Bomba axial Ns rpm 9000 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas A figura a seguir ilustra o design dos rotores das bombas e a forma de suas curvas característcias segundo as faixas de velocidade específica Ns DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Similaridade 18 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 254 Specific speed values for the different pump designs Fonte The Hydraulic Institute Standards book wwwpumpsorg DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 255 Similaridade 19 Exemplo 1 A tabela ao lado apresenta os dados da curva característica de uma bomba centrífuga operando a velocidade n 1750 rpm com águá a 80o F 194 slugft3 Determine a curva de rendimento em função da vazão e calcule a velocidade específica da bomba Qgpm Huft Pm HP PuHP 0 1234 151 00 00 500 1128 220 143 648 800 1003 261 203 779 1000 892 285 226 792 1100 809 296 225 761 1200 698 305 212 695 1400 429 320 152 475 1500 255 328 97 295 3 u u 3 2 u s 34 34 m u s slug ft gal min ft HP P ρgQH 194 322 1000 226HP ft s min 60 s 748 gal 550 lbffts P n Q 1750 1000 η 100 792 N 19066 rpm P H 892 N 2000 rpm bomba ce ntrífuga radial Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 256 Similaridade 20 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 257 Similaridade 21 Exemplo 2 Determine a curva de operação da bomba Hu x Q para as rotações n 1170 rpm e n 3550 rpm Calcule as velocidades específicas nessas novas rotações 2 2 2 2 1 u2 u1 2 1 1 s 34 34 34 u n n Q Q e H H n n n Q 1170 669 3500 2000 N 19066 rpm H 399 3568 Q gpm H ft Q gpm H ft Q gpm H ft 0 1234 0 551 0 4935 500 1128 334 504 1000 4511 800 1003 535 448 1600 4013 1000 892 669 399 2000 3568 1100 809 735 362 2200 3238 1200 698 802 312 2400 2793 1400 429 936 192 2800 1714 1500 255 1003 114 3000 1020 n 1750 rpm n 1170 rpm n 3500 rpm Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 258 Similaridade 22 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Instalações de Bombas 1 Teminologia 1 Alturas topográficas Estáticas Desníveis 11 Altura estática de aspiração ha 12 Altura estática de recalque hr 13 Altura estática de elevação he 2 Alturas totais ou energéticas Dinâmicas 21 Altura dinâmica de aspiração Ha 22 Altura dinâmica de recalque Hr 23 Altura manométrica de elevação H 24 Altura útil de elevação Total Dynamic Head Hu 25 Altura total de elevação He 26 Altura motriz de elevação Hm Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 259 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Instalações de Bombas 2 Esquema geral de instalação de bombeamento 260 s d Nível de EM em s Nível de EM em 0 Nível de EM em d Nível de EM em 3 PR a h 2 v0 2g rh e h 2 v3 2g sp γ pd γ p3 γ p0 γ aJ rJ u H H i sp d p 3 ha 0 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Instalações de Bombas 3 Teminologia 1 Alturas topográficas Estáticas Desníveis 11 Altura estática de aspiração ha É o desnível da SL do reservatório de sucção até 12 Altura estática de recalque hr É o desnível da até o ponto d 13 Altura estática de elevação he É o desnível da SL do reservatório de sucção até o ponto d 2 Alturas totais ou energéticas Dinâmicas 21 Altura dinâmica de aspiração Ha É a altura de coluna de líquido que mede a diferença de pressão entre o reservatório de sucção ps e a entrada da bomba p0 261 a s 0 H p γ p γ Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Instalações de Bombas 4 Teminologia Cont 2 Alturas totais ou energéticas Dinâmicas 21 Altura dinâmica de aspiração Ha Cont Aplicando a equação da energia para um volume de controle entre os pontos s e 0 resulta 262 2 2 s0 s0 s 0 s s 2 0 a s 0 a 0 a a aJ p v p v z z J J γ 2g γ 2g z 0 v 0 v H e z h p γ p γ h J 2g Logo Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Teminologia Cont 2 Alturas totais ou energéticas Dinâmicas 22 Altura dinâmica de recalque Hr É a altura de coluna de líquido que mede a diferença de pressão na saída da bomba p3 referida à linha de centro e no no ponto d pd Observação O desnível é da ordem de grandeza de metro Pode ser 0 0 0 Instalações de Bombas 5 263 r 3 d H p γ p γ i i 0 i 3 i 0 3 0 0 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Instalações de Bombas 6 Teminologia Cont 2 Alturas totais ou energéticas Dinâmicas 22 Altura dinâmica de recalque Hr Cont Aplicando a equação de energia a um volume de controle entre os pontos 3 e d obtémse 264 2 2 3d 3d 3 d 3 r 2 3 r 3 d r r a d d a r J p v p v z z J J γ 2g γ 2g z h v 0 e z h v H p γ p γ h L h J 2g ogo i i Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Teminologia Cont 2 Alturas totais ou energéticas Dinâmicas 23 Altura manométrica de elevação H É a altura de coluna de líquido que mede a diferença de pressão na saída da bomba p3 referida à linha de centro e na entrada da bomba p0 Notando que segue que Instalações de Bombas 7 265 3 0 H p γ p γ i 2 2 d s a r a r 0 3 H p γ p γ h h J J v v 2g d s a r H p γ p γ H H Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Teminologia Cont 2 Alturas totais ou energéticas Dinâmicas 24 Útil de elevação Total Dynamic Head Hu É a altura de coluna de líquido que mede a diferença de energia mecânica por unidade de peso na saída e na entrada da bomba entre os pontos 0 e 3 Notando que segue que Instalações de Bombas 8 266 2 2 u 3 3 0 0 H p γ v 2g p γ 0 v 2g i e u d s a r a r h H p γ p γ h h J J 2 2 u 3 0 H H v v 2g Significado físico Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Instalações de Bombas 9 Exercício Escreva a expressão de H e Hu para a instalação abaixo 267 0 s d Nível de EM em s Nível de EM em 0 Nível de EM em d Nível de EM em 3 PR a h 2 v0 2g rh e h 2 v3 2g sp γ pd γ p3 γ p0 γ aJ rJ u H H i sp b d p p 3 2 vd 2g a h Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 268 Instalações de Bombas 10 Solução Tomando como base a definição Hu Primeiramente aplicase a equação da energia para um volume de controle t entre os pontos s e 0 para escrever a EM em 0 referenciada à 2 2 u 3 3 0 0 H p γ v 2g p γ 0 v 2g i 2 2 s0 s0 s 0 s a s a a s 0 2 a 0 J p v p v z z J J γ 2g γ 2g z h v 0 e p γ h z 0 Logo p v 0 J γ 2g Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 269 Instalações de Bombas 11 Solução Cont Na sequência aplicase a equação da energia para um volume de controle t entre os pontos 3 e d para escrever a EM em 3 referenciada à 2 2 3d 3d 3 d 3 d r 2 3 r r 2 d d r p v p v z z J J γ 2g γ 2g z e z h L J og v p γ h J 2g o p v γ 2g i i Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 270 Instalações de Bombas 12 Solução Cont Substituindose os resultados obtidos anteriormente para as EM nas seções 3e 0 referenciadas à na definição de Hu obtémse 2 2 u 3 3 0 0 s a a 2 d 2 0 2 d r r 3 H p γ v 2g p γ 0 v 2g p v 0 γ 2g p v γ 2g p γ h J v p γ h J 2g i i e 2 d u d s a r a r h v H p γ p γ h h J J 2g Significado físico Por que aparece esse novo termo Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Teminologia Cont 2 Alturas totais ou energéticas Dinâmicas 25 Altura total de elevação He É a altura de coluna de líquido que mede a energia por unidade de peso cedida ao líquido pelo rotor da bomba na qual J representa as perdas hidráulicas no interior da bomba 26 Altura motriz de elevação Hm É a altura de coluna de líquido que mede a energia por unidade de peso cedida ao líquido pelo motor que aciona a bomba Instalações de Bombas 13 271 e u ε H H J Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Teminologia Cont 3 Potências 31 Potência útil Pu É a potência recebida pelo líquido para escoar pela instalação 32 Potência hidráulica Pe É a potência cedida pelo rotor ao líquido sendo QL a vazão de recirculação no interior da bomba 33 Potência motriz N ou Pm É a potência do motor que aciona a bomba Instalações de Bombas 14 272 u u P γQH m L m N ou P γQQ H e L e P γQQ H Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 273 Representação das vazões potências e perdas mecânicas e hidráulicas no interior da bomba Instalações de Bombas 15 Pu Pe DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 274 Teminologia Cont 4 Rendimentos 41 Rendimento total É definido como a razão entre a potência útil e a potência motriz 42 Rendimentos mecânico volumétrico e hidráulico v u u m L m P γQH η P γQQ H e L e u u ρ v ε m L m L e e P γQQ H P γQH Q η η η P γQQ H QQ P γQH Instalações de Bombas 16 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 275 Teminologia Cont 4 Rendimentos Cont Então o rendimento total pode ser expresso como Na prática costumase agrupar os rendimentos volumétrico e hidráulico cujo produto continua a receber a denominação de rendimento hidráulico resultando portanto u u e u ρ v ε m L m m L e P γQH H H Q η η η η P γQQ H H QQ H h v ε η η η u u e u ρ h m L m m L e P γQH H QH η η η P γQQ H H QQ H Instalações de Bombas 17 050h090 096098 040088 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 276 Teminologia Cont 4 Rendimentos Cont Com base no rendimento total fornecido pelo fabricante Hu e Q expressase a potência motriz como Se Hu m e Qm3s e kgfm3 então Se Hu m e Qm3s e kgfm3 com PmHP então 7612 Se Hu ft e Qgpm e lbfft3 com PmHP então 24685713 Instalações de Bombas 18 u m γ Q H N ou P η u u m γ Q H 98 γ Q H N ou P CV com 75 η 735 η Consumo de energia DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 277 Instalações de Bombas 19 Curva do sistema É a representação da curva Hu versus Q para uma instalação específica Levandose em consideração a definição de Hu a aplicação da equação da energia para volumes de controle t entre os pontos s e 0e entre os pontos 3e d permite reescrever Hu em termos das características da instalação específica de bombeamento Considerandose que e que então s d a r p γ constante p γ constante h constante h constante 2 2 2 2 d a a r r 2 d v Q J J Q J J Q 2g 2gA 2 2 u ˆ u H H Q C f Q e 2 2 2 s d a 2 r d r a h 2 com C p γ p γ h h f Q J Q Q J Q 2gA DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 278 Curva do sistema e 2 a r JQ d s a h u r p γ p γ h H J Q h J e d s a r h p γ p γ h h 2 J Q Instalações de Bombas 20 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 279 Curva do sistema e 2 a d s r JQ u 2 2 d a r h Q 2gA p γ p J J γ H Q h h e d s a r h p γ p γ h h 2 2 2 d J Q Q 2gA Instalações de Bombas 21 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 280 Instalações de Bombas 22 Curva do sistema com fator de fricção constante versus variável DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 281 Instalações de Bombas 23 Influência do diâmetro da linha na curva do sistema DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 282 Instalações de Bombas 24 Exercício Construa o gráfico de Hu vs Q apresentado no slide anterior com base nas informações da tabela abaixo Líquido H2O Peso específico do líquido kgfm3 100000 Pressão no reservatório de sucção ps kgfcm2 100 Pressão no reservatório de descarga pd kgfcm2 200 LINHA DE ASPIRAÇÃO Altura estática m 5 Fator de frição fa 00136 Comprimento La m 10 Diâmetro Da in 6 Perda de carga localizada em Le m 2 LINHA DE RECALQUE Altura estática m 245 Fator de frição fr 00136 Comprimento Lr m 10000 Diâmetro Dr in 4 6 8 Perda de carga localizada em Le m 10 Abertura da válvula glogo 80 Perda de carga na válvula globo Kv 300 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 283 Instalações de Bombas 25 Influência da abertura da válvula de controle na curva do sistema DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 284 Instalações de Bombas 26 Exercício Construa o gráfico de Hu vs Q apresentado no slide anterior com base nas informações da tabela abaixo Líquido H2O Peso específico do líquido kgfm3 100000 Pressão no reservatório de sucção ps kgfcm2 100 Pressão no reservatório de descarga pd kgfcm2 200 LINHA DE ASPIRAÇÃO Altura estática m 5 Fator de frição fa 00136 Comprimento La m 10 Diâmetro Da in 6 Perda de carga localizada em Le m 2 LINHA DE RECALQUE Altura estática m 245 Fator de frição fr 00136 Comprimento Lr m 10000 Diâmetro Dr in 6 Perda de carga localizada em Le m 10 Abertura da válvula glogo 20 40 60 80 100 Perda de carga na válvula globo Kv 2000 1300 800 300 5 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 285 PR sp d p Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo Instalações de Bombas 27 0 3 s d DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 286 PR sp d p Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo Instalações de Bombas 28 0 3 s d Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 287 PR sp d p Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo Instalações de Bombas 29 0 3 s d Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 288 PR sp d p Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo Instalações de Bombas 30 0 3 s d Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 289 PR sp d p Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo Instalações de Bombas 31 0 3 s d Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 290 PR sp d p Instalações de Bombas 32 0 3 s d DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo 291 PR sp d p Instalações de Bombas 33 0 3 s d Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo 292 PR sp d p Instalações de Bombas 34 0 3 s d Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo 293 PR sp d p Instalações de Bombas 35 0 3 s d Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo 294 PR s b p p d b p p Instalações de Bombas 36 0 3 s d a a ea L D L V K r r er L D L r r er L D L d b p p d Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 295 Instalações de Bombas 37 Curva do sistema para 2 dutos de recalque iguais em série x x y y Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 296 Instalações de Bombas 38 Exercício Construa o gráfico de Hu vs Q apresentado no slide anterior com base nas informações da tabela abaixo Líquido H2O Peso específico do líquido kgfm3 100000 Pressão no reservatório de sucção ps kgfcm2 100 Pressão no reservatório de descarga pd kgfcm2 100 LINHA DE ASPIRAÇÃO Altura estática m 5 Fator de fricção fa 00136 Comprimento La m 2 Diâmetro Da in 6 Perda de carga localizada em Le m 2 LINHA DE RECALQUE Altura estática m 95 Fator de frição fr 00136 Comprimento Lr m 5000 Diâmetro Dr in 6 Perda de carga localizada em Le m 10 Abertura da válvula glogo 100 Perda de carga na válvula globo Kv 5 2 1000 2 20 eq 5 5 5 eq L L L D D D Logo L 2 L Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo 297 PR s b p p d b p p Instalações de Bombas 39 0 3 s d a a ea L D L KV r r er L D L r r er L D L Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 298 Curva do sistema para 2 dutos de recalque iguais em paralelo Instalações de Bombas 40 x x y y Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 299 Instalações de Bombas 41 Exercício Construa o gráfico de Hu vs Q apresentado no slide anterior com base nas informações da tabela abaixo Líquido H2O Peso específico do líquido kgfm3 100000 Pressão no reservatório de sucção ps kgfcm2 100 Pressão no reservatório de descarga pd kgfcm2 100 LINHA DE ASPIRAÇÃO Altura estática m 5 Fator de fricção fa 00136 Comprimento La m 2 Diâmetro Da in 6 Perda de carga localizada em Le m 2 LINHA DE RECALQUE Altura estática m 95 Fator de frição fr 00136 Comprimento Lr m 5000 Diâmetro Dr in 6 Perda de carga localizada em Le m 10 Abertura da válvula glogo 100 Perda de carga na válvula globo Kv 5 1 4 1250 1 4 25 12 12 12 5 5 5 eq eq D D D L L L Logo L L 4 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Exercício Represente adequadamente ha hr e he e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo 300 PR s b p p d b p p Instalações de Bombas 42 0 3 s d a a ea L D L KV r r er L D L r r er L D L r r er L D L Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 301 Instalações de Bombas 43 Curva do sistema para 3 dutos de recalque iguais em sérieparalelo Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 302 Instalações de Bombas 45 Exercício Construa o gráfico de Hu vs Q apresentado no slide anterior com base nas informações da tabela abaixo Líquido H2O Peso específico do líquido kgfm3 100000 Pressão no reservatório de sucção ps kgfcm2 100 Pressão no reservatório de descarga pd kgfcm2 100 LINHA DE ASPIRAÇÃO Altura estática m 5 Fator de fricção fa 00136 Comprimento La m 2 Diâmetro Da in 6 Perda de carga localizada em Le m 2 LINHA DE RECALQUE Altura estática m 95 Fator de frição fr 00136 Comprimento Lr m 5000 Diâmetro Dr in 6 Perda de carga localizada em Le m 10 Abertura da válvula glogo 100 Perda de carga na válvula globo Kv 5 125 6250 125 125 12 12 12 5 5 5 eq eq eq eq 5 5 5 D D D L L L L L 4 L L 1 L L 125 L D D 4 D Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Exercício Represente adequadamente ha hr1 e hr2 e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo 303 PR s b p p d2 b p p Instalações de Bombas 45 0 3 s 2 d 1d d1 b p p J r r er L D L r1 r1 er1 L D L r2 r2 er2 L D L a a ea L D L V K a h r1 h r2 h i Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Exercício Represente adequadamente ha hr1 e hr2 e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo 304 PR s b p p d2 b p p Instalações de Bombas 45 0 3 s 2 d 1d d1 b p p J r r er L D L r1 r1 er1 L D L r2 r2 er2 L D L a a ea L D L V K a h r1 h r2 h i Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Exercício Represente adequadamente ha hr1 e hr2 e escreva a expressão de Hu para a instalação de bombeamento ilustrada abaixo 305 PR s b p p d2 b p p Instalações de Bombas 46 0 3 s 2 d 1d d1 b p p J r r er L D L r1 r1 er1 L D L r2 r2 er2 L D L a a ea L D L V K a h r1 h r2 h i Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 306 Instalações de Bombas 47 Solução Considerandose a definição de Hu Da aplicação da equação da energia entre os pontos 3 e J resulta Da aplicação da equação da energia entre os pontos s e 0 resulta Subtraindo a 2ª da 1ª expressão obtémse 2 2 u 3 3 0 0 H p γ v 2g p γ 0 v 2g i J a 2 2 2 3 3 J J r 3J H p γ v 2g p γ z Q 2gA h J i 2 0 0 b a a p γ v 2g p γ 0 0 J 0 h 2 2 u J b r a 3J H H p γ Q 2gA J J Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 307 Instalações de Bombas 48 Solução Cont Da aplicação da equação da energia entre os pontos J e d1 resulta Da aplicação da equação da energia entre os pontos J e d2 resulta Somandose as duas expressões anteriores obtémse e finalmente 2 2 J 1 r1 b a r1 Jd1 H Q 2gA p γ h h 0 J 2 2 J 2 r2 b a r2 Jd2 H Q 2gA p γ h h 0 J 2 2 2 2 1 1 1 J 1 r1 2 r2 b a r1 r2 Jd1 Jd2 2 2 2 H Q 2gA Q 2gA p γ h h h J J 2 2 2 2 2 2 1 1 2 u a r1 r2 r 1 r1 2 r2 2 1 a 3J Jd1 Jd2 1 2 2 H h h h Q 2gA Q 2gA Q 2gA J J J J com Q Q Q Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 308 Instalações de Bombas 49 Exercício Construa o gráfico de Hu vs Q apresentado no slide dos 3 reservatórios com válvulas de retenção nos 3 dutos com base nas informações das tabelas abaixo Líquido H2O Peso específico do líquido kgfm3 100000 Pressão no reservatório de sucção ps kgfcm2 000 Pressão no reservatório de descarga pd1 kgfcm2 000 Pressão no reservatório de descarga pd2 kgfcm2 000 LINHA DE ASPIRAÇÃO Altura estática m 5 Fator de frição fa 00136 Comprimento La m 2 Diâmetro Da in 6 Perda de carga localizada em Le m 2 LINHA DE RECALQUE R Altura estática m Fator de frição fr 00136 Comprimento Lr m 5000 Diâmetro Dr in 6 Perda de carga localizada em Le m 20 Abertura da válvula glogo 100 Perda de carga na válvula globo Kv 5 LINHA DE RECALQUE 1 R1 Altura estática m 95 Fator de frição fr 00136 Comprimento Lr1 m 8000 Diâmetro Dr1 in 6 Perda de carga localizada em Le m 20 Abertura da válvula glogo Perda de carga na válvula globo Kv 0 LINHA DE RECALQUE 2 R2 Altura estática m 195 Fator de frição fr 00136 Comprimento Lr m 2000 Diâmetro Dr in 6 Perda de carga localizada em Le m 20 Abertura da válvula glogo Perda de carga na válvula globo Kv 0 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 309 Instalações de Bombas 50 Curva do sistema para 3 dutos de recalque série Rparalelo R1R2 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 310 Curva do sistema para 3 dutos de recalque série Rparalelo R1R2 Instalações de Bombas 51 x y x y x Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 311 Bombas Centrífugas 1 Classificação quanto ao tipo de fluxo Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 312 Bombas Centrífugas 2 Aspectos geométricos do rotor de acordo com o tipo de fluxo Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 313 Princípio de funcionamento e principais componentes Impelidor ou rotor Carcaça Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Bombas Centrífugas 3 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 314 Diferentes tipos de rotores de bombas centrífugas radiais A Fechado B Semiaberto C Semiaberto com pás divisoras Princípio de funcionamento e principais componentes Bombas Centrífugas 4 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 315 Princípio de funcionamento e principais componentes Diferentes tipos de rotores de bombas centrífugas radiais Aberto Semiaberto Fechado Bombas Centrífugas 5 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 316 1 1 d 2r 2 d 2r2 1b 2 b 2 β 1β Parâmetros geométricos do rotor de bomba centrífuga radial Princípio de funcionamento e principais componentes Bombas Centrífugas 6 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 317 Equação de Euler 1 Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Sejam Bt um volume de controle xt o campo espacial de massa específica v vxt o campo espacial de velocidades e r r xt um vetor posição medido a partir de uma origem arbitrária o com x Bt e t I O princípio de conservação da QMA estabelece que num referencial inercial na qual n é o vetor normal unitário exterior da MSo e MBo representam o somatório dos momentos com relação a origem arbitrária o das forças de superfície e de corpo que atuam sobre o fluido em Interpretação física Taxa de variação no tempo da QMA contida em Efluxo de QMA através de Termos de fonte de QMA B e t I ρ d ρ d dt d t Ω Ω Bo So M M v v n r v r a v Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 318 Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Equação de Euler Estabelece a relação entre a energia por unidade de peso do fluido bombeado cedida pelo rotor ao fluido He e as velocidades deste na entrada v1 e na saída do rotor v2 e 2 2θ 1 1θ H 1 u v u v g 1θ 1 1 2θ 2 2 na qual v v cosα e v v cosα Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 2 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 319 Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Considerandose que há simetria circular do rotor o momento das forças de corpo é desprezível e que o escoamento é permanente a aplicação do princípio de conservação da QMA para o volume de controle com t 1 2 tal que 1 2 1 e 2 conduz a 1 2 k Ω ρ d ρ d ρ d T a a a r v v n r v v n r v v n e Momento com relação a origem o das forças de superfície exercidas pelo rotor sobre o fluido r2 r1 u1 r1 u2 r2 v2 v1 v2r v1r v2 v1 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler3 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 320 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1θ k Γ Γ Γ Γ 1 r 1θ θ 1r r 1 1θ k Γ 2 2θ k Γ Γ Γ Γ 2 r 2θ θ 2 Γ ρ d ρ d ρ Q Qρr v pois ρ r ρ v v ρr v ρ d ρ d ρ Q Qρr v pois ρ r ρ v v a a a a r v v n r v v n r v e r v e e e e r v v n r v v n r v e r v e e r r 2 2θ k ρr v e e Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Admitindose ainda que o escoamento é uniforme por seção e o fluido é incompressível então r2 r1 u1 r1 u2 r2 v2 v1 v2r v1r v2 v1 er ek e resultando 2 2θ 1 1θ T Qρr v r v e e 1 1 2 2 Como P TωρgQH u rω e u r ω obtémse e 2 2θ 1 1θ H 1 u v u v g Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 4 QL0 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 321 Equação de Euler 5 Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Para melhor quantificar as parcelas de energia cinética e de pressão em He considere os diagramas de velocidade à entrada e saída do rotor 2 2 2 i i i i iθ w u v 2u v Entrada i1 Saída i2 vi i vi ui wi vir i vivicosi 2 2 2 2 2θ 2 2 2 2 2 2 1 1θ 1 1 1 2 2 2 2 2 2 e 2 1 2 1 2 1 i2 2u v u v w i1 2u v u v w 2gH u u v v w w e p c 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 p c H H H u u w w v v H H 2g 2g DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 322 Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Do ponto de vista de projeto desejase que na condição operacional ótima a altura manométrica seja máxima Com base na expressão anterior é fácil perceber que He será máximo se e somente se v1 0 Nesta situação o fluido entra radialmente no rotor conforme ilustrado na figura abaixo e He é dado por 2 2θ e H u v g r2 r1 u2 r2 w2 v2 v1 2 Saída v2 2 v2 u2 w2 v2r 2 1 v10 u1 w1 1 v1 v1r Entrada o 1 1θ α 90 v 0 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 6 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 323 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 7 Exercício Um rotor de bomba centrífuga foi encontrado no almoxarifado de uma empresa No setor de metrologia foram identificados seus parâmetros geométricos abaixo indicados Se o rotor girar com n1750 rpm qual será a altura manométrica útil Hu que ele poderá fornecer e qual a potência do motor que deverá acionar a bomba Admita que os rendimentos hidráulico volumétrico e total valem 088 v10 e 070 1 1 d 2r 2 d 2r2 1b 2 b 2 β 1 β 1 1 2 2 o o 1 2 d 120mm b 30mm d 240mm b 16mm β 12 β 25 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 324 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 8 Solução Considerando que Hu e Pm são expressos por o primeiro passo consiste em determinar Q e Hu u 2 2θ m u ε e e γQH u v P H η H H η g 1 1 1r 2 2 2r 1r 1 1 1 1 1 1 o 1r 3 Q πd b v πd b v Como v v u tgβ πnd com u ωr 60 segue que 314 0120 1750 tg12 v 233ms 60 Logo Q 314 0120 0030 233 00263m s 1 v10 u1 w1 1 v1 v1r Entrada DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 325 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 9 Solução Cont Considerando o diagrama de velocidade na saída do rotor segue que Da continuidade Saída v2 2 v2 u2 w2 v2r 2 2r 2θ 2 2 2 2 2 1 1 v v u tgβ d 240 u ωr u 1099 2198ms d 120 1 1 1r 2 2 2r Q πd b v πd b v 1 1 2r 1r 2 2 2θ e u m b d 30 120 v v 233 219ms e b d 16 240 219 2198 1729 v 2198 1729ms Logo H 3878m e 0466 981 1000 00263 3413 H 088 3878 3413m e P 1709CV 75 070 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Se além da condição de entrada meridional v1rv1 v2rv1r então b2b1 Vejamos Embora essa condição não seja obrigatória ela é realizada praticamente em todos os tipos de bombas centrífugas puras e pode ser estabelecida reduzindose a largura b2 do rotor Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 326 Equação de Euler 10 i i i 2 2 1 1 r Como Q 2πrb v const i 12 Sendo r b r b As velocidades radiais de entrada e saída são iguais DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 327 Equação de Euler 11 Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Se ambas as condições a v1rv1 e b v2rv1r forem consideradas de que forma as parcelas de energia cinética e de pressão em He podem ser expressas Considere os diagramas de velocidade à entrada e saída do rotor 190 o v10 u1 w1 1 v1 v1r Entrada Saída v2 2 v2 u2 w2 v2r 2 2 2 1 1 2 2 1r 1 w v v u 2 2 2 2r 1r 2 2 2 2 2θ 1 2 2 2 2 w u v v v v w w 2 2 2 1 1r 2 2 2 2 2θ r v v v v v 2 2 2 2 2 1 1 2 2θ w w u u v 2 2 2 2 1 2θ v v v DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 328 Equação de Euler 12 Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Como segue que 2 2 p c 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 u H H 2 u g w w v v 2g 2 2 2 2 2 2θ 2θ p c 2 2θ e p c u u v v H H 2g 2g u v H H H g DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 329 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 13 Exercício Calcule as razões HpHe e HcHe para o problema do rotor encontrado no almoxarifado Solução Sabendo que p 2 2θ e 2 2θ c p e c 2 c e c p e u 2198ms v 1729ms e H 3878m e que v H e que H H H 2g Segue que 1729 H 1524m e H 3878 1524 2354m 2 9 H H 1524 2354 0393393 e H 387 81 Portanto 8 H 87 3 8 0607 607 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas 330 Equação de Euler 14 Exercício Utilize as expressões de Hp Hc e He apresentadas para identificar a influência do ângulo de saída 2 na forma como as energias cinética e de pressão se distribuem ao compor a altura total de elevação Para melhor subsidiar a análise consideres os seguintes casos 1 Pás inclinadas para trás 2 90º 1a 2 90º He0 As pás cedem energia ao líquido 1b 2 90º He0 As pás não transmitem energia ao líquido 1c 2 90º He0 As pás retiram energia do líquido 2 Pás radias 2 90º Hecte He independe de Q 3 Pás inclinadas para trás 2 90º 3a u2 v2 2u2 Hc Hp 3b v2 2u2 Hp0 3c v2 2u2 Hp0 Risco de cavitação DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 331 Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA A relação anterior pode ser explorada visandose estabelecer as relações teóricas entre He e Q como também entre N e Q para um bomba centrífuga nas quais C1 C2 C3 e C4 são constantes que dependem da geometria do rotor Com base no diagrama de velocidade à saída do rotor é possível escrever resultando 2θ 2 2 2 2 2r 2 v u w cosβ u v cotβ 2 e 2 2 2r 2 H 1 u u v cotβ g Saída v2 2 v2 u2 w2 v2r 2 2 e 1 2 3 4 H C CQ e N CQ CQ tg2v2rw2cos2 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 15 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 332 Escrevendo a velocidade radial na saída do rotor em termos da vazão Q resulta Logo Como PegQHe v0 segue que Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA 2 e 2 2 2r 2 H 1 u u v cotβ g 2r 2 2 Q v πd b 2 2 2 2 e 2 2 u u cotβ H Q g πd b g 2 2 2 2 e 1 2 1 2 2 2 u u cotβ H C C Q com C e C g πd b g 2 e 3 4 3 1 4 2 P C Q C Q com C ρgC e C ρgC Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 16 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 333 Se expressarmos a velocidade periférica ou tangencial u2 na saída do rotor em termos da velocidade de rotação da bomba n então e portanto Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA 2 2 2 2 d ω 2πd n πd n u 2 2 60 60 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 u πd n u cotβ ncotβ C C n e C C n g g60 πd b g 60b g 2 e 1 2 2 2 u 3 4 3 1 4 2 H C n C nQ P C n Q C nQ com C ρgC e C ρgC Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 17 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 334 2 2 2 2 2 u ω r H g g o 2 90 o 2 90 Q o 2 90 Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Com base nas expressões anteriores podese esboçar as curvas teóricas Hu vs Q e Pu vs Q 0 e v0 para constante em termos do ângulo de saída da pá do rotor Pu Q o β2 90 o β2 90 o β2 90 pás curvadas para trás Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 18 n cte n cte DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 335 Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Perda por atrito Perda por turbulência Perda por recirculação Vazão volumétrica Q Altura manométrica útil Hu BEP max Curva ideal Hu x Q Curva real Hu x Q Hur Qr Faixa de operação preferencial 85QQr105 Faixa de operação satisfatória 66QQr115 Hu x Q ideal versus Hu x Q real Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 19 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 336 o 2 90 Q Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Com base nas expressões anteriores podese esboçar as curvas teóricas Hu vs Q e Pu vs Q 0 e v0 para diferentes rotações n1 n2 e n3 para o ângulo de saída da pá do rotor 290º Pu Q o β2 90 pás curvadas para trás Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 20 1 2 3 n n n 1n cte 1 2 3 n n n 2 n cte 3 n cte 1n cte 2 n cte 3 n cte DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222 337 Conservação da Quantidade de Movimento Angular QMA Influência da geometria do rotor na curva Hu vs Q Exercício 1 A figura acima ilustra qualitativamente a influência da geometria do rotor largura do rotor formato das pás e número de pás do impelidor na curva Hu vs Q Quais dessas características não podem ser descritas pela teoria apresentada anteriormente Para leitura adicional reportese a referência abaixo Hicks TC Pump Selection and Application McGrawHill 1957 Departamento de Engenharia Mecânica TEM00210 Máquinas Hidráulicas Equação de Euler 21 DIVULGAÇÃO PROIBIDA Período 20222 Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid Proibida a reprodução Uso exclusivo como guia do alunoa para estudo pela bibliografia indicada no curso de Máquinas HidráulicasUFF Período 20222 Prof Felipe Rachid 20222