Lista 12 - Cálculo 4 - 2023-2

LISTA 12 Método de separacgao de variaveis G M A Caleulo IV - 2023.2 para resolver Eq. Dif. Parciais Encontre todas as solugdes nao nulas da forma u(x,y) = X(x)Y(y) para as seguintes equagées diferenciais parciais Ou Ou Ou Ou — — __ = 0 ay 0 (a) Ox Oy (c) “Ox Yay Ou Ou Ou Ou b) —+—= d) —+ += > =0 () ot By “ (d) a2 tap Considere o problema do calor O 7 = 5a para0<a<7,t>0 u(0,t) = u(z,t) =0 parat>0 u(a,0) = f(z) para0<a“<q7. Utilize o método de separagao de varidveis para resolver o PVC nos seguintes casos 1 seO<a<% — (b) f(x) =2sen(z) (c) f(w) = sen (2) (a) f(a) = x 0 se><au<T Considere o problema do calor com extremidades isoladas O 7 = oat para0<a<7,t>0 u,(0,t) = uz(a7,t) =0 parat >0 u(a,0) = f(z) para0<a<T. Utilize o método de separagao de varidveis para resolver o PVC nos seguintes casos 1 seO<a<§ (b) f(x) = cos(3z) (c) f(x) = sen?(a) () f@)=4) -. sez <4“<T7 Considere 0 seguinte problema do calor (com condig6es de contorno diferentes as dos exercicios anteriores). Utilize o método de separagao de varidveis para resolver o PVC O o? P= ae para0<a<7,t>0 u(0,t) = uz(7,t) =0 parat>0 u(x,0) = f(x) para0<a<7. 1 Utilize o método de separagao de variaveis para resolver 0 seguinte problema de Laplace o o? aa? + By? = 9 para0<a<me0<y<l u(0, y) = u(7,y) = u(z,1)=0 para0<u<mre0d<y<l u(z,0) =4 para0<a<z7. Utilize o método de separagao de varidveis para resolver os seguintes PVCs da equacao da onda Ou = OPu 452 OR para0N<ax<Let>0 (a) u(0, t) = u(L,t) =0 para t > 0 u(z,0) = Fa(L—2«) e u(2,0)=0 para0<a<L 2 2 g2u Ou para0N<a<m7met>0 b) Ox Ot ( u(0,t) = u(m,t) = 0 para t > 0 u(z,0) =0 e uzs(x,0) =sen(x) para0<a<m7 (a) u(a,y) = cer) (b) ula,y) = crert2ev (c) u(x, y) = er(2y) (d) u(x, y) = (citter)(cayt+es); u(x, y) = (cs cosh(ax) + cg senh(ax))(c7 cos(ay) +cg sen(ay)); u(x, y) = (cg cos(ax) + C19 sen(a@x)) (C11 cosh(ay) + c12 senh(ay)) 2 { 1-cos (3) 2 t)== —_12/ | eon (a) u(x,t) - d ( h € sen(nx) (b) u(x,t) = 2e~* sen(x) 3 -t 1 ot (c) u(a,t) = 2° sen(x) — 7° sen(32) (a) u(x,t) 12 > sen (22) -*€ cos(nz) =-+4+- ———— nx OS 20 no n © (b) u(x,t) = e~* cos(3z) 1 1 iy =i 2 (c) u(a,t) oe cos(22) 2 oo + _ —(2n —1)?t _ u(a@,t) = “ S- (/ f(x) sen (AP) az) e€ 4 sen (A) _ 16 SG senh((2n — 1)(1 — y)) sen(nz) ues) = sean 1) (a) u(a,t) = cE s ao cos (77) sen (2) (b) u(a,t) = : sen(3t) sen(cr). 3