Questão - Transformada de Laplace - 2023-2

1) Usando a Transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas: a) { y''(T) + 16 y(T)=1 y(0)=1 ; y'(0)=2 b) y''(T)-y'(T)=e^T cos(T); y(0)=y'(0)=0 c) y'(T)+2 y(T)=f(T) ; f(T)={T 0<T<1 0 T>1 ; y(0)=0 1) a) y'' + 16y = 1 L(y'' + 16y) = L(1) s^2Y - sy(0) - y'(0) + 16Y = 1/s Y = 1/4 + 1/s s(s^2+16) s(s^2+16) Como {0∫^t f(u) du = s{(F(s))} 0∫^t sen(4u) du = {1∫^ s s(s^2+16) 0∫^t sen(4u) du = y(t) y(t) = 1/4[1 - cos 4t e^2 -> y(t) = 1/16(1 - cos 4t) b) y'' - y' = e^T cos(T) (s^2-s)Y = s-1 -> Y = s-1 (s-1)^2+1 A/s + B/s-1 + Cs+D ------------- ------- s s-1 s^2-2s+2 y(t) = 1/2 + e^T senT - e^T cosT ------------------------ 2 2 y'(T) = 1/2(e^ sen(t) - e^ cos(T) + t) 3) f(T) = t:uT Uc(T) - Tu(T) + t(UcT-Uc(t)) y' + 2y = t(Uo - Uc) (s+2)Y - Uo-Uc ---------- = ---------- s^2 s^2 Y = Uo - Uc (s^2) / (s+2) (s^2) / (s^2+2) A/s B/s C/s ---------- = --------------- s^2 A(s^2+s+2) + B(s+4) + Cs^2 s^2 {B/s+U(s^2) Y = A 1/s + A+B+C = A(s^2+2s) C = 1 B = 1/2 A = -1/16 C=1/4 Y = Uo(-1/25 + 1/s + 1/s^2 1/s^2) --------------- Uo(-1/25 + 1/s + 1/s^ +1) - 1/25 + 1/s + 1/s^ +1)(- 1/2) onde f_T(t) = f_t |T| 2/2^-t -t + 1.e } tilibra