Teste - Cálculo 4 - 2024-1

Questão 2 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). F Marcar questão. Encontre a função f(t) (continua em [0, \infty)) que satisfaz L(f(t))(s) = \frac{-6s^2 - 36s - 40}{s^3 + 10s^2 + 32s + 32} (Dica: s = -2 é solução da equação s^3 + 10s^2 + 32s + 32 = 0.) Se você encontrou a função correta, o valor de f(\ln 2) é uma das seguintes opções. Qual? Escolha uma opção: O a. \frac{3\ln(2)}{4} O b. 16\ln(2) O c. 5\ln(2) O d. \frac{3\ln(2)}{12} O e. \ln(2) O f. \frac{3\ln(2)}{8} O g. \frac{9\ln(2)}{8} O h. 32\ln(2) Questão 4 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). F Marcar questão. Seja f(t) uma função satisfazendo L(e^{4t}f(t))(s) = \frac{1}{\sqrt{s^2 - 16}} e seja g(t) = te^{3t}f(t). Determine G(7), onde G(s) é a transformada de Laplace de g(t). Escolha uma opção: O a. \frac{3\sqrt{5}}{100} O b. \frac{9}{\sqrt{65}} O c. \frac{3\sqrt{71}}{1764} O d. \frac{\sqrt{3}}{72} O e. \frac{7}{27} O f. \frac{11\sqrt{105}}{11025} Questão 3 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). F Marcar questão. Encontre a função f(t) (continua em [0, \infty)) que satisfaz L(f(t))(s) = \frac{3s^2 + 15s + 4}{(s^2 + 4)(s^2 + 9)} Se você encontrou a função correta, o valor de f(\frac{1}{3}) deve ser uma das opções embaixo. Qual? Escolha uma opção: O a. \frac{20}{3} O b. \frac{13}{3} O c. -2 O d. -4 O e. -5 O f. 0 O g. \frac{2}{3} O h. \frac{5}{3} Questão 1 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). Marcar questão Encontre a função f(t) (continua em [0, ∞)) que satisfaz L{f(t)}(s) = \frac{8s^2 - 8s + 4,5}{(s-1)^2 (2s^2+10)} para todo s > 1. Se você encontrou a função correta, o valor de \int f(\frac{\pi}{6}) é uma das seguintes opções. Qual? Escolha uma opção: O a. \frac{3e^𝜋}{5} O b. \frac{7e^𝜋}{6} O c. \frac{14e^𝜋}{3} O d. \frac{4e^𝜋}{9} O e. \frac{6}{5} O f. 2e^𝜋 O g. \frac{25e^𝜋}{3} O h. \frac{7e^𝜋}{3} 1. Encontre a função 𝑓(𝑡) (contínua em [0, +∞)) que satisfaz ℒ{𝑓(𝑡)}(𝑠) = − 8𝑠2 − 8𝑠 + 45 (𝑠 − 1)(𝑠2 − 2𝑠 + 10) Para todo 𝑠 > 1. Se você encontrou a função correta, o valor de 𝑓(𝜋/6) deve ser uma das opções abaixo. Qual? Temos que 𝑠2 − 2𝑠 + 10 = 𝑠2 − 2𝑠 + 1 + 9 = (𝑠 − 1)2 + 9 Assim, − 8𝑠2 − 8𝑠 + 45 (𝑠 − 1)(𝑠2 − 2𝑠 + 10) = 𝐴 𝑠 − 1 + 𝐵𝑠 + 𝐶 (𝑠 − 1)2 + 9 = 𝐴(𝑠2 − 2𝑠 + 10) + (𝐵𝑠 + 𝐶)(𝑠 − 1) (𝑠 − 1)(𝑠2 − 2𝑠 + 10) −8𝑠2 + 8𝑠 − 45 = 𝐴𝑠2 − 2𝐴𝑠 + 10𝐴 + 𝐵𝑠2 − 𝐵𝑠 + 𝐶𝑠 − 𝐶 −8𝑠2 + 8𝑠 − 45 = (𝐴 + 𝐵)𝑠2 + (−2𝐴 − 𝐵 + 𝐶)𝑠 + 10𝐴 − 𝐶 Assim, { 𝐴 + 𝐵 = −8 −2𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = 8 10𝐴 − 𝐶 = −45 → { 𝐴 = −5 𝐵 = −3 𝐶 = −5 Assim, − 8𝑠2 − 8𝑠 + 45 (𝑠 − 1)(𝑠2 − 2𝑠 + 10) = − 5 𝑠 − 1 − 3𝑠 + 5 (𝑠 − 1)2 + 9 = −5 ⋅ 1 𝑠 − 1 − 3 ⋅ 𝑠 − 1 (𝑠 − 1)2 + 9 − 8 3 ⋅ 3 (𝑠 − 1)2 + 9 Finalmente, 𝑓(𝑡) = ℒ−1 {− 8𝑠2 − 8𝑠 + 45 (𝑠 − 1)(𝑠2 − 2𝑠 + 10)} = −5𝑒𝑡 − 3𝑒𝑡 cos 3𝑡 − 8 3 𝑒𝑡 sen 3𝑡 Assim, 𝑓 (𝜋 6) = −5𝑒 𝜋 6 − 3𝑒 𝜋 6 cos 3𝜋 6 − 8 3 𝑒 𝜋 6 sen 3𝜋 6 𝑓 (𝜋 6) = −5𝑒 𝜋 6 − 3𝑒 𝜋 6 cos 𝜋 2 − 8 3 𝑒 𝜋 6 sen 𝜋 2 = − 𝟐𝟑𝒆 𝝅 𝟔 𝟑 2. Encontre a função 𝑓(𝑡) (contínua em [0, +∞)) que satisfaz ℒ{𝑓(𝑡)}(𝑠) = −6𝑠2 − 36𝑠 − 40 𝑠3 + 10𝑠2 + 32𝑠 + 32 Se você encontrou a função correta, o valor de 𝑓(ln 2) deve ser uma das opções abaixo. Qual? Como 𝑠 = −2 é raiz do denominador, temos que 𝑠3 + 10𝑠2 + 32𝑠 + 32 𝑠 + 2 = 𝑠2 + 8𝑠 + 16 = (𝑠 + 4)2 Assim, −6𝑠2 − 36𝑠 − 40 𝑠3 + 10𝑠2 + 32𝑠 + 32 = −6𝑠2 − 36𝑠 − 40 (𝑠 + 2)(𝑠 + 4)2 = 𝐴 𝑠 + 2 + 𝐵 𝑠 + 4 + 𝐶 (𝑠 + 4)2 −6𝑠2 − 36𝑠 − 40 = 𝐴(𝑠 + 4)2 + 𝐵(𝑠 + 2)(𝑠 + 4) + 𝐶(𝑠 + 2) −6𝑠2 − 36𝑠 − 40 = 𝐴(𝑠2 + 8𝑠 + 16) + 𝐵(𝑠2 + 6𝑠 + 8) + 𝐶(𝑠 + 2) −6𝑠2 − 36𝑠 − 40 = (𝐴 + 𝐵)𝑠2 + (8𝐴 + 6𝐵 + 𝐶)𝑠 + 16𝐴 + 8𝐵 + 2𝐶 Assim, { 𝐴 + 𝐵 = −6 8𝐴 + 6𝐵 + 𝐶 = −36 16𝐴 + 8𝐵 + 2𝐶 = −40 → { 𝐴 = 2 𝐵 = −8 𝐶 = −4 Logo, −6𝑠2 − 36𝑠 − 40 𝑠3 + 10𝑠2 + 32𝑠 + 32 = 2 𝑠 + 2 − 8 𝑠 + 4 − 4 (𝑠 + 4)2 = 2 ⋅ 1 𝑠 + 2 − 8 ⋅ 1 𝑠 + 4 − 4 ⋅ 1! (𝑠 + 4)2 Assim, 𝑓(𝑡) = ℒ−1 { −6𝑠2 − 36𝑠 − 40 𝑠3 + 10𝑠2 + 32𝑠 + 32} = 2𝑒−2𝑡 − 8𝑒−4𝑡 − 4𝑡𝑒−4𝑡 E finalmente, 𝑓(ln2) = 2𝑒−2 ln 2 − 8𝑒−4 ln 2 − 4𝑡𝑒−4 ln 2 = 2𝑒ln 2−2 − 8𝑒ln 2−4 − 4 ln2 𝑒ln2−4 𝑓(ln 2) = 2 ⋅ 2−2 − 8 ⋅ 2−4 − 4 ⋅ ln 2 ⋅ 2−4 = − 𝐥𝐧 𝟐 𝟒 3. Encontre a função 𝑓(𝑡) (contínua em [0, +∞)) que satisfaz ℒ{𝑓(𝑡)}(𝑠) = 3𝑠2 + 15𝑠 + 47 (𝑠2 + 4)(𝑠2 + 9) Se você encontrou a função correta, o valor de 𝑓(𝜋/2) deve ser uma das opções abaixo. Qual? Temos que 3𝑠2 + 15𝑠 + 47 (𝑠2 + 4)(𝑠2 + 9) = 𝐴𝑠 + 𝐵 𝑠2 + 4 + 𝐶𝑠 + 𝐷 𝑠2 + 9 = (𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠2 + 9) + (𝐶𝑠 + 𝐷)(𝑠2 + 4) (𝑠2 + 4)(𝑠2 + 9) 3𝑠2 + 15𝑠 + 47 = 𝐴𝑠3 + 9𝐴𝑠 + 𝐵𝑠2 + 9𝐵 + 𝐶𝑠3 + 4𝐶𝑠 + 𝐷𝑠2 + 4𝐷 3𝑠2 + 15𝑠 + 47 = (𝐴 + 𝐶)𝑠3 + (𝐵 + 𝐷)𝑠2 + (9𝐴 + 4𝐶)𝑠 + 9𝐵 + 4𝐷 Assim, { 𝐴 + 𝐶 = 0 𝐵 + 𝐷 = 3 9𝐴 + 4𝐶 = 15 9𝐵 + 4𝐷 = 47 → { 𝐴 = 3 𝐵 = 7 𝐶 = −3 𝐷 = −4 Assim, 3𝑠2 + 15𝑠 + 47 (𝑠2 + 4)(𝑠2 + 9) = 3𝑠 + 7 𝑠2 + 4 − 3𝑠 + 4 𝑠2 + 9 = 3 ⋅ 𝑠 𝑠2 + 4 + 7 2 ⋅ 2 𝑠2 + 4 − 3 ⋅ 𝑠 𝑠2 + 9 − 4 3 ⋅ 3 𝑠2 + 9 Assim, 𝑓(𝑡) = ℒ−1 { 3𝑠2 + 15𝑠 + 47 (𝑠2 + 4)(𝑠2 + 9)} = 3 cos 2𝑡 + 7 2 sen 2𝑡 − 3 cos 3𝑡 − 4 3 sen 3𝑡 Assim, 𝑓 (𝜋 2) = 3 cos 2𝜋 2 + 7 2 sen 2𝜋 2 − 3 cos 3𝜋 2 − 4 3 sen 3𝜋 2 = 3 cos 𝜋 + 7 2 sen 𝜋 − 3 cos 3𝜋 2 − 4 3 sen 3𝜋 2 𝑓 (𝜋 2) = −3 + 4 3 = − 𝟓 𝟑 4. Seja 𝑓(𝑡) uma função satisfazendo ℒ{𝑒4𝑡𝑓(𝑡)} = 1 √𝑠2 − 16 E seja 𝑔(𝑡) = 𝑡𝑒3𝑡𝑓(𝑡) Determine 𝐺(7), onde 𝐺(𝑠) é a transformada de 𝑔(𝑡). Temos que 𝐺(𝑠) = ℒ{𝑡𝑒3𝑡𝑓(𝑡)} = −ℒ{𝑒3𝑡(−𝑡)1𝑓(𝑡)} Para ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) ℒ{𝑔(𝑡)} = 𝐺(𝑠) ℒ{(−𝑡)𝑛𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑛)(𝑠) ℒ{𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑎) 𝐺(𝑠) = −𝐹′(𝑠 − 3) Sabendo que 1 √𝑠2 − 16 = 𝐹(𝑠 − 4) 1 √𝑠2 − 16 = 1 √(𝑠 − 4 + 4)2 − 16 = 𝐹(𝑠 − 4) → 𝐹(𝑠) = 1 √(𝑠 + 4)2 − 16 Assim, derivando 𝐹(𝑠), temos: 𝐹′(𝑠) = 0 ⋅ √(𝑠 + 4)2 − 16 − 1 ⋅ 2(𝑠 + 4) 2√(𝑠 + 4)2 − 16 (𝑠 + 4)2 − 16 = − 𝑠 + 4 [(𝑠 + 4)2 − 16]3/2 Assim, 𝐹′(𝑠 − 3) = − 𝑠 − 3 + 4 [(𝑠 − 3 + 4)2 − 16] 3 2 = − 𝑠 + 1 [(𝑠 + 1)2 − 16]3/2 Assim, 𝐺(𝑠) = 𝑠 + 1 [(𝑠 + 1)2 − 16]3/2 Logo, 𝐺(7) = 7 + 1 [(7 + 1)2 − 16]3/2 = 8 [82 − 16]3/2 = 8 483/2 = 1 24√3 = √𝟑 𝟕𝟐 5. Seja 𝑓(𝑡) = ℒ−1 { 1 √𝑠2 − 9 }, E defina a função 𝑔(𝑡) = 𝑒2𝑡 ∫ (𝑡 − 𝜏)𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 . Determine 𝐺(7), onde 𝐺(𝑠) é a transformada de Laplace de 𝑔(𝑡). Sabendo que ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) ℒ{𝑔(𝑡)} = 𝐺(𝑠) ℒ{(−𝑡)𝑛𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑛)(𝑠) ℒ{𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑎) ℒ{𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡)} = ℒ {∫ 𝑓(𝜏)𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 } = 𝐹(𝑠) ⋅ 𝐺(𝑠) Temos: 𝐺(𝑠) = ℒ {𝑒2𝑡 ∫ (𝑡 − 𝜏)𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 } = ℒ{𝑒2𝑡[1 ∗ 𝑡𝑓(𝑡)]} = −ℒ{𝑒2𝑡[1 ∗ (−𝑡)1𝑓(𝑡)]} Assim, ℒ{1 ∗ 𝑡𝑓(𝑡)} = 1 𝑠 − 2 ⋅ [−𝐹′(𝑠)] = − 𝐹′(𝑠) 𝑠 Assim, como 𝐹(𝑠) = 1 √𝑠2 − 9 → 𝐹′(𝑠) = 0 ⋅ √𝑠2 − 9 − 2𝑠 2√𝑠2 − 9 𝑠2 − 9 = − 𝑠 (𝑠2 − 9)3/2 Assim, ℒ{1 ∗ 𝑡𝑓(𝑡)} = 1 𝑠 𝑠 (𝑠2 − 9)3/2 = 1 (𝑠2 − 9)3/2 Assim, 𝐺(𝑠) = 1 [(𝑠 − 2)2 − 9]3/2 → 𝐺(7) = 1 [(7 − 2)2 − 9]3/2 = 1 [25 − 9]3/2 = 1 163/2 = 𝟏 𝟔𝟒 Questão 5 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). Marcar questão Seja f(t) = L^{-1} \Bigg{\frac{\sqrt{3}}{s \sqrt{s+9}\Bigg}}\ e defina a função g(t) como g(t) = e^{2t} \int_0^t (t - 𝜏)f(t - 𝜏)d𝜏. Determine G(7), onde G(s) é a transformada de Laplace de g(t). Escolha uma opção: O a. \frac{1}{5} O b. \frac{\sqrt{70}}{64} O c. \frac{1}{49} O d. \frac{1}{4} O e. \frac{1}{64} O f. \frac{\sqrt{3}}{9}