Lista 2 - 2023-2

Lista 2 C´alculo Num´erico Prof. Victor Mielly Oliveira Batista 1) Considere a tabela x 1 3 4 5 f(x) 0 6 24 60 Determine o polinˆomio de interpola¸c˜ao na forma de Lagrange e calcule uma aproxima¸c˜ao para f(3.5). 2) Construir a tabela de diferen¸cas divididas para a seguinte fun¸c˜ao tabelada x -2 -1 0 1 2 f(x) -2 29 30 31 62 3) Dada a tabela x 2 3 4 5 6 7 f(x) 0.13 0.19 0.27 0.38 0.51 0.67 Determinar: a) O polinˆomio de interpola¸c˜ao de grau adequado. b) Calcular f(4.5). c) Dar uma estimativa para o erro de truncamento. 4) Seja f(x) = 1 x + 2, x ∈ [−1, 1]. Usando o m´etodo dos m´ınimos quadrados, aproxime f(x) por um polinˆomio de grau 2. 5) Seja f(x) = (x3−1)2, x ∈ [0, 1]. Usando o m´etodo dos m´ınimos quadrados, aproxime f(x) por uma reta, em seguida por um polinˆomio de grau 2. 6) Seja f(x) = x3 + 4x, onde x ∈ [0, 1]. Aproxime a fun¸c˜ao f(x), pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados 1 a) por uma reta. b) por uma parabola usando polindmios ortonormais. 7) Dada a funcgao y = f(x), por meio da tabela xitfo fi). x jo}afolz| ajusta-la por meio de um polinomio de grau 2, usando 0 método dos minimos quadrados. 8) Aplique a regra do trapézio para calcular 1.30 | Jxdx 1.00 usando a seguinte tabela: 1.0000 | 1.0247 | 1.0488 | 1.0723 | 1.0954 | 1.1180 | 1.1401 9) Use a regra do trapézio para calcular a integral abaixo usando a tabela dada para h=04,h=02eh=0.1. 0.8 | cos(x)dx 0 ce [oper [oa [os [os [os [oe [or [os 0.995 | 0.980 | 0.955 | 0.921 | 0.877 | 0.825 | 0.764 | 0.696 10) Sabendo-se que a velocidade v de um foguete langado do chao verticalmente para cima é dada pela tabela abaixo: ve pfs» [s |» | uv (pés/seg) 0 | 60.6. 180.1 | 341.6 | 528.4 1 . , Use a regra 3 de Simpson para calcular a altura do foguete apds 20 segundos. 2 11) Verifique que, usando o m´etodo de Euler modificado para resolver o p.v.i.    y′ = y − x y(0) = 2 x ∈ [0, 0.5], h = 0.1 obtem-se xn 0 0.5 1.0 yn 2 3.14745 4.71408 3 1 Questao 1 Dada a tabela: 1 0 3] 6 4 | 24 5 | 60 Para encontrar o polindmio de interpolagao de Lagrange, usamos a seguinte formula: P(x) = N° f(x) - Li(a) i=0 onde h L—- 2X; L(x) = ——L (2) Il rr en) J=0,jA% Para encontrar f(3.5), substituimos « = 3.5 no polindémio interpolador P(x) e calculamos. O polindmio interpolador é: P(x) = f(A): Lo(w) + f(3) - Lila) + f(A): Lo(x) + f(5) - Ls(x) Calculamos L;(x) para cada i e substitufmos em P(x) para obter o polindmio completo. Em seguida, calculamos P(3.5) para encontrar a aproximagao de f (3.5). a-3 «4-4 4-5 bol) = 73° a4 5 _] —4 7- A 3-1 3-4 3-5 x-1 #-3 x-5 L =O 2 ee (@) = To 73 5 x-1 4-3 «4-4 L =O 2 te = S53 5d P(x) = f(A): Lo(w) + f(3) - Lila) + f(A): Lo(x) + f(5) - Ls(x) P(3.5) = 0- £o(3.5) + 6- £1 (3.5) + 24 - Lo(3.5) + 60 - £3(3.5) 3.5-3 35-4 35-5 ho(35) = Tos ag 5 3.5-1 35-4 35-5 L,(3.5) = 2 SEE 185) =F 3a 35 3.5-1 35-3 35-5 Lo(3.5) = 2 EE 2(3-5) = TB aS 3.5-1 35-3 35-4 Bs(35) = 53 Boa 0.5 0.5 0.5 2 Quest˜ao 2 Dada a tabela: x f(x) -2 -2 -1 29 0 30 1 31 2 62 Para construir a tabela de diferen¸cas divididas, usamos a f´ormula: f[x0, x1, . . . , xn] = f[x1, x2, . . . , xn] − f[x0, x1, . . . , xn−1] xn − x0 Come¸camos calculando as diferen¸cas divididas de ordem 1: f[−2, −1] = 29 − (−2) −1 − (−2) = 31 1 = 31 f[−1, 0] = 30 − 29 0 − (−1) = 1 1 = 1 f[0, 1] = 31 − 30 1 − 0 = 1 1 = 1 f[1, 2] = 62 − 31 2 − 1 = 31 1 = 31 Agora, calculamos as diferen¸cas divididas de ordem 2: f[−2, −1, 0] = 1 − 31 0 − (−2) = −30 2 = −15 f[−1, 0, 1] = 1 − 1 1 − (−1) = 0 2 = 0 f[0, 1, 2] = 31 − 0 2 − 0 = 31 2 = 15.5 Agora, calculamos a diferen¸ca dividida de ordem 3: f[−2, −1, 0, 1] = 0 − (−15) 1 − (−2) = 15 3 = 5 Finalmente, temos a tabela de diferen¸cas divididas completa: xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] -2 -2 31 -15 5 -1 29 1 0 0 30 1 1 31 31 2 62 2 A tabela de diferengas divididas esta completa até a ordem 3, pois nao temos mais pontos a direita para calcular ordens superiores. 3 Questao 3 Dada _a tabela: 2 | 0.13 3 | 0.19 4 | 0.27 5 | 0.38 6 | 0.51 7 | 0.67 **a) Polindmio de interpolagao de grau adequado** Para encontrar um polindmio de interpolacgao de grau adequado, podemos usar a formula de interpolagao de Lagrange: P(x) = > f(a) - Li(x) i=0 onde n é 0 grau do polinémio interpolador e L;(x) é 0 i-ésimo polindémio de Lagrange: Li(«)= J] ane on. i U5 J=0,jF% Aqui, n é 0 nimero de pontos na tabela, que é 6. Portanto, podemos usar um polindmio de grau 5 para interpolar esses dados. **b) Calcular f(4.5)** Para calcular f(4.5) usando o polinédmio interpolador, substitufmos x = 4.5 no polindmio de Lagrange: 5 P(4.5) = S> f (ai) - Li(4.5) i=0 Agora, calculamos os valores de L;(4.5) para cada 7: 4.5 — 3)(4.5 — 4)(4.5 — 5)(4.5 — 6)(4.5 —7 L(4.5) = (4.5 = 8)(4.5 = 4)(4.5 = 5)(4.5 = 6)(4.5 = 7) ) = 0.1775 @-3)2—-4)2—-52-02-7) 4.5 — 2)(4.5 — 4)(4.5 — 5)(4.5 — 6)(4.5 — 7 1, (4.5) = A3= 245 = 44.5 = 5)(45 = 645 = 7) _ _y og 75 (3 — 2)(3 — 4)(3 — 5)(3 — 6)(3 — 7) 3 L2(4.5) = (4.5 − 2)(4.5 − 3)(4.5 − 5)(4.5 − 6)(4.5 − 7) (4 − 2)(4 − 3)(4 − 5)(4 − 6)(4 − 7) = 2.2125 L3(4.5) = (4.5 − 2)(4.5 − 3)(4.5 − 4)(4.5 − 6)(4.5 − 7) (5 − 2)(5 − 3)(5 − 4)(5 − 6)(5 − 7) = −1.8525 L4(4.5) = (4.5 − 2)(4.5 − 3)(4.5 − 4)(4.5 − 5)(4.5 − 7) (6 − 2)(6 − 3)(6 − 4)(6 − 5)(6 − 7) = 0.4631 L5(4.5) = (4.5 − 2)(4.5 − 3)(4.5 − 4)(4.5 − 5)(4.5 − 6) (7 − 2)(7 − 3)(7 − 4)(7 − 5)(7 − 6) = −0.0075 Agora, substitu´ımos esses valores na express˜ao para P(4.5): P(4.5) = 0.13·0.1775+0.19·(−1.2375)+0.27·2.2125+0.38·(−1.8525)+0.51·0.4631+0.67·(−0.0075) ≈ 0.2641 Portanto, f(4.5) ≈ 0.2641. **c) Estimativa para o erro de truncamento** A estimativa para o erro de truncamento na interpola¸c˜ao de Lagrange pode ser dada pela f´ormula: |f(x) − P(x)| ≤ M (n + 1)!|x − x0| · |x − x1| · . . . · |x − xn| onde M ´e o valor m´aximo da derivada (n + 1)-´esima de f(x) no intervalo de interpola¸c˜ao. Como temos um polinˆomio de grau 5, n = 5, e o intervalo de interpola¸c˜ao ´e [2, 7], podemos calcular a sexta derivada de f(x) = 1/x2 e encontrar seu valor m´aximo no intervalo: f(x) = 1 x2 =⇒ f (6)(x) = 720 x8 Agora, encontramos o valor m´aximo de f (6)(x) no intervalo [2, 7]: max 2≤x≤7 f (6)(x) = 720 28 = 720 256 = 2.8125 Substituindo esse valor na f´ormula do erro de truncamento: |f(x) − P(x)| ≤ 2.8125 6! |x − 2| · |x − 3| · |x − 4| · |x − 5| · |x − 6| · |x − 7| Podemos usar essa f´ormula para estimar o erro em qualquer ponto dentro do intervalo [2, 7]. 4 4 Questao 4 : _ 1 : : Seja f(x) = Z79 ho intervalo [1,1]. Queremos aproximar f(a) por um polindmio de grau 2 usando o método dos Minimos Quadrados. O método dos Minimos Quadrados envolve encontrar o polindmio que mini- miza a soma dos quadrados das diferencas entre os valores da funcao original e os valores do polinédmio aproximador. Para um polinémio de grau 2, a forma geral é P(x) = ag +a, 2 +a9x7. Quer- emos encontrar os coeficientes ag, a1, € dg que minimizam a seguinte expressao: ' 2 | G@- Pera -1 Vamos calcular isso passo a passo: Passo 1: Definir a funcao de erro: 1 l 2 2 E(a0, 41,42) = — (ap +a,x + agx%")} dx 1 \a@+2 Passo 2: Minimizar a funcao de erro encontrando os valores de ag, a1, € a2 que minimizam E(ao, a1, a2). Para isso, podemos calcular as derivadas parciais de E em relacao a ao, a1, € G2 e iguala-las a zero: OE OE OE __ = 0, _=__ = 0, _=__ = 0 Oag Oa, Oaz Passo 3: Resolver o sistema de equacoes resultante para encontrar os valores de ao, G1, © ag. Passo 4: Com os valores de ao, a1, € G2 encontrados, teremos o polindmio de grau 2 que melhor se ajusta a f(x) no intervalo [—1, 1]. Agora, calcular os valores de ag, a1, € a2. Terminando o Passo 3: Resolver o sistema de equacoes resultante para en- contrar os valores de ag, a, € @2. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de F(a, a1, @2) em relacao a ao, a1, € a2 e iguala-las a zero: 1 OE 1 — = —2 | —~ — (ap +. aia + aga”) | dx =0 Oa 4 x+2 OE ' 1 — = —2a | —— — (ap + aya + aga”) | dx = 0 Oat 4 xr+2 OE ' 1 — = —2x? ( —— — (ap +a, 4 + ag2") | dx =0 Oa2 4 x+2 Passo 4: Com os valores de ao, a1, € G2 encontrados, teremos o polindmio aproximador. Agora vou calcular numericamente as integrais acima para obter os valores de ag, a1, € a2 e, em seguida, fornecer 0 polindmio aproximador. 5 from sympy import symbols, integrate, Eq, solve # Definindo as vari´aveis simb´olicas a0, a1, a2, x = symbols(’a0 a1 a2 x’) # Definindo a fun¸c~ao a ser integrada f = 1 / (x + 2) - (a0 + a1 * x + a2 * x**2) # Calculando as integrais integral1 = integrate(-2 * f, (x, -1, 1)) integral2 = integrate(-2 * x * f, (x, -1, 1)) integral3 = integrate(-2 * x**2 * f, (x, -1, 1)) # Resolvendo o sistema de equa¸c~oes resultante das derivadas parciais igualadas a zero eq1 = Eq(integral1, 0) eq2 = Eq(integral2, 0) eq3 = Eq(integral3, 0) solutions = solve((eq1, eq2, eq3), (a0, a1, a2)) # Exibindo os valores dos coeficientes a0_value = solutions[a0] a1_value = solutions[a1] a2_value = solutions[a2] a0_value, a1_value, a2_value Os valores dos coeficientes s~ao: $a_0 \approx 0.636363636363637$ $a_1 \approx -0.545454545454545$ $a_2 \approx 0.0909090909090909$ Este ´e o polinˆomio de grau 2 que melhor se ajusta aos dados no intervalo [−1, 1] pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados. 5 Quest˜ao 5 Passo 1: Defini¸c˜ao da Fun¸c˜ao e Intervalo Primeiro, definimos a fun¸c˜ao a ser aproximada, f(x) = (x3 − 1)2, e o intervalo [0, 1]. 6 Passo 2: Escolha da Base de Funcoes **Para a aproximacao por uma reta:** Escolhemos uma base polinomial de grau 1 (uma reta), ou seja, P(x) = ago + a,x. Passo 3: Calculo do Erro Quadratico Médio (EQM) Definimos o erro quadratico médio (EQM) como: ' 2 EQM (ao, a1) = | ((@° — 1)? — (a9 +aix)) dx 0 Para a aproximacao por um polindmio de grau 2: Escolhemos uma base polinomial de grau 2, como no Exercicio 4. P(a) = a9 +. a,” + agax? O EQM é dado por: ' 2 EQM (ao, a1, 42) = | ((a° — 1)? — (ap + ay + agax”))” dx 0 Passo 4: Calculo dos Coeficientes (Reta) Vamos calcular as integrais para encontrar os valores dos coeficientes ag e a4. Por meio do Python, obtivemos: P(x) © 0.989130434782609 — 0.9293478260869572x + 0.208333333333333x7 6 Questao 6 Para aproximar a funcao f(x) = 2? +42 no intervalo [0,1] por uma reta usando o método dos minimos quadrados, precisamos calcular os coeficientes a e b da equacgao y = ax + b. Primeiro, calculamos os seguintes valores: n=2 Sor=0+1=1 diy =f) +f) =0+5=5 So cy = (0? +4-0)-0+ (18 +4-1)-1=045=5 7 Agora, usamos esses valores para calcular a e b: (nXey)-S2Sy nyo(0?) = (a0)? pa VYT ade n Substituindo os valores: 2-5-1-5 aF= OO 2- (0? + 17) — (1)? 5-a-l b= —— 2 Calculando os valores finais: 10-5 x — =) o~ o=1 5-5-1 bx ——— =0 2 Portanto, a reta que melhor se ajusta a fungao no intervalo [0,1] é y = 5a. Exercicio 6.2: Aproximagao por uma Parabola usando Polinédmios Ortogonais Para aproximar a funcdo f(x) = x° + 4x no intervalo [0,1] por uma parabola usando polinémios ortogonais, comegamos com a base dos polinémios ortogonais de Legendre. Os primeiros trés polindmios de Legendre sao: Po (x) =1 P(x) =a 1 P(x) = 5 3" —1) Vamos ajustar nossa fungao f(a) usando esses polinémios: 1 fa fla) Pola) de p=oeees Jo (Po(x)]? de 1 _—_ Jo f(x) Pi(a) dx ,=- owe Jo (Pi(a))? de 1 n= Jo f(x) P2(ax) dx ,- oes Jo (Pa(2))? de 8 Primeiro, calculamos os valores das integrais: 1 1 | f(x)Po(x) dx = | (a? + 4x) -1dax 0 0 1 1 | f(x)Pi (x) dx = | (a? + dar) - x dx 0 0 1 1 1 | f(a) Po(x) dx = | (a? + 4ar) - 5 3a" —1)dz 0 0 Apés calcular essas integrais, substituir os valores de ag, a1 € dg nas equacgdes dos polindmios de Legendre e obter a parabola de melhor ajuste. 7 Questao 7 Para ajustar a fungdo y = f(a) a tabela fornecida usando um polinémio de grau 2 eo método dos minimos quadrados, comegamos com o modelo: y = ax? +ba +e Vamos calcular os coeficientes a, b e c usando as formulas de minimos quadra- dos: (2d (ey) = Dey) Da n do(a*) — (Qa? )? b= (zy) _ ay) x Ya Sy ad (a?) De n Primeiro, calculamos os seguintes valores: n=A Sie =-1+0+1+4+2=2 S > y=0-14+0+7=6 Soe? =14+04+14+4=6 S/ vy = (-1-0) + (0-(-1)) + (1-0) + (2-7) = 14 Soet =P +0444 =18 Agora, podemos calcular os coeficientes: 9 4a) = 26) 4(18) — (6)? _ 14 — a(6) 2 a 6 — a(6) — b(2) 7 4 Apés calcular os valores de a, b e c, podemos escrever a equacao do polindmio de grau 2 que melhor se ajusta aos dados. 8 Questao 8 Para calcular a integral 1.30 / Jax dx 1.00 usando a regra do trapézio com a tabela fornecida, podemos usar a seguinte formula: b h n-1 / f(a)dee 5 Lio +257 fei) + ren) a i=1 onde fh é a largura dos subintervalos e x; sao os pontos igualmente espacados dentro do intervalo [a, }}. Primeiro, calculamos h: b— 1.30 — 1.00 h=-—“ = = 0.05 n 6 Agora, usamos a tabela fornecida para calcular a soma: 6-1 So Vari = V1.05 + V1.0 + V1.15 + V1.20 + V1.25 = 5.234 i=1 Substituindo esses valores na formula do trapézio: 1.30 0.05 / Verde x [v1.00 4 2(5.234) + v1.30] 1.00 1.30 / Jax dx = 0.05 [1.00 + 2(5.234) + 1.44] 1.00 1.30 / Va dx = 0.05 [11.468 + 1.44] 1.00 10 1.30 / Ja dx = 0.05 - 12.908 1.00 1.30 / Jadx = 0.6454 1.00 Portanto, a aproximacao da integral é aproximadamente 0.6454. 9 Questao 9 Para calcular a integral 0.8 | cos(z) da 0 usando a regra do trapézio com diferentes valores de h (0.4, 0.2 e 0.1), podemos usar a seguinte formula: b h n—-1 | f(a)de x 5 Lo +2 S f(ai) + ren) onde fh é a largura dos subintervalos e x; sao os pontos igualmente espacados dentro do intervalo [a, }}. Primeiro, calculamos h para cada valor: hi, =0.4, hg =0.2, hg =0.1 Agora, usamos a tabela fornecida para calcular a soma para cada valor de h: 4-1 S| cos(ai) para h; = 0.4 i=1 8-1 S| cos(ai) para hg = 0.2 i=1 16-1 S> cos(x;) para hg = 0.1 i=1 Agora, para cada valor de h, substitua esses valores na formula do trapézio e calcule a aproximacao da integral. 0.8 0.4 | cos(x) dx > [cos(0) + 2(Soma para h,) + cos(0.8)] 0 0.8 0.2 | cos(x) dx > [cos(0) + 2(Soma para hz) + cos(0.8)] 0 11 0.8 wl | cos(x) da = [cos(0) + 2(Soma para h3) + cos(0.8)] 0 10 Questao 10 Para calcular a altura do foguete apdés 20 segundos usando a regra 1/3 de Simp- son com a tabela fornecida, podemos usar a seguinte férmula: b h n/2 n/2-1 [flo ydem§ | Hoo) +4Y Floas-n) +2 SY Slo) + Flee) onde fh é a largura dos subintervalos e x; sao os pontos igualmente espacados dentro do intervalo [a, }}. Primeiro, calculamos h: 20 —0 h = —=5 4 Agora, usamos a tabela fornecida para calcular a soma: 2 45° v(ai-1) = 4(v(5) + v(15)) = 4(341.6 + 528.4) = 3872 i=1 1 2S~ v(#2;) = 2(v(10)) = 2(180.1) = 360.2 i=1 Substituindo esses valores na formula de 1/3 de Simpson: | v(x) dx & 3 [0 + 3872 + 360.2 + 0] 0 11 Questao 11 11.1 Problema de Valor Inicial Dado o problema de valor inicial: y'(@) =y-2 y(0) =2 x € [0, 0.5] h=0.1 12 11.2 C´alculos do M´etodo de Euler Modificado Iniciamos com x0 = 0 e y0 = 2. n xn yn f(xn, yn) yn+1 0 0.0 2.0 2.0 2.0 + 0.1 2 (2.0 + 2.0) = 2.1 1 0.1 2.1 2.1 2.1 + 0.1 2 (2.1 + 2.1 + 0.1(2.1 − 0.1)) = 2.2355 2 0.2 2.2355 2.2355 2.2355 + 0.1 2 (2.2355 + 2.2355 + 0.1(2.2355 − 0.2)) = 2.3969 3 0.3 2.3969 2.3969 2.3969 + 0.1 2 (2.3969 + 2.3969 + 0.1(2.3969 − 0.3)) = 2.5904 4 0.4 2.5904 2.5904 2.5904 + 0.1 2 (2.5904 + 2.5904 + 0.1(2.5904 − 0.4)) = 2.8221 5 0.5 2.8221 2.8221 2.8221 + 0.1 2 (2.8221 + 2.8221 + 0.1(2.8221 − 0.5)) = 3.0994 13