Lista 10 - Cálculo 4 - 2023-2

LISTA 10 Solugao de equacoes diferenciais e G M A Caleulo IV - 2023.2 integro-diferenciais usando trans- DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA formada de Laplace Usando a transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (a) { y(t) + By’ + 6y = tU(t — 2), y(0)=0, y/(0) =0. y(t) +y = g(t), £, se0<t<6 b , onde g(t) = 0) {Mo y/(0) =1. 7 onde 98) 3, set>6 Considere a funcao f : R > R cujo grafico esta dado na figura seguinte (f é nula fora da janela indicada): ah ~~ I 3 I I 2 I , 1 2 3 4 (a) Escreva f em termos de fungdes da forma U(t — a) e calcule sua Transformada de Laplace Fs). (b) Resolva o problema de valor inicial do oscilador harménico (massa-mola) com forcga externa f(t) a seguir: { y(t) + y(t) = f(t), y'(0) = y(0) = 0. (c) Analise os comportamentos da solugaéo y(t) parat < 1 e parat > 3. Estes comportamentos eram esperados a partir da EDO dada? Escreva a solugao do problema de valor inicial em termos da convolugao (a) y+4y=g(t), y(0)=0, y/(0)=1 (b) 4y" + 4y'+ 17y = g(t), y(0)=0, y/(0) =0 Resolva as seguintes equacoes integrais ou integro-diferenciais usando a transformada de Laplace: t t ay { YO+ MO ~2 fa wleddu = 1 @ { 10+ fucode= Ue -9) y(0) = 0. y(0) = 7. 8 t (b) f(t) =14+t—- =f f(u)(u—1)8du 0 1 Resolva a equacao diferencial seguinte para y = y(t) usando a transformada de Laplace: yi _ y + Ay! _ Ay _— 26e3" sujeito as condig6es iniciais y(0) = y’(0) = y’’(0) = 0. (a) Calculando a transformada do lado direito da equacao, temos e725 2e-285 L{U(t — 2)t} = L{U(t — 2)(t —-24 2)} = L{U(t — 2)(t — 2)} + L{U(t — 2)2} = a as — Agora, aplicando a transformada de Laplace 4 equacéo e usando as condic6es iniciais temos —2s 9 —2s s’Y(s) +5sY(s) + 6Y(s) => + — —2s 2 1 (s? +58+6)Y(s) = s+) e~78(25 + 1) Ye-s s°(s + 2)(s + 3) . Dogs 2s4+1 . . Para calcular a transformada inversa, sera util re-escrever >=... usando 0 método de fragoes s*(s + 2)(s + 3) parciais. Explicitamente, temos que 2s+1 A,B, C | D s*(s+2)(s+3) 8s s% s+2 8+3 para constantes A, B,C, D que satisfazem 2s +1 = As(s + 2)(s + 3) + B(s + 2)(s +3) + Cs*(s +3) + Ds?(s + 2) Vamos substituir alguns valores de s na tltima equagao. Fazendo s = —2 obtemos —3 = 4C, logo C = —3/4. Fazendo s = —3 obtemos —5 = —9D, logo D = 5/9. Fazendo s = 0 obtemos 1 = 6B, logo B=1/6. Fazendo s = 1 obtemos 3 = 124+ 12B+44C' + 3D, logo A = 7/36. Portanto, 7 1 3 5 Y — —2s a Le (s) =e (5 +62 Ae+2) TH) Calculando a transformada de Laplace inversa, temos 7 (t—2) 3e72@-2) 5e—3-2) t)=U(t-2)(— +4 -=__ + = ___}, yy =o0-9 (E+ —— (b) Para comegar, observe que t t t t—6 g(t) = 37 g(t — 8) + 3U(t —6) = 37 (*)ou-9) Aplicando £ junto com as condig6es iniciais, obtemos entaéo que (s°¥ (s) — sy(0) ~ 9'(0)) + ¥(8) = sty — Sp ine. ue s“Y(s) — sy y 8) = 52 ~ ggn? be qu (s? + 1)Y( )=14+— oe i 8 s)= 552 ger? bes que 1 1 gs Y(s) = >— + ssa ()= S77 toa ED 2 A solucao da equacao diferencial sera y(t) = £~'{Y(s)}. Para calcular essa transformada inversa, sera 1 util re-escrever (241) usando o método de fragoes parciais. Explicitamente, temos que s7(s 1 _ As+B in Cs+D s%(s?+1) 82 s?+1 para alguns constantes A, B,C, D que satisfazem 1 = (As + B)(s? +1) + (Cs + D)s? = (A+ C)s? + (B+ D)s? + As + B; segue que B=1leA=0, D=-1,C=0. Deduzimos que 1 1/1 1 ee (1 1 ¥O= yr ta(3- wen) F (a-wen): A linearidade de £7! agora implica que t t 1 y(t) = L7'{Y(s)} =sen(t) + 37 = - mG — 6) (— 6 — sen(t — 6)) t sen(t) 1 =5 +5 = gU(t — 6) (t — 6 — sen(t — 6)) (a) Temos f(t) = 2(¢ — 1)U(t — 1) — 2(-— 1)U(t — 3). Usando que L{h(t)U(t — a)} = e~**L{h(t + a)}: F(s) = 2e-*L{t+1—1} —2e-Lit4+3-1}= ges +. 99-38 (1 + 2 — 7 8? sz sg} * (b) Aplicando £ e usando as condigées iniciais, obtemos s°Y (s) — sy(0) — y/(0) + Y(s) =F(s) 1 1 2 Y(s)(s? +1) =2e7* 5 - 2e~3s (= a =| s s s 1 1 2 Y —Je 8 _____ _ 9g 7388 f (5) =2e s?(s? + 1) © (az +1) + 8(s2 + 5) Nao vale a pena juntar as fragoes — uma delas aparece duas vezes, e queremos separé-las para poder calcular a transformada inversa. Assim, procuramos A, B,C, D reais tais que: 1 A,B Cst+D s2(s2+1) 5s gs? 5241 1 =As(s? +1) + B(s? +1) + (Cs + D)s? Tomando s = 0 vem B = 1; tomando s = 2 vem Ci + D = —1, ou seja, C = 0 e D = —1; enfim tomando s=l1vem1=2A+2B+C+D, ou seja, A= 0. Em suma, temos: 1 1 1 s*(s?+1) s2 5241 cuja transformada inversa vale t — sint. Poderfamos fazer contas andélogas para a outra fracao, mas neste caso basta multiplicar a linha acima toda por s para chegar diretamente em: 1 _i1 Ss s(s?+1) 5s 8241 3 cuja transformada inversa vale 1 − cos t. Enfim, usando a regra da translação no tempo em cada termo de Y (s), vem: y(t) =2 [(t − 1) − sin(t − 1)] · U(t − 1) − 2 [(t − 3) − sin(t − 3)] · U(t − 3) − 4 [1 − cos(t − 3)] · U(t − 3) = =2 [t − 1 − sin(t − 1)] · U(t − 1) + 2 [1 − t + sin(t − 3) + 2 cos(t − 3)] · U(t − 3) (c) Para t ≤ 1, ambos os degraus se anulam e temos y(t) = 0. Faz sentido, pois estamos resolvendo y′′ +y = 0 (note que f(t) = 0 quando t ≤ 1) com condições iniciais y(0) = y′(0) = 0. Para t ≥ 3, note que a parte afim em t cancela (ou seja, aqueles “t − 1” somem) e ficamos apenas com y(t) = −2 sin(t − 1) + 2 sin(t − 3) + 4 cos(t − 3). Abrindo os senos e cossenos, vemos que isto tem a forma C1 sin t + C2 cos t, que é exatamente o formato da solução geral do oscilador harmônico y′′ + y = 0. Isto faz sentido pois f(t) = 0 para t ≥ 3 (para ser exato: C1 = −2 cos 1 + 2 cos 3 + 4 sin 3 e C2 = 2 sin 1 − 2 sin 3 + 4 cos 3). Solução do Exercício 3 (a) Aplicando L, obtemos que (s2Y (s) − sy(0) − y′(0)) + 4Y (s) = G(s), i.e., que (s2 + 4)Y (s) = 1 + G(s), i.e., que Y (s) = 1 s2 + 4 + G(s) · 1 s2 + 4 onde G(s) = L{g(t)} e Y (s) = L{y(t)}. Segue por linearidade e o teorema da convolução que y(t) = L−1{Y (s)} = 1 2 · sin 2t + 1 2g(t) ∗ sin 2t. (b) Aplicando L junto com as condições iniciais, obtemos que (4s2 + 4s + 17)Y (s) = G(s), i.e., que Y (s) = G(s) · 1 4s2 + 4s + 17, i.e., que Y (s) = G(s) 4 · 1 (s + 1 2)2 + 22 . onde G(s) = L{g(t)} e Y (s) = L{y(t)}. Segue por linearidade e o teorema da convolução que y(t) = L−1{Y (s)} = 1 8g(t) ∗ (e− t 2 sin 2t). Solução do Exercício 4 (a) Aplicando L junto com a condição inicial, obtemos que (s + 1)Y (s) − 2 sY (s) = 1 s, i.e., que (s2 + s − 2)Y (s) = 1, i.e., que Y (s) = 1 (s + 2)(s − 1) onde Y (s) = L{y(t)}. A solução da equação diferencial será y(t) = L−1{Y (s)}. Para simplificar o cálculo 4 dessa transformada inversa, usamos fragoes parciais para re-escrever acne Assim, teremos que 1 A B G+D6-D = sn9 + poT’ onde os constantes A e B satisfazem A(s —1)+ B(s +2) =1. Segue substituindo s = —2 (resp., s = 1) que -3A =1e3B=1,i.e., que A= —3 eB= z Concluimos por linearidade que 1 1 1 1 t) = —=£71,; —— ~£-1¢ —_ Wit) = —3 toaa}t {4} 1 1 _ ie 4 5 (b) Reescrevendo a equagéo, temos 8 t fi) =14+¢t+ 3 | f(u)(t — u)?du 0 Aplicando a transformada de Laplace (e usando o teorema da convolucao) temos 1 1. 8-3! F(s)=-+—544+2—F (s) st gt3cg (s) Fatorando F'(s), concluimos que 2 1 F(s) = 2 G+) _ (s? — 4)(s? + 4) Entao, devemos ter s(s+1) — A 4 B ,ostD (s?—4)(s?+4) s—-2 s4+2 8244 As constantes A, B,C, D satisfazem s’(s +1) = A(s + 2)(s? + 4) + B(s — 2)(s? + 4) + (CS + D)(s? — 4) Vamos substituir alguns valores de s na tltima equagao. Fazendo s = 2 obtemos 32A = 12, logo A = 3/8. Fazendo s = —2 obtemos —32B = —4, logo B = 1/8. Fazendo s = 0 obtemos 8A — 8B — 4D = 0, logo D =1/2. Fazendo s = —1 obtemos 5A — 15B + 3C — 3D = 0, logo C = 1/2. Calculando a transformada de Laplace inversa, temos 3 1 1 1 1/s+l1 L-MNF(s)} =£°" 4 > (—> )+5(—s)+5(aG {F(s)} eae kel tes); 3 1 1 1 f(t) =30" Ts ae a 5 cos(2t) + Z sen(2t) (c) Aplicando £ e usando a condigao inicial, obtemos Y —3s sY(s) — y(0) + ¥(s) = o Le. 8 8 2 1 —3s y(s) (+) =i 4+ 7, ie. 8 8 es 7s Y(s) = ~—~ + =—, ie. (s) +1’ 241° Y(s) = L{U(t — 3)}L{cos(t)} + 7L{cos(t)}. Usando o teorema de convolucao, podemos deduzir t y(t) = | U(u — 3) cos(t — u)du + 7 cos(t). 0 5 A integral pode ser calculada como segue. t t t | U(u — 3) cos(t — u)du = U(t — 3) | cos(t — u)du = U(t — 3) | cos(u — t)du 0 3 3 = U(t — 3)[sen(u — t)], = U(t — 3) sen(t — 3) Em conclusao, y(t) = U(t — 3) sen(t — 3) + 7cos(t). Aplicando £ junto com as condigoes iniciais, obtemos que 26 (3? — 5? + 4s — 4)Y(s) = 323) ie., que 3— y 26, (s = 1)(s + 4)Y(s) => 53? 1.e., que 26 Y(s) = ———————_.. (s) (s — 3)(s — 1)(s? +4) A solugéo da nossa equagao diferencial sera a transformada inversa dessa tltima fungao, e para calculé-la aplicaremos o método de fragées parciais. Assim, escrevemos 26 A B Cs+D . GoDG-De TD aT + sc + 44” onde os constantes A, B, C e D satisfazem (2) 26 = A(s — 1)(s? + 4) + B(s — 3)(s? + 4) + (Cs + D)(s — 3)(s — 1). Substituindo s = 1 (resp., s = 3) na equacéo (2), obtemos que 26 = —10B (resp., 26 = 26A), e logo temos que A=1eB=—¥. Agora subsituindo s = 0 em (2) da 26 = -4A—12B+3D e segue que D = —2. Finalmente, comparando os termos ctibicos dos dois lados da igualdade em (2) da 0=A+B4+C e segue que C' = 8, Por linearidade, concluimos que 1 13 1 8 8 2 1 th= ole —_ 4 ~ he ee y(t) {3} 5 {aa}+5 se +4f 5ls+4 13 8 1 = et — rad a cos 2t — R sen 2t. 6