Métodos Computacionais da Física 1 Edição - Cláudio Scherer

Sumário Prefácio ...................................................... VI Capítulo 1 Introdução aos Métodos Numéricos ..................... 1 1.1 Raízes de Funções .................................. 1 1.1.1 Iteração ....................................................... 2 1.1.2 Funções Escalares de uma Variável ................... 3 1.1.3 Funções Vetoriais de Variável Vetorial ................ 8 1.2 Aproximações Numéricas de Funções ................ 16 1.2.1 Interpolação Polinomial .................................. 17 1.2.2 Interpolação por Segmentos ............................... 20 1.2.3 Ajuste ........................................................... 26 1.3 Integração Numérica ...................................... 34 1.3.1 Regra do Trapézio .......................................... 35 1.3.2 Outras Aproximações para a Integração Numérica ... 37 1.3.3 Integrais Impróprias ........................................ 38 1.4 Transformada de Fourier .................................. 40 1.4.1 Propriedades das Transformadas de Fourier .......... 41 1.4.2 A Delta de Dirac ............................................ 44 1.4.3 Transformada de Fourier Discreta ....................... 46 1.4.4 Transformada de Fourier Rápida ......................... 54 Capítulo 2 Equações Diferenciais Ordinárias .......................... 62 2.1 Equações de Primeira Ordem .............................. 62 2.1.1 Derivada Numérica ........................................ 63 2.1.2 Erro na Derivação Numérica .............................. 66 2.1.3 Sistema de Equações ..................................... 67 2.2 Equações de Segunda Ordem ............................. 68 2.2.1 Algoritmo de Verlet .......................................... 69 2.2.2 Algoritmo Leap-Frog ........................................ 75 2.2.3 Algoritmo Velocity-Verlet .................................. 75 2.2.4 Métodos Runge-Kutta ...................................... 77 2.2.5 Incrementos Adaptativos ................................... 80 Capítulo 3 Equações Diferenciais a Derivadas Parciais .............. 87 3.1 Equações Unidimensionais no Espaço .................... 87 3.1.1 Equação da Difusão ........................................... 88 3.1.2 Equação da Convecção ...................................... 91 3.1.3 Defeitos por Radiação ....................................... 93 3.1.4 Solução Estacionária ........................................ 95 3.1.5 Procedimentos Explícito, Implícito e Crank-Nicholson ... 98 3.1.6 Equação de Schrödinger ................................... 104 3.2 Métodos de Relaxação em Duas ou Mais Dimensões Espaciais ...................................... 109 3.2.1 Algoritmo de Jacobi ......................................... 110 3.2.2 Algoritmo de Gauss-Seidel ................................ 112 3.2.3 Algoritmo Super-Relaxação ................................ 113 Capítulo 4 Probabilidade, Variáveis Aleatórias e Processos Estocásticos ............................ 115 4.1 Introdução à Teoria de Probabilidade ................... 115 4.1.1 O Conceito de Probabilidade ................................ 115 4.1.2 Probabilidade Condicional ................................ 117 4.1.3 Eventos Independentes ...................................... 118 4.2 Variável Aleatória .............................................. 118 4.2.1 Média ............................................................ 119 4.2.2 Momentos, Variância e Covariância ...................... 120 4.2.3 Variável Aleatória Contínua ................................. 121 4.2.4 Distribuições Especiais ..................................... 123 4.3 Processos Estocásticos (PE) ................................... 127 4.3.1 Processos Estocásticos Contínuos .......................... 131 4.3.2 PE Discretos: Equação Master ................................. 133 Capítulo 5 Dinâmica Molecular .............................................. 136 5.1 Um Programa de Dinâmica Molecular ................... 137 5.2 Um Modelo Simples ............................................. 138 5.3 Abordagem Nível Zero .......................................... 139 5.3.1 O Programa Principal: Dinamol0.m .................... 140 5.3.2 Inicialização .................................................... 141 5.3.3 Cálculo das Forças ............................................ 142 5.3.4 Integração das Equações de Movimento ............... 145 5.3.5 Cálculo das Variáveis Dinâmicas Relevantes ....... 148 5.4 Abordagem Nível 1 ............................................... 149 5.4.1 O Programa Principal: Dinamol1.m .................... 150 5.4.2 Células e Listas ................................................... 151 5.4.3 Inicialização .................................................... 153 5.4.4 Identificação das Células Vizinhas ......................... 154 5.4.5 Lista dos Átomos Presentes em Cada Célula ....... 156 5.4.6 Cálculo das Forças ............................................ 157 5.4.7 Integração das Equações de Movimento ............... 160 5.4.8 Cálculo das Variáveis Dinâmicas Relevantes ....... 161 5.5 Abordagem Nível 2: Condições de Contorno Periódicas ............................................ 163 Claudio Scherer Métodos Computacionais da Física Editora Livraria da Física São Paulo - 2005 - 1ª. edição Ano Mundial da Física Copyright 2005 : Editora Livraria da Física Editor: José Roberto Marinho Capa: Arte Ativa Impressão: Gráfica Paym Dados Internacionais de Catalogação na Publicação ( CIP ) ( Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil ) Scherer, Claudio Métodos computacionais da física / Cláudio Scherer. -- 1. ed. -- São Paulo : Editora Livraria da Física, 2005. Bibliografia. 1. Física - Métodos computacionais I. Título. 04-7557 CDD-530.0285 Índices para catálogo sistemático: . Física : Métodos computacionais 530.0285 ISBN : 85-88325-35-7 Editora Livraria da Física Tel. : 0xx11 - 3936 3413 Fax : 0xx11 - 3815 8688 Página na internet : www.livrariadafisica.com.br Capítulo 6 O Método Monte Carlo ................................................. 172 6.1 Elementos de Mecânica Estatística ....................................... 173 6.1.1 O Objeto da Mecânica Estatística ............................ 173 6.1.2 Conceitos Fundamentais da Mecânica Estatística .. 174 6.1.3 Porque a Mecânica Estatística Funciona .................. 177 6.1.4 A Distribuição de Boltzmann .................................. 178 6.1.5 Energia Interna e Calor Específico .......................... 179 6.1.6 O Princípio do Balanço Detalhado .......................... 180 6.2 Média de Ensemble por amostragem ............................... 181 6.2.1 Média por Amostragem Tendenciosa ....................... 182 6.3 O Algoritmo de Metrópolis .............................................. 183 6.3.1 Primeiro Exemplo: O Modelo de Ising .................... 187 6.3.2 Segundo Exemplo: O Gás Bi-dimensional ............... 195 6.3.3 O Método do Histograma ....................................... 206 Capítulo 7 Dinâmica Estocástica ........................................................ 208 7.1 Ruído Branco e Processo de Wiener ................................... 208 7.2 Derivada de PE e Equação de Langevin .............................. 211 7.3 Equações Diferenciais Estocásticas (EDE) com Ruído Aditivo ................................................................. 213 7.4 EDE com Ruído Multiplicativo ......................................... 217 7.4.1 Cálculo de Ito .......................................................... 218 7.4.2 Cálculo de Stratonovich ......................................... 228 7.5 Cálculo Estocástico com Vários Ruídos ........................... 232 7.5.1 Sobre as Abordagens de Ito e de Stratonovich en Simulações Numéricas ............................................. 234 7.5.2 Movimento Browniano em Coordenadas Polares .... 235 7.6 A Equação de Fokker-Planck .......................................... 240 7.6.1 Relação de Einstein ................................................. 243 7.6.2 Equação de Fokker-Planck para PE Vetorial com Vários Ruídos ......................................................... 245 7.7 Teoria da Resposta Linear para Processos Estocásticos ... 247 IV