Bioestatistica-Introducao-Conceitos-e-Exercicios

Introdução a Bioestatística Roteiro de aula Estatística é a ciência que tem por objetivo coletar dados tabular analisar e interpretar informações e delas extrair conclusões válidas para a tomar decisões Estatística descritiva ramo da estatística que aplica várias técnicas baseada na matemática para descrever e sumarizar um conjunto de dados Estatística inferencial aplica várias técnicas baseada na matemática a partir de uma amostra para tirar conclusões sobre uma população Bioestatística aplicação da estatística nos campos relacionados a Saúde Biologia Biotecnologia entre outros Populaçãoconjunto de quaisquer elementos valores pessoas objetos etc Amostra é um subconjunto de uma população Amostra aleatória os elementos da população são escolhidos de tal forma que cada um deles tenha igual chance de fazer parte da amostra Amostra Aleatória Simples de n elementos escolhese de maneira que toda a amostra de tamanho n possível tenha a mesma chance de ser escolhida Média aritmética variância e desvio padrão Ex 12 e 3 𝑁𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑁 3 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑛 3 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 Média 𝑋𝑖 3 𝑖1 𝑁 𝑋1𝑋2𝑋3 𝑁 123 3 2 População Média 𝑋𝑖 3 𝑖1 𝑛 𝑋1𝑋2𝑋3 𝑛 123 3 2 Amostra Variância média das distâncias de cada valor da série em relação à média do grupo Variância 𝑋𝑖22 3 𝑖1 𝑁 122222322 3 067 Desvio padrão 𝑋𝑖µ2 3 𝑖1 𝑁 067082 Notação Variância populacional 𝜎2 𝑋𝑖µ2 𝑁 𝑖1 𝑁 𝑋𝑖2 𝑁 𝑖1 𝑁 µ2 Variância Amostral 𝑆2 𝑋𝑖𝑋2 𝑛 𝑖1 𝑛1 𝑋𝑖 2 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 2 𝑛 𝑛 𝑖1 𝑛1 Desvio padrão raiz quadrada da variância Desvio Padrão Populacional 𝜎 𝑋𝑖µ2 𝑁 𝑖1 𝑁 𝑋𝑖 2 𝑁 𝑖1 𝑁 µ2 Desvio Padrão Amostral 𝑆 𝑋𝑖𝑋2 𝑛 𝑖1 𝑛1 𝑋𝑖 2 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 2 𝑛 𝑛 𝑖1 𝑛1 Exercício de interpretação 1 Interpretar os resultados da pressão arterial sistólica e diastólica de 2 de dois grupos de atletas A e B após uma mesma prova de esforço A médias 128 e variâncias 00050004 B médias 128 e variâncias 1708 1509 Exercício 2 Determinar o peso médio a variância e o desvio padrão de uma amostra aleatória de 10 recémnascidos em uma maternidade Pesos em quilogramas como mostrado a seguir 395 330 440 378 345 388 436 385 375 418 Média 𝑋𝑖 𝑁 𝑖 𝑛 𝑋1𝑋2𝑋3𝑋4𝑋5𝑋6𝑋7𝑋8𝑋9𝑋10 𝑛 395330440378345388436385375418 10 389 𝑆2 𝑋𝑖𝑋2 𝑛 𝑖1 𝑛1 𝑋𝑖 2 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 2 𝑛 𝑛 𝑖1 𝑛1 15246 38902 10 9 013 S 𝑋𝑖𝑋2 𝑛 𝑖1 𝑛1 𝑋𝑖 2 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 2 𝑛 𝑛 𝑖1 𝑛1 15246 38902 10 9 036 Usando o BioEstat Abrir BioEstat Planilha Dados inserir os dados por coluna usando o ponto no lugar da vírgulamarcar dados clicar em Estatísticas clicar em Estatística Descritiva clicar em Dados Quantitativos Abre quadro Seleção de amostra para estatísticas DescritivasColunas disponíveis 1 1 clicar em clicar em Executar Estatística abre quadro com as Estatísticas Editar Copiar resultados 1 Tamanho da amostra 10 Mínimo 33000 Máximo 44000 Amplitude Total 11000 Mediana 38650 Primeiro Quartil 25 37575 Terceiro Quartil 75 41225 Desvio Interquartílico 03650 Média Aritmética 38900 Variância 01271 Desvio Padrão 03565 Erro Padrão 01127 Coeficiente de Variação 916 Assimetria g1 01031 Curtose g2 05189 Média Harmônica 38601 N média harmônica 10 Média Geométrica 38751 N média geométrica 10 Variância geom 10037 Desvio Padrão geom 10970 Exercício 3 Dado o seguinte conjunto de tempos de reação em segundos de seis indivíduos a um estímulo 4 2 3 3 6 3 Calcular a média mediana moda a variância e o desvio padrão Estudo observacional verificamos e medimos características específicas não tentamos modificar os elementos a serem estudados Ex 1 Local da floresta onde os pássaros se alimentam Estação do ano Árvores Arbusto Chão Total Primavera 30 20 9 59 Outono 13 22 26 61 Total 43 42 35 120 Perguntas Dado que estamos na primavera qual a proporção dos que se alimentam no chão Dado que os pássaros se alimentam no arbusto qual a proporção na primavera Estudo experimental aplicamos determinado tratamento e passamos então a observar seus efeitos sobre a variável dos elementos a serem estudados Ex2 Comparação da eficácia de 4 variedades tratamentos de um medicamento A B C D 31 24 59 54 23 19 74 46 22 42 43 61 45 33 42 37 49 33 57 52 Perguntas Neste caso quais são as unidades amostrais Quais seriam algumas variáveis de interesse Tipos de variáveis Qualitativa classificação categorica Quantitativa númerica Nominal sexo estado civil tipo sanguíneo etc Discreta número de pessoas doentes número de filhos nºde pessoas que usam ortodôntico etc Ordinal nível de escolaridade intensidade do exercício físico estágio de uma doença etc Contínua peso de uma pessoa estatura idade etc Tabulação e gráficos Variável qualitativa Distribuição do sexo com relação ao habito de fumar Sexo Fumantes Não fumantes Exfumantes Total Masculino 60 60 40 40 50 50 150 50 Feminino 40 40 60 60 50 50 150 50 Total 100 100 100 300 Tipo de gráficos colunas barras e setores Perguntas Considerando o grupo Masculino qual o percentual de não fumantes Qual o percentual de fumantes do sexo Feminino Exercício 1 Construir gráficos para representar a tabela de dupla entrada acima Variável quantitativa discreta Nº de filhos por família em 25 domicílios de certa localidade Nº de Filhos Frequência ni fi 0 1 004 1 4 016 2 10 040 3 6 024 4 2 008 5 2 008 Total 25 100 Exercício 2 Construir o gráfico em barras Sugestão Use o Bioestat Nº de filhos por família em 25 domicílios de certa localidade 0 1 4 10 6 2 25 0 0 1 5 2 Nº de filhos por família em 25 domicílios de certa Nº de filhos por família 00 004 008 008 016 024 04 00 0 1 2 3 4 5 Variável quantitativa contínua Distribuição de frequência das alturas expressas em centímetros de 30 atletas do sexo masculino de uma Universidade Classecm xi ni fi Fi Ni Fi Fi 162 a 167 1645 4 013 13 4 013 13 167 a 172 1695 9 030 30 13 043 43 172 a 177 1745 8 027 27 21 070 70 177 a 182 1795 6 020 20 27 090 90 182 a 187 1855 3 010 10 30 100 100 Total 30 100 100 xi é o ponto médio da iésima classe é a média dos pontos extremos da classe n é quantidade total de observações ni é a quantidade de observações ou frequência da iésima classe que se supõe concentrada no respectivo ponto médio fi é a frequência relativa da classe obtida dividindose ni por n Ni é a frequência acumulada até a iésima classe e indica a quantidade de observações inferiores ao limite superior da classe é obtida somandose os valores das frequências observadas Fi é a frequência relativa acumulada obtida dividindose Ni pelo total de observações Histograma e polígono de frequência é um conjunto de retângulos com bases sobre um eixo dividido de acordo com os tamanhos de classe centros nos pontos médios Exercício 3 Construir o Histograma das alturas em centímetros 168 172 170 181 169 173 164 175 182 177 176 173 170 186 183 170 168 166 169 180 175 164 181 179 172 169 174 171 178 166 ordenar os dados Procedimento Calcular a amplitude total diferença entre o maior e o menor valor dividila pelo nº de classes neste caso escolher entre 5 e 10 classes o valor encontrado será o comprimento da classe o qual deverá ser somado ao limite inferior da série para construção da 1ª classe e assim por diante Então a 1ª classe se inicia no limite inferior até o valor encontrado após a soma acima exclusive Sugiro também a construção deste histograma pelo Bioestat clicar em gráficos e histograma Usando o BioEstat Abrir BioEstat Planilha Dados inserir os dados por colunamarcar dados clicar em Gráficos clicar em Histograma Seleção de amostras para gráfico Histograma colunas disponíveis1 clicar clicar em Executar Estatística os dados estão distribuídos em intervalos de classe Não Aparece um quadro Especificação das classes preencha e clique em confirmar Histograma aparece clicar em Editar Copiar metafile Polígono de frequência Medidas de posição associadas a variáveis quantitativas e gráfico Box Plot Percentis divide uma série de dados em 100 grupos 1 cada grupo Posição ordem do percentil K de ordem 𝐿 𝐾 100 𝑛 05 Ex 1 2 3 4 5 𝐾 50L 50 100 5 05 33º 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑃50 3𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 50 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑎í 𝑃25 175 𝑒 𝑃75 425 OBS 𝑃25 1º 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 𝑃50 2º 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑃75 3º 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 Limites de discrepância InferiorI e superiorS I𝑃25 15𝑃75 𝑃25 𝑆 𝑃75 15𝑃75 𝑃25 Valores discrepantes atípicos ou outliers podem ser ou não as observações 𝑃25 15𝑃75 𝑃25 𝐼 𝑃75 15𝑃75 𝑃25 𝑆 25 25 25 25 1ºQ mdµ 3ºQ Diagrama em caixas Box Plot para construir consideramos um retângulo em que estão representados a mediana e os quartis A partir do retângulo para cima segue uma linha até o ponto mais remoto que não exceda 𝑆 𝑃75 15𝑃75 𝑃25 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑒𝑝â𝑛𝑐𝑖𝑎 De modo similar da parte inferior do retângulo para baixo segue uma linha até o ponto mais remoto que não seja menor do que I𝑃25 15𝑃75 𝑃25 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑝â𝑛𝑐𝑖𝑎 As observações de discrepâncias que estiverem acima do limite superior ou abaixo do limite inferior serão chamadas pontos exteriores podem ser ou não chamados de valores discrepantes atípicos ou outliers O box plot dá uma ideia da posição dispersão assimetria caudas e dados discrepantes Ex 1 1 2 3 4 5 Abrir BioEstat Planilha Dados inserir os dados por colunamarcar dados clicar em Gráficos clicar em BoxPlot mediana e quartis ou média e desvios Seleção de amostras para gráfico BoxPlot colunas disponíveis1 clicar clicar em Executar Estatística Gráfico BoxPlot aparece clicar em Editar Copiar metafile Para revelar tendências centrais dispersão tipo de distribuição e a presença de outliers valores extremos Exercício 1 a Usando o Box Plot comparar a eficácia das 4 variedades tratamentos do Ex 2 b Calcular a variância entre médias MSR e a variância total MSE Calcula FMSRMSE Comentar Exercício 2 Refazer o Box Plot acima a usando como referência a média e o desvio padrão Assimetria 𝑥 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑥 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑥 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 assimétrica negativa simétrica assimétrica positiva Índice de assimetria de Pearson 𝐼 3𝑥 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑠 𝑆𝑒 𝐼 100 𝑜𝑢 𝐼 100 𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 Aproximadamente simétrica Exercício 3 Calcular o Índice de assimetria de Pearson dos dados do Exercício 4 abaixo Gráfico ramo e folhas Exercício 1 A ingestão diária média per capita em gramas de proteínas para 33 países desenvolvidos é 81 94 116 108 74 79 101 87 93 105 109 93 106 103 100 93 100 78 101 101 95 90 94 90 91 92 100 87 89 90 89 86 85 Solução Para fazer o ramo e folhas começamos com uma linha vertical ou horizontal com a seguinte escala Dividese cada valor por 10 10 gramas por classe a partir de 74g O ramo será a parte inteira e as folhas a fracionária Boxplot abrir planilha clicar em gráficos caule e folhas marcar Unidade 2 linhas e exibir diagrama CAULE FOLHA Escores 33 1 7 4 2 7 8 9 1 8 1 6 8 5 6 7 7 9 9 10 9 0 0 0 1 2 3 3 3 4 4 1 9 5 7 10 0 0 0 1 1 1 3 4 10 5 6 8 9 0 11 1 11 6 Exercício 2 Construir o box plot e a representação Ramo e Folhas para o experimento abaixo Suponhamos um experimento para decidir sobre a eficácia de 2 tipos de medicamento A e B em relação a taxa de hemoglobina padronizadaCada um aplicado a 18 e 21 pacientes respectivamente Adubo A Adubo B 45 60 54 57 55 58 62 55 70 50 52 59 38 48 64 59 55 56 55 56 55 61 52 53 54 59 48 57 57 50 65 55 60 55 58 54 59 51 56 Somatório Mostrar 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 Aplicar X 3414332 é o número de brotos por cepa de eucalipto Y 101 111 107 131 145 135 125 é a altura das cepas 31014111 2125 6550 34 32 101111 135 125208550655 Coeficiente de variação CV expresso em porcentagem para descrever o desvio padrão em relação a média permite comparar a variabilidade de conjunto de dados com diferentes unidades de medida 𝑠 𝑥 100 ou 𝜎 µ 100 Exercício 1 QIs de 2 escolas A 45 62 38 55 54 65𝑥 5317 𝑒 𝑠 930 𝐶𝑉 017 e B 57 50 59 61 57 55𝑥 5650 𝑒 𝑠 345 𝐶𝑉 006 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜 𝐸𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎 𝐵 𝑚é𝑑𝑖𝑎 é 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑒𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙 Exercício 2 Em cinco testes de resistência uma pessoa obteve 𝑥 632 𝑒 𝑠 31 Outra pessoa teve 𝑥 785 𝑒 𝑠 55 Qual dos dois é mais consistente Coeficiente de Correlação variável quantitativa Introdução Existem situações nas quais há interesse em estudar o comportamento conjunto de uma ou mais variáveis Em muitos casos a explicação de um fenômeno de interesse pode estar associada a outros fatores variáveis que contribuem de algum modo para a ocorrência deste fenômeno O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio do gráfico de dispersão Tipo de correlação negativa nula e positiva r é o coeficiente de correlação de Pearson 𝟏 𝒓 𝟏 Diagramas de dispersão Perfeita negativa r1 Correlação nula r0 Perfeita positiva r1 Exemplo X1 2 3 4 5 Y1 2 4 5 8 Quadro de cálculo r 𝑥𝑦𝑥 𝑦 𝑛 𝑥2𝑥2 𝑛 𝑦2𝑦2 𝑛 7715𝑥20 5 55152 5 110202 5 098 X Y 𝑥2 𝑦2 xy 1 1 1 1 1 2 2 4 4 4 3 4 9 16 12 4 5 16 25 20 5 8 25 64 40 Total 20 55 110 77 Usando o BioEstat Abrir BioEstat Planilha Dados inserir os dados por coluna Coluna da esquerda Y e Coluna da direita X sempre marcar as colunas clicar em Estatísticas clicar em Correlação Clicar em coef De Correlação de Pearson Abre quadro Seleção de amostras para Teste de Correlação Linear clicar em clicar em Executar Estatística Abre quadro Teste de Correlação linear clicar em Editar Copiar Resultados Colunas 1 e 2 n pares 5 r Pearson 09815 IC 95 074 a 100 IC 99 047 a 100 R2 09633 t 88780 GL 3 p 00030 Poder 005 09515 Poder 001 08361 Continuando Clicar em Gráfico abre quadro Editar Copiar metafile Diagrama de dispersão Exercício 1 Calcular o coeficiente de correlação de Pearson IdadeX Escore de Gesell Y 15 95 26 71 10 83 9 91 15 102 20 87 18 93 11 100 8 104 20 94 7 113 9 96 10 83 11 84 11 102 10 100 12 105 42 57 17 121 11 86 10 100 Teste de Gessell Instrumento de avaliação do desenvolvimento infantil a medida que aumenta a idade diminui a falta de habilidade mental r 𝑥𝑦𝑥 𝑦 𝑛 𝑥2𝑥2 𝑛 𝑦2𝑦2 𝑛 26864302𝑥1967 21 56063022 21 18815519672 𝑛 064 Mede a grau de associação entre as duas variáveis Coeficiente de determinação 𝑟2 0642 041 ou 41 Em percentual especifica o quanto X explica da variação de Y Exercício 2 Elaborar o diagrama de dispersão calcular r e 𝑟2 Interpretar os resultados Pressão sistólica PS e idade de 15 participantes de pesquisa Idade PS 39 144 47 220 45 138 47 145 65 162 46 142 67 170 42 124 67 158 56 154 64 162 56 150 59 140 34 110 42 128 Exercício 3 Abaixo é apresentado um quadro que associa o número de vistos concedidos por vinte países no ano de 2011 e a entrada de turistas nestes países Elaborar o diagrama de dispersão calcular r e 𝑟2 Interpretar os resultados Número de vistos concedidos em milhões Entradas no País em milhões 575 95 525 85 200 20 455 71 360 52 350 50 125 5 425 65 150 10 500 80 300 400 125 5 260 32 290 38 350 50 575 95 475 75 375 55 600 100 225 25 Coeficiente de contingência variável qualitativa Em estatística quando estudamos medidas de associação para variáveis qualitativas podemos associar variáveis com o objetivo de saber se existe um relacionamento entre suas características Esse estudo chamado de Análise Bidimensional Ex Sintomasgrau de ansiedade Sexo Sintomas Masculino Feminino Total Sim 𝑂1150 𝐸11 50 𝑂1250 100 Não 𝑂2150 𝑂2250 100 Total 100 100 200 𝑙 2 𝑐 2 𝑂𝑖𝑗 frequência observada Ex 𝑂1150 𝐸𝑖𝑗 frequência esperada calculada na hipótese de independência entre as variáveis 𝑖 12 𝑙 𝑗 12 𝑐 𝑛 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 Então 𝐸𝑖𝑗 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑗 𝑛 𝐸11 100100 200 50 OBS A frequência esperada na hipótese de independência no Ex acima é igual a frequência observada Conclusão sobre as variáveis Para medir o grau de dependência usaremos o Coeficiente de Contingência 𝐶 de Pearson 𝐶 𝜒2 𝜒2𝑛 onde n é o tamanho de observações da amostra 𝐶 é um número entre 0 e 1 0 𝐶 1 Se próximo de zero decidimos pela independência das variáveis 𝜒2é 𝑜 𝑄𝑢𝑖 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝜒2 𝑂𝑖𝑗 𝐸𝑖𝑗 2 𝐸𝑖𝑗 𝑙 11 𝑐 𝑗1 𝑂𝑖𝑗 𝐸𝑖𝑗 2é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 Coeficiente de contingência corrigido 𝐶 𝐶 𝑡1 𝑡 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑡 é 𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙 𝑒 𝑐 Para o Exemplo acima temos 𝜒2 𝑂11 𝐸112 𝐸11 𝑂12 𝐸122 𝐸12 𝑂21 𝐸212 𝐸21 𝑂22 𝐸222 𝐸22 0 𝜒2 50 502 50 50 502 50 50 502 50 50 502 50 0 𝐶 𝜒2 𝜒2 𝑛 0 0 200 0 Conclusão As variáveis são independentes ou seja o grau de ansiedade não depende do sexo Exercício 1 Calcule e interprete o coeficiente de contingência 𝐶 em relação ao peso e o sexo de 600 pessoas que praticam atividade física Os dados estão no quadro abaixo 𝐸11 170 300 600 85 𝐸12 170 300 600 85 𝐸21 250 300 600 𝐸22 250 300 600 125 𝐸31 180 300 600 90 𝐸32 90 𝜒2 80 852 85 90 852 85 120 1252 125 130 1252 125 100 902 90 80 902 90 320 𝐶 320 320 600 007 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 O peso das pessoas que praticam atividade física não depende do sexo Usando o BioEstat Abrir BioEstat Planilha Dados inserir os dados por coluna sempre marcar as colunas clicar em Estatísticas clicar em Correlação Clicar em coef de Contingência C Abre quadro Seleção de amostras para Teste de Contingência C clicar em clicar em Executar estatística Abre quadro Teste de Contingência C clicar em Editar Copiar Resultados Resultados 80 120 100 90 130 80 Peso Feminino Masculino Total Acima 80 85 90 85 170 Normal 120 125 130 125 250 Abaixo 100 90 80 90 180 Total 300 300 600 Resultados Tabela de Contingência 3 x 2 Quiquadrado 32105 Coef de Contingência C 00730 Graus de liberdade 2 p 02008 Exercício 2 Foi feito um estudo multicêntrico para testar o efeito de um anti hipertensivo sobre a probabilidade de derrame recorrente Um pesquisador suspeita de que os tratamentos coadjuvantes diferentes ministrados nos diversos centros embora permitidos no protocolo podem ter efeito sobre o risco de derrame recorrente Calcule e interprete o coeficiente de contingência 𝐶 Os dados estão apresentados no quadro abaixo Exercício 3 Calcule e interprete o coeficiente de contingência 𝐶 em relação ao sexo e o hábito de fumar Os dados estão apresentados no quadro abaixo Sexo Fumantes Não fumantes Exfumantes Total Masculino 60 40 50 150 Feminino 40 60 50 150 Total 100 100 100 300 Derrame recorrente Centro Sim Não Total A 16 179 195 B 12 70 82 C 21 78 99 D 12 54 66 Total 61 381 442 Exercício 4 Distribuição de portadores de prótese dupla segundo o grupo de renda em salários mínimos SM e disfunção craniomandibular Grupo de renda Nula Leve Moderada e severa Menos de 5 SM 19 21 10 DE 5 a 10 SM 21 24 5 Mais de 10 SM 25 21 2 Caso𝜒2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝜒2 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 949 𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 Calcule e compare com o coeficiente 𝐶 Alguns conceitos de probabilidade Experimento Aleatório apresenta mais de um resultado possível EX 1 O nº de pessoas diagnosticados positivamente em um município após o teste de Covid19 RTPCR seleção pex de 10 funcionários EX 2 O nº de pacientes atendidos na emergência de um centro de traumatologia máx de 24 pacientes EX 3 As espécies de aves que são capturadas numa rede de uma floresta nativa EX 4 Face voltada para cima no lançamento de uma moeda 3 vezes Espaço amostral S conjunto dos resultados possíveis de um experimento aleatório EX 1 S0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Disfunção craniomandibular EX4Scacaca cacaco cacoca cocaca cacoco cocaco cococa cococo cacara cocoroa Evento AB subconjunto de um espaço amostral EX 1 A259 EX 2 B 010 23 Obs se o resultado é um elemento de A dizemos que o evento A ocorre Eventos mutuamente exclusivos ou excludentes não podem ocorrer mesmo tempo OBS 1 Complementar de A𝐴 PProbabilidade Uunião interseção Eventos independentes a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro Ex Jogase uma moeda 2 vezes O fato de ocorrer cara no primeiro lançamento não afeta a probabilidade de ocorrer cara no segundo lançamento continua a mesma probabilidade A e B são complementares se PA PB PS 1 Conceito de probabilidade é um nº P 0 1 associado a ocorrência de um evento i 0 PA 1 ii PS 1 iii Se A e B são eventos mutuamente exclusivos ou excludentes isto é ABɸ então PAUB PA PB Obtenção da probabilidade Conceito clássico PA 𝑁º 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐴 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟 𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑆 EX jogase uma moeda equilibrada definese Acaradaí ScaracoroaPA 1 2 Conceito frequência ou empírico PA 𝑁º 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑛º 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑟𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 Considerando o EX acima jogase a moeda várias vezes e observase o nº de caras daí PA 𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑛º 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑖 𝑗𝑜𝑔𝑎𝑑𝑎 Lei dos grandes números se repetimos um experimento um grande nº de vezes a probabilidade pela frequência relativa conceito frequência de um evento tende para a probabilidade teórica conceito clássico Ex 1 Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser atingida por um raio este ano na região R Solução O espaço amostral consiste nestes dois eventos simples A pessoa escolhida é atingida A ou não B Estes eventos não são igualmente prováveis Porém sabemos que em um ano recente 10 pessoas foram atingidas por um raio nesta região Considerando que a população da região é de 150000 pessoas temos que PA 10 150000 000006666 conceito frequencial ou empírico Ex 2 Em um teste uma questão típica de múltipla escolha tem 5 respostas possíveis Respondendo à questão aleatoriamente qual é a probabilidade de sua resposta estar errada S a b c d f então Presposta errada 4 5 conceito clássico Exercício 1 Uma companhia de seguros estudou as causas de morte por acidente doméstico e compilou um arquivo que consistia em 160 mortes causadas por quedas 120 mortes causadas por envenenamento e 70 causadas por fogo e queimaduras Selecione aleatoriamente um desses casos qual é a probabilidade de que a morte tenha sido causada por envenenamento Exercício 2 Determine a probabilidade de que um casal com três filhos tenha exatamente 2 meninos Suponha que as probabilidades de menino e menina sejam as mesmas e que o sexo de uma criança não seja influenciado pelo sexo de qualquer outra Exercício 3 Ao escolher entre diversos fornecedores de equipamentos biomédicos um comprador deseja saber a probabilidade de um equipamento falhar durante os dois primeiros anos Qual conceito você usaria para obter esta probabilidade Explique Exercício 4 Em uma pesquisa entre pessoas de um município que tomaram a 1ª a dose da vacina contra a covid 19 1162 afirmaram que tiveram sintomas enquanto 2648 afirmaram que não tiveram Selecionada aleatoriamente uma dessas pessoas determine a probabilidade de ele ou ela ter tido sintomas Exercício 5 Uma pesquisa originou os dados amostrais do quadro a seguir Escovadas por dia Número 1 2 3 228 672 240 Selecionado aleatoriamente um dos entrevistados qual a probabilidade de obter alguém que escove os dentes três vezes por dia conforme recomendam os dentistas Exercício 6 Um casal planeja ter 3 filhos a Relacione os 8 resultados distintos possíveis de acordo com o sexo de cada criança Suponha que estes resultados sejam igualmente prováveis b Determine a probabilidade de serem todas meninas c Determine a probabilidade de haver ao menos uma criança de cada sexo d Determine a probabilidade de exatamente 2 crianças de cada sexo Exercício 7 Ambos os pais têm o par de genes castanhoazul da cor dos olhos e cada um deles contribui com um gene para um filho Suponha que se o filho tem ao menos um gene castanho essa cor dominara e os olhos serão castanhos a Relacione os diferentes resultados possíveis supondoos igualmente prováveis b Qual a probabilidade de o filho ter olhos castanhos Exercício 8 Admitindo que a probabilidade de uma criança ser menino H é 050 Determinar a probabilidade de uma família de seis filhos ter a Ao menos um H b Ao menos um Mulher M Regra da Adição P A ou B P ocorrência de A ou B ou ambos PAUB PAPB PAB PAB PA PB Ss Definição Os eventos A e B dizemse mutuamente excludentes ou exclusivos se não podem ocorrer simultaneamente PAUB PAPB PA PB AA Exercício 1 Se um dos 2072 indivíduos do quadro abaixo é escolhido aleatoriamente Teste de Seldane Sintoma Seldane Placebo Grupo de controle Total Dor de cabeça 49 49 24 122 Nãodor de cabeça 732 616 602 1950 Total 781 665 626 2072 Determine as seguintes probabilidades a De ser obter alguém que fez uso de um placebo ou estava no grupo de controle P placebo ou controle 665 2072 626 2072 1291 2072 0623 b De ser obter alguém que fez uso de um placebo e estava no grupo de controle PPlacebo e controle 0 2072 0 c De ser obter alguém que tenha usado seldane ou estava no grupo de controle Pseldane U grupo de controle PseldaneAPgrupo de controleB PsedaneA grupo de controleB PAUB PAPB 781 2072 626 2072 781626 2072 1407 2072 0679 Exercício 1 a De ser obter alguém que tenha usado Seldane ou que não teve dor de cabeça b Dado que o indivíduo usou Seldane qual a probabilidade de ter tido dor de cabeça httpswwwpasseidiretocomarquivo29450357estatisticaaplicadaao turismo Probabilidade condicional A BBB B PAB 𝑃𝐴B 𝑃𝐵0 Ex 1Teste de Seldane Sintoma Seldane B Placebo C Grupo de controle Total Dor de cabeça A 49 49 24 122 Nãodor de cabeça 732 616 602 1950 Total 781 665 626 2072 Calcular a PAUBPAPB PAB 122 2072 781 2072 49 2072 854 2072 0412 𝑜𝑢 412 PAB 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐵 49 781 0063 PCA 𝑃𝐶𝐴 𝑃𝐴 49 2072 122 2072 49 122 Exercício 1 Um grupo de pessoas foi classificado quanto a peso e pressão arterial de acordo com as proporções do quadro a seguir PressãoPeso Excesso C Normal D Deficiente E Total Alta A 100 8 2 110 Normal B 150 54 20 224 Total 250 62 22 334 a Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta A dado que tem peso Normal D b Se se verifica que a pessoa escolhida tem excesso de peso C qual a probabilidade de ela ter também pressão alta A c Calcular PEB PCB PEA Eventos independentes Sejam A e B eventos de S Intuitivamente A e B são independentes daí 𝑃𝐴𝐵 𝑃AB 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐴 B 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐵𝐴 𝑃BA 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐵 A 𝑃𝐵 𝑃𝐴 Exercício 1 Uma família deseja ter 2 filhos A probabilidade de nascer Homem ou Mulher em cada nascimento é igual 1 2 Qual a probabilidade de nascer Homem no segundo nascimento dado que nasceu mulher no primeiro Então temos os eventos Mnasceu mulher no primeiro nascimento H nascer homem no segundo nascimento 𝑃𝐻 1 2 𝑒 𝑃𝑀 1 2 𝑃𝐻𝑀 𝑃HM 𝑃𝑀 𝑃𝐻 1 2 𝑃H M 𝑃𝐻 𝑃𝑀 1 2 x 1 2 1 4 Exercício 2 Sejam A e B eventos tais que PA02 PBp e PAUB 06 Calcular p considerando A e B a Mutuamente exclusivos PAUB PA PB 06 02 p p 04 b Independentes PAUB PA PB PAPB 06 02 p 02p P05 Exercício 3 Uma empresa de consultoria participa de duas concorrências para realizar estudos para a produção de vacinas A probabilidade de vencer a primeira concorrência é de 50 e de vencer a segunda é de 70 enquanto que a probabilidade de vencer ambas concorrências é 40 A vence a 1ª concorrência Bvence a 2ª concorrência Cvence ambas as concorrências Qual a probabilidade de vencer a segunda concorrência dado que ela venceu a primeira PBA 𝑃BA 𝑃𝐴 𝑃𝐶 𝑃𝐴 04 05 08 OBS A e B são eventos independentes se PAB PA PB Exercício 4 Verifique a associação dos eventos CEGO C e SURDO S de acordo com as probabilidades do quadro abaixo CEGOSURDO 𝑆 𝑆 Toial 𝐶 00004 00796 00800 𝐶 00046 09154 09200 Total 00050 09950 10000 Calcule PSC PCS e conclua Teorema de Bayes Partição de um espaço amostral S i1234 se AiAjǾ B é um evento arbitrário A4 B B A1B U A2B U A3B U A4B PB PA1B P A2B PA3B PA4B PBA1 𝑃𝐴1𝐵 𝑃𝐴1 PA1BPA1PBA1 PA2BPA2PBA2 PA3BPA3PBA3 PA4BPA4PBA4 PB PA1PBA1 PA2PBA2 PA3PBA3 PA4PBA4 PA1B 𝑃𝐴1𝐵 𝑃𝐵 PA1PBA1 PAiPBAi 4 𝑖1 Sejam A1 A2An eventos que formam uma partição de S Seja B contido em S Sejam conhecidas PAi e PBAi i1n Então 𝑃𝐴𝑗𝐵 𝑃𝐴𝑗𝑃𝐵𝐴𝑗 𝑃𝐴 𝑛 𝑖1 𝑖𝑃𝐵𝐴𝑖 j1n Exercício 1 Em uma indústria farmacêutica 3 laboratórios L1 L2 e L3 produzem 30 45 e 25 dos medicamentos respectivamente Sabese por experiências anteriores que 2 3 e 2 dos A1 A3 A2 medicamentos feitos por cada laboratório estão respectivamente fora das especificações Suponha que um medicamento já acabado seja selecionado aleatoriamente a Qual é a probabilidade de que tal medicamento esteja fora da especificação b Qual a probabilidade de que tenha sido produzido pelo laboratório L1 dado que está fora da especificação BFEo medicamento está fora da especificação A1L1 o medicamento é proveniente do laboratório 1 A2L2 idem laboratório 2 A3 L3 idem laboratório 3 FE FE L1FE U L2FE U L3FE PFE PL1FE P L2FE PL3FE PFEL1 𝑃𝐿1𝐹𝐸 𝑃𝐿1 PL1FEPL1PFEL1 PFEL2 𝑃𝐿2𝐹𝐸 𝑃𝐿2 PL2FEPL2PFEL2 PFEL3 𝑃𝐿3𝐹𝐸 𝑃𝐿3 PL3FEPL3PFEL3 PFE PL1 PFEL1 PL2 PFEL2 PL3 PFEL3 a PFE 030 x 002 045 x 003 025 x 002 002450 b PL1FE 𝑃L1FE 𝑃𝐹𝐸 030 002 002450 024490 L1 L2 L3 Exercício 2 Suponha um teste para Covid em que 95 dos que têm reagem positivamente enquanto 3 dos que não têm reagem positivamente Suponha ainda que 2 dos hospedes de um hotel tenham Covid Qual a probabilidade de um doente escolhido ao acaso e que reaja positivamente ao teste ter de fato o mal Reagem Ter o mal 𝐶 𝐶 095 003 005 097 TESTE POSITIVO 𝑃 𝑃 CU P 𝐶 𝑃𝐶𝑃𝐶 P 𝐶 𝑃 𝐶 002 095 098 003 0048 𝑃𝐶 𝑃𝐶 𝑃 0019 0048 0396 Exercício 3 Em uma localidade 8 dos adultos de mais de 50 anos têm diabetes Se um médico local diagnostica corretamente 95 das pessoas que tem a doença e diagnostica erroneamente 2 dos que não a têm qual a probabilidade de um adulto de mais de 50 anos diagnosticado como portador da doença ter de fato o mal 𝑐 𝑐 Variável aleatória X É uma função que associa a cada elemento de um espaço amostral um número real EX1 Escolhese aleatoriamente três nascituros em uma maternidade verificação da ocorrência do sexo Então S 𝑀𝑀𝑀 𝑀𝑀𝐹 𝑀𝐹𝑀 𝐹𝑀𝑀 𝑀𝐹𝐹 𝐹𝑀𝐹 𝐹𝐹𝑀 𝐹𝐹𝐹 Seja X o número o número de homens 𝑋𝑀𝑀𝑀 3 𝑋𝑀𝑀𝐹 2 𝑋𝑀𝐹𝑀 2 𝑋𝐹𝑀𝑀 2 𝑋𝑀𝐹𝐹 1 𝑋𝐹𝑀𝐹 1 𝑋𝐹𝐹𝑀 1 𝑋𝐹𝐹𝐹 0 Distribuição de probabilidade de X X 𝑋2 PX 0 0 18 1 1 38 2 4 38 3 9 18 Total 1 p12 n3 EX 𝑋 𝑃𝑋 018 138 238 31815 VX E𝑋2 𝐸𝑋 2 018 138 1238 918 152 075 APP Probability Distributions Distribuição Binomial Variável Aleatória Discreta e o Modelo Probabilístico Normal Distribuição Contínua Definições 1 Variável Aleatória VA Seja E um experimento e S o conjunto de todos os resultados possíveis associados ao experimento Uma função X que associe a cada elemento sS um número real Xs é denominada variável aleatória Ex Considere o experimento de se jogar uma moeda duas vezes Consideremos o espaço S abaixo associado a este experimento Scaracara caracoroa coroacara coroacoroa Seja X a va que representa o número de caras Daí Xcaracara2XcaracoroaXcoroacara1Xcoroacoroa0 caracara 2 caracoroa 1 coroacara 0 coroacoroa DomínioS R x 2 Variável Aleatória Discreta e Contínua Seja X uma variável aleatória Se o número de valores possíveis de X contradomínioR x for finito ou infinito numerável denominamos X de variável aleatória discreta Suponhase que o contradomínio de X seja um intervalo isto é X possa tomar todos os valores possíveis no intervalo então diremos que X é uma variável aleatória contínua Associadas as variáveis aleatórias temos as suas funções de probabilidades 3Distribuição Binomial Distribuição Discreta As probabilidades são constantes e independentes na repetição da experiência aleatória Considere o evento do EX1 acima 𝑋𝑀𝑀𝐹 2 𝑋𝑀𝐹𝑀 2 𝑋𝐹𝑀𝑀 2 PX2 𝐶3 2 1 2 2 1 1 2 32 38 VX np1p 1pq PXx 𝐶𝑛𝑥𝑝𝑥1 𝑝𝑛𝑥 X 01 n Exercício 1 a Em um hospital 70 dos profissionais de saúde estão com suspeita da covid19 Selecionase uma amostra de 8oito profissionais Elaborar a distribuição de probabilidade Calcular o valor esperado variância e desvio padrão PX0 𝐶8 0 07001 07080 000007 PX1 𝐶8 1 07011 07081 00012 Na tabela n8 p07 x1 Na APP n p x pXx 8 07 1 000122 Valor esperado EX np 8x07056 Variância VX np1p8 070x030 168 b Em uma amostra de 10 profissionais de saúde qual é a probabilidade de que pelo menos 3 profissionais estejam com suspeita da doença Exercício 2 De acordo com uma pesquisa um de cada quatro profissionais de saúde de um hospital são hipertensivos Considere uma amostra de 20 profissionais a Calcule a probabilidade de que exatamente quatro sejam hipertensivos 𝑝 1 4 025𝑃𝑋 4 𝐶20 4 02541 025204 𝐶20 4 025407516 018969 1897 APP n p X pXx b Calcule a probabilidade de que pelo menos dois profissionais sejam hipertensivos 𝑃𝑋 2 c Se descobrisse que exatamente 12 dos profissionais sejam hipertensivos você duvidaria da exatidão dos resultados desse estudo d Calcule o número esperado de profissionais hipertensivos do hospital 𝐸𝑋 𝑛𝑝 20 025 5 Exercício 3 A probabilidade de um menino ser daltônico é de 8 Qual é a probabilidade de serem daltônicos todos os 4 meninos que se apresentam em determinado dia para um exame oftalmológico Exercício 4 Um exame é constituído de dez testes tipo certoerrado Quantos testes acerta em média um aluno que nada sabe sobre a matéria do exame Exercício 5 Suponha que determinado medicamento usado para o diagnóstico precoce da gravidez é capaz de confirmar casos positivos 20 025 4 018969 em apenas 90 das gestantes muito jovens Isto porque em 10 das gestantes muito jovens ocorre uma escamação do epitélio do útero que é confundida com a menstruação Nestas condições qual é a probabilidade de 2 de 3 gestantes muito jovens que fizeram uso desse medicamento não terem confirmado precocemente a gravidez 4 O Modelo Normal Seja X uma variável aleatória contínua A função densidade de probabilidade fdp é uma função f que satisfaz às seguintes condições fx 0 x R x RX f x dx 1 Além disso definimos para qualquer cd em R x Pc X d d c f x dx onde P representa a probabilidade de X está compreendida no intervalo cd Definição A variável aleatória X que tome todos os valores reais x com parâmetros e 2 0 tem uma distribuição normal ou gaussiana se sua fdp é dada por x f x e x 2 1 2 2 2 fX b Gráfico X c Momentos Podese demonstrar que EX VX 2 fx quando x e são os pontos de inflexão de fx x é o valor para o qual ocorre o máximo da função isto é fx 2 1 fx é simétrica em torno de isto é f f x x 9973 3 9545 2 6827 3 0 4 3 curtose Coeficientedemomentodeassimetria 2 0 7979 Desviomedio A área total limitada pela curva e pelo eixo dos x é igual a 1 portanto a área sob a curva compreendida entre as duas coordenadas Xa e Xb em que ab representa a probabilidade de X estar situado entre a e b representada por PaXb Se X tem distribuição normal média e variância 2 escrevemos X N 2 Quando 0 e 2 1 temos uma normal padrão ou reduzida e escrevemos N01 Se X N 2 então a va Z X terá uma distribuição N01 Aplicando o operador Eesperança matemática à variável Z temos xf x dx E X EZE X E E X 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 2 E X E X E Z isto é Z tem média 0 e variância 1provase também a normalidade 41 Tabulação da Distribuição Normal X N 2 PaXb dx e x b a 2 2 2 2 1 A integral não pode ser calculada exatamente e a probabilidade acima é obtida aproximadamente por métodos numéricos No entanto para cada valor de e cada valor de teríamos que obter PaXb para diversos valores de a e b Isto pode ser contornado reduzindo a variável X nos moldes de Z gerando desta forma a tabela para a distribuição normal padrão N01 a saber PaXb a b b Z P a b X P a onde representa a Função de Distribuiçãofdp da curva normal reduzida isto é 2 1 2 2 z P Z dx e z z z 1 x x z TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO z s ds e z z P Z 2 2 2 1 Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 29 0 0 0 1 9 0 0 0 1 8 0 0 0 1 7 0 0 0 1 7 0 0 0 1 6 0 0 0 1 6 0 0 0 1 5 0 0 0 1 5 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 28 0 0 0 2 6 0 0 0 2 5 0 0 0 2 4 0 0 0 2 3 0 0 0 2 3 0 0 0 2 2 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 9 27 0 0 0 3 5 0 0 0 3 4 0 0 0 3 3 0 0 0 3 2 0 0 0 3 1 0 0 0 3 0 0 0 0 2 9 0 0 0 2 8 0 0 0 2 7 0 0 0 2 6 26 0 0 0 4 7 0 0 0 4 5 0 0 0 4 4 0 0 0 4 3 0 0 0 4 1 0 0 0 4 0 0 0 0 3 9 0 0 0 3 8 0 0 0 3 7 0 0 0 3 6 25 0 0 0 6 2 0 0 0 6 0 0 0 0 5 9 0 0 0 5 7 0 0 0 5 5 0 0 0 5 4 0 0 0 5 2 0 0 0 5 1 0 0 0 4 9 0 0 0 4 8 24 0 0 0 8 2 0 0 0 8 0 0 0 0 7 8 0 0 0 7 5 0 0 0 7 3 0 0 0 7 1 0 0 0 6 9 0 0 0 6 8 0 0 0 6 6 0 0 0 6 4 23 0 0 1 0 7 0 0 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 0 9 9 0 0 0 9 6 0 0 0 9 4 0 0 0 9 1 0 0 0 8 9 0 0 0 8 7 0 0 0 8 4 22 0 0 1 3 9 0 0 1 3 6 0 0 1 3 2 0 0 1 2 9 0 0 1 2 6 0 0 1 2 2 0 0 1 1 9 0 0 1 1 6 0 0 1 1 3 0 0 1 1 0 21 0 0 1 7 9 0 0 1 7 4 0 0 1 7 0 0 0 1 6 6 0 0 1 6 2 0 0 1 5 8 0 0 1 5 4 0 0 1 5 0 0 0 1 4 6 0 0 1 4 3 20 0 0 2 2 8 0 0 2 2 2 0 0 2 1 7 0 0 2 1 2 0 0 2 0 7 0 0 2 0 2 0 0 1 9 7 0 0 1 9 2 0 0 1 8 8 0 0 1 8 3 19 0 0 2 8 7 0 0 2 8 1 0 0 2 7 4 0 0 2 6 8 0 0 2 6 2 0 0 2 5 6 0 0 2 5 0 0 0 2 4 4 0 0 2 3 8 0 0 2 3 3 18 0 0 3 5 9 0 0 3 5 2 0 0 3 4 4 0 0 3 3 6 0 0 3 2 9 0 0 3 2 2 0 0 3 1 4 0 0 3 0 7 0 0 3 0 0 0 0 2 9 4 17 0 0 4 4 6 0 0 4 3 6 0 0 4 2 7 0 0 4 1 8 0 0 4 0 9 0 0 4 0 1 0 0 3 9 2 0 0 3 8 4 0 0 3 7 5 0 0 3 6 7 16 0 0 5 4 8 0 0 5 3 7 0 0 5 2 6 0 0 5 1 6 0 0 5 0 5 0 0 4 9 5 0 0 4 8 5 0 0 4 7 5 0 0 4 6 5 0 0 4 5 5 15 0 0 6 6 8 0 0 6 5 5 0 0 6 4 3 0 0 6 3 0 0 0 6 1 8 0 0 6 0 6 0 0 5 9 4 0 0 5 8 2 0 0 5 7 0 0 0 5 5 9 14 0 0 8 0 8 0 0 7 9 3 0 0 7 7 8 0 0 7 6 4 0 0 7 4 9 0 0 7 3 5 0 0 7 2 2 0 0 7 0 8 0 0 6 9 4 0 0 6 8 1 13 0 0 9 6 8 0 0 9 5 1 0 0 9 3 4 0 0 9 1 8 0 0 9 0 1 0 0 8 8 5 0 0 8 6 9 0 0 8 5 3 0 0 8 3 8 0 0 8 2 3 12 0 1 1 5 1 0 1 1 3 1 0 1 1 1 2 0 1 0 9 3 0 1 0 7 5 0 1 0 5 6 0 1 0 3 8 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 9 8 5 11 0 1 3 5 7 0 1 3 3 5 0 1 3 1 4 0 1 2 9 2 0 1 2 7 1 0 1 2 5 1 0 1 2 3 0 0 1 2 1 0 0 1 1 9 0 0 1 1 7 0 10 0 1 5 8 7 0 1 5 6 2 0 1 5 3 9 0 1 5 1 5 0 1 4 9 2 0 1 4 6 9 0 1 4 4 6 0 1 4 2 3 0 1 4 0 1 0 1 3 7 9 09 0 1 8 4 1 0 1 8 1 4 0 1 7 8 8 0 1 7 6 2 0 1 7 3 6 0 1 7 1 1 0 1 6 8 5 0 1 6 6 0 0 1 6 3 5 0 1 6 1 1 08 0 2 1 1 9 0 2 0 9 0 0 2 0 6 1 0 2 0 3 3 0 2 0 0 5 0 1 9 7 7 0 1 9 4 9 0 1 9 2 2 0 1 8 9 4 0 1 8 6 7 07 0 2 4 2 0 0 2 3 8 9 0 2 3 5 8 0 2 3 2 7 0 2 2 9 7 0 2 2 6 6 0 2 2 3 6 0 2 2 0 6 0 2 1 7 7 0 2 1 4 8 06 0 2 7 4 3 0 2 7 0 9 0 2 6 7 6 0 2 6 4 3 0 2 6 1 1 0 2 5 7 8 0 2 5 4 6 0 2 5 1 4 0 2 4 8 3 0 2 4 5 1 05 0 3 0 8 5 0 3 0 5 0 0 3 0 1 5 0 2 9 8 1 0 2 9 4 6 0 2 9 1 2 0 2 8 7 7 0 2 8 4 3 0 2 8 1 0 0 2 7 7 6 04 0 3 4 4 6 0 3 4 0 9 0 3 3 7 2 0 3 3 3 6 0 3 3 0 0 0 3 2 6 4 0 3 2 2 8 0 3 1 9 2 0 3 1 5 6 0 3 1 2 1 03 0 3 8 2 1 0 3 7 8 3 0 3 7 4 5 0 3 7 0 7 0 3 6 6 9 0 3 6 3 2 0 3 5 9 4 0 3 5 5 7 0 3 5 2 0 0 3 4 8 3 02 0 4 2 0 7 0 4 1 6 8 0 4 1 2 9 0 4 0 9 0 0 4 0 5 2 0 4 0 1 3 0 3 9 7 4 0 3 9 3 6 0 3 8 9 7 0 3 8 5 9 01 0 4 6 0 2 0 4 5 6 2 0 4 5 2 2 0 4 4 8 3 0 4 4 4 3 0 4 4 0 4 0 4 3 6 4 0 4 3 2 5 0 4 2 8 6 0 4 2 4 7 00 0 5 0 0 0 0 4 9 6 0 0 4 9 2 0 0 4 8 8 0 0 4 8 4 0 0 4 8 0 1 0 4 7 6 1 0 4 7 2 1 0 4 6 8 1 0 4 6 4 1 00 0 5 0 0 0 0 5 0 4 0 0 5 0 8 0 0 5 1 2 0 0 5 1 6 0 0 5 1 9 9 0 5 2 3 9 0 5 2 7 9 0 5 3 1 9 0 5 3 5 9 01 0 5 3 9 8 0 5 4 3 8 0 5 4 7 8 0 5 5 1 7 0 5 5 5 7 0 5 5 9 6 0 5 6 3 6 0 5 6 7 5 0 5 7 1 4 0 5 7 5 3 02 0 5 7 9 3 0 5 8 3 2 0 5 8 7 1 0 5 9 1 0 0 5 9 4 8 0 5 9 8 7 0 6 0 2 6 0 6 0 6 4 0 6 1 0 3 0 6 1 4 1 03 0 6 1 7 9 0 6 2 1 7 0 6 2 5 5 0 6 2 9 3 0 6 3 3 1 0 6 3 6 8 0 6 4 0 6 0 6 4 4 3 0 6 4 8 0 0 6 5 1 7 04 0 6 5 5 4 0 6 5 9 1 0 6 6 2 8 0 6 6 6 4 0 6 7 0 0 0 6 7 3 6 0 6 7 7 2 0 6 8 0 8 0 6 8 4 4 0 6 8 7 9 05 0 6 9 1 5 0 6 9 5 0 0 6 9 8 5 0 7 0 1 9 0 7 0 5 4 0 7 0 8 8 0 7 1 2 3 0 7 1 5 7 0 7 1 9 0 0 7 2 2 4 06 0 7 2 5 7 0 7 2 9 1 0 7 3 2 4 0 7 3 5 7 0 7 3 8 9 0 7 4 2 2 0 7 4 5 4 0 7 4 8 6 0 7 5 1 7 0 7 5 4 9 07 0 7 5 8 0 0 7 6 1 1 0 7 6 4 2 0 7 6 7 3 0 7 7 0 3 0 7 7 3 4 0 7 7 6 4 0 7 7 9 4 0 7 8 2 3 0 7 8 5 3 08 0 7 8 8 1 0 7 9 1 0 0 7 9 3 9 0 7 9 6 7 0 7 9 9 5 0 8 0 2 3 0 8 0 5 1 0 8 0 7 8 0 8 1 0 6 0 8 1 3 3 09 0 8 1 5 9 0 8 1 8 6 0 8 2 1 2 0 8 2 3 8 0 8 2 6 4 0 8 2 8 9 0 8 3 1 5 0 8 3 4 0 0 8 3 6 5 0 8 3 8 9 10 0 8 4 1 3 0 8 4 3 8 0 8 4 6 1 0 8 4 8 5 0 8 5 0 8 0 8 5 3 1 0 8 5 5 4 0 8 5 7 7 0 8 5 9 9 0 8 6 2 1 11 0 8 6 4 3 0 8 6 6 5 0 8 6 8 6 0 8 7 0 8 0 8 7 2 9 0 8 7 4 9 0 8 7 7 0 0 8 7 9 0 0 8 8 1 0 0 8 8 3 0 12 0 8 8 4 9 0 8 8 6 9 0 8 8 8 8 0 8 9 0 7 0 8 9 2 5 0 8 9 4 4 0 8 9 6 2 0 8 9 8 0 0 8 9 9 7 0 9 0 1 5 13 0 9 0 3 2 0 9 0 4 9 0 9 0 6 6 0 9 0 8 2 0 9 0 9 9 0 9 1 1 5 0 9 1 3 1 0 9 1 4 7 0 9 1 6 2 0 9 1 7 7 14 0 9 1 9 2 0 9 2 0 7 0 9 2 2 2 0 9 2 3 6 0 9 2 5 1 0 9 2 6 5 0 9 2 7 8 0 9 2 9 2 0 9 3 0 6 0 9 3 1 9 15 0 9 3 3 2 0 9 3 4 5 0 9 3 5 7 0 9 3 7 0 0 9 3 8 2 0 9 3 9 4 0 9 4 0 6 0 9 4 1 8 0 9 4 3 0 0 9 4 4 1 16 0 9 4 5 2 0 9 4 6 3 0 9 4 7 4 0 9 4 8 4 0 9 4 9 5 0 9 5 0 5 0 9 5 1 5 0 9 5 2 5 0 9 5 3 5 0 9 5 4 5 17 0 9 5 5 4 0 9 5 6 4 0 9 5 7 3 0 9 5 8 2 0 9 5 9 1 0 9 5 9 9 0 9 6 0 8 0 9 6 1 6 0 9 6 2 5 0 9 6 3 3 18 0 9 6 4 1 0 9 6 4 8 0 9 6 5 6 0 9 6 6 4 0 9 6 7 1 0 9 6 7 8 0 9 6 8 6 0 9 6 9 3 0 9 7 0 0 0 9 7 0 6 19 0 9 7 1 3 0 9 7 1 9 0 9 7 2 6 0 9 7 3 2 0 9 7 3 8 0 9 7 4 4 0 9 7 5 0 0 9 7 5 6 0 9 7 6 2 0 9 7 6 7 20 0 9 7 7 2 0 9 7 7 8 0 9 7 8 3 0 9 7 8 8 0 9 7 9 3 0 9 7 9 8 0 9 8 0 3 0 9 8 0 8 0 9 8 1 2 0 9 8 1 7 21 0 9 8 2 1 0 9 8 2 6 0 9 8 3 0 0 9 8 3 4 0 9 8 3 8 0 9 8 4 2 0 9 8 4 6 0 9 8 5 0 0 9 8 5 4 0 9 8 5 7 22 0 9 8 6 1 0 9 8 6 4 0 9 8 6 8 0 9 8 7 1 0 9 8 7 4 0 9 8 7 8 0 9 8 8 1 0 9 8 8 4 0 9 8 8 7 0 9 8 9 0 23 0 9 8 9 3 0 9 8 9 6 0 9 8 9 8 0 9 9 0 1 0 9 9 0 4 0 9 9 0 6 0 9 9 0 9 0 9 9 1 1 0 9 9 1 3 0 9 9 1 6 24 0 9 9 1 8 0 9 9 2 0 0 9 9 2 2 0 9 9 2 5 0 9 9 2 7 0 9 9 2 9 0 9 9 3 1 0 9 9 3 2 0 9 9 3 4 0 9 9 3 6 25 0 9 9 3 8 0 9 9 4 0 0 9 9 4 1 0 9 9 4 3 0 9 9 4 5 0 9 9 4 6 0 9 9 4 8 0 9 9 4 9 0 9 9 5 1 0 9 9 5 2 26 0 9 9 5 3 0 9 9 5 5 0 9 9 5 6 0 9 9 5 7 0 9 9 5 9 0 9 9 6 0 0 9 9 6 1 0 9 9 6 2 0 9 9 6 3 0 9 9 6 4 27 0 9 9 6 5 0 9 9 6 6 0 9 9 6 7 0 9 9 6 8 0 9 9 6 9 0 9 9 7 0 0 9 9 7 1 0 9 9 7 2 0 9 9 7 3 0 9 9 7 4 28 0 9 9 7 4 0 9 9 7 5 0 9 9 7 6 0 9 9 7 7 0 9 9 7 7 0 9 9 7 8 0 9 9 7 9 0 9 9 7 9 0 9 9 8 0 0 9 9 8 1 29 0 9 9 8 1 0 9 9 8 2 0 9 9 8 2 0 9 9 8 3 0 9 9 8 4 0 9 9 8 4 0 9 9 8 5 0 9 9 8 5 0 9 9 8 6 0 9 9 8 6 30 0 9 9 8 7 0 9 9 9 0 0 9 9 9 3 0 9 9 9 5 0 9 9 9 7 0 9 9 9 8 0 9 9 9 8 0 9 9 9 9 0 9 9 9 9 1 0 0 0 0 Exercício 2 Utilizando esta tabela encontre as seguintes probabilidades a PZ 196 1PZ 196 1 09750002500 b PZ 196 09750 c PZ 196 002500 APP µ σ x pXx 00250 196 0 d P 250 Z 250 𝑃𝑋 25 𝑃𝑋 25 09938 00062 09876 𝑜𝑢 9878 9878 25 25 APP µ σ X 𝑃𝑋 𝑥 X 𝑃𝑋 𝑥 0 1 196 00250 0 0 1 25 099379 25 000621 P 250 Z 250 𝑃𝑋 25 𝑃𝑋 25 099379 000621 098758 e P 050 Z 150 f P Z z 075 z 067tabela 067449 APPProbaility Distribution g Pz1 Z z1 075 z1 h P 027 Z z2 050 z2 Exercício 3 A média do preço das consultas das empresas médicas de um município segue uma distribuição Normal com média 23 e desvio padrão 7 Pedese a Esquematize o gráfico da distribuição µ σ23716 µ σ23730 16 µ23 30 b Qual a proporção de empresas com preço acima de 28 𝑃𝑋 28 1 𝑃𝑋 28 1 𝑃 𝑋 23 7 28 23 7 1 𝑃𝑍 071 1 07611 02389 𝐴𝑃𝑃 µ 23 𝜎 7 𝑥 28 𝑃𝑋 𝑥 023753 c Qual a proporção de empresas com preço entre 20 e 25 d Qual a proporção de empresas com preço entre 16 e 30cm e Qual a proporção de empresas com preço entre 25 e 30cm f Se 25 das menores empresas médicas forem cortadas qual o preço mínimo das empresas médicas remanescentes g Qual a preço mínimo para uma empresa médica estar entre as 1 com maiores preços de consultas 1001 99099 x PXx001PZ 𝑥23 7 001 𝑝 𝑍 𝑥23 7 099 𝑥23 7 233 𝑥 3931APPµ23σ7 Pxx001x39284444 Distribuição amostral das médias e da variância Em uma amostra aleatória os elementos da população são escolhidos de tal forma que cada um deles tenha igual chance de figurar na amostra Escolhese uma amostra aleatória simples de elementos de maneira que toda a amostra de tamanho n possível tenha a mesma chance de ser escolhida Ex Sespaço amostralconjunto de todas as amostras possíveis pexde tamanho n4 𝑥1𝑥23𝑥50𝑥5𝑥100𝑥230𝑥501 𝑥92𝑘 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑥1𝑥2 𝑥𝑘 nº de médiasnº de amostras possíveis Se amostras aleatórias de tamanho n com reposição forem tomadas de uma população com média µ e desvio padrão σ então a distribuição amostral de 𝑋𝑛 𝑥1𝑥2 𝑥𝑘 tem as seguintes propriedades 1 𝑬𝑿 µ𝑿 µ 𝑿𝒏 é um estimador não tendencioso de µ 2 𝑉𝑋 𝜎𝑋 𝜎 𝑛 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑒 𝑋 3 𝑿𝒏 𝑵 µ 𝜎 𝑛 𝑿𝒏 𝑵 µ 𝑠 𝑛 𝒏 𝟑𝟎 OBS 1 Na medida em que o tamanho da amostra aumenta a distribuição das médias amostrais distribuição amostral das médias tende para uma distribuição normal Teorema do Limite central OBS 2 Também se o tamanho da amostra cresce o desvio padrão da média 𝜎 𝑛 ou erro amostral decresce Exercício 1 Para a população P 1 2 3 n2 com reposição mostrar que 𝑬𝑿 µ𝑿 𝒆 𝑉𝑋 𝜎𝑋 𝜎 𝑛 Amostragem sem reposição 𝑉𝑋 𝜎𝑋 𝑁𝑛 𝑁1 𝜎 𝑛 𝜎 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑋 𝜎𝑋 𝑁𝑛 𝑁 𝑆 𝑛 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 Se 𝑛 5𝑁 podemos usar 𝜎 𝑛 Para n 5N usase o fator de correção para população finita amostragem sem reposição Exercício 2 Mostrar que 𝐥𝐢𝐦 𝑵 𝜎𝑋 𝑁𝑛 𝑁1 𝜎 𝑛 𝑉𝑋 𝜎𝑋 𝜎 𝑛 Comentar Exercício 3 Foi realizada uma pesquisa de opinião de profissionais da área de saúde dos 30 maiores hospitais de uma certa região A pesquisa revelou que o salário anual médio de homens e mulheres eram 168 mil e 117 mil respectivamente Suponha que o desvio padrão para os homens seja 40 mil e para as mulheres seja 168 mil a Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória simples de 40 mulheres produzir uma média amostral dentro do intervalo de 10 mil em torno da média populacional 117 mil P 11710 𝑋 11710P 107 𝑋 127 P 𝑋 127 P𝑋 107 P 𝑋 127 P𝑋 107 107 µ 117 127 𝑋 P 11710 𝑋 11710P 107 𝑋 127 P 𝑋 127 P𝑋107 𝑃 X117 168 40 127117 168 40 𝑃 X117 168 40 107117 168 40 𝑃𝑍 038P 0380648003520 02960 P 𝑋 127 P𝑋 107 107 µ 117 127 𝑋 P Z038 PZ 038 038 µ0 038 Z APP µ σ 𝜎𝑋 𝜎 𝑛 168 402656 𝑋 pXx 0646 µ σ 𝑋 pXx P 𝑋 127 P𝑋107 064673035327 02940 b Idem para 40 homens Exercício 4 Seja X o consumo de proteína por família numa região metropolitana Suponha que X tem média igual a 22 e desvio padrão igual a 14 Seja 𝑋 o número médio do consumo de proteína por família para uma amostra de n100 a Qual a distribuição de 𝑋 Desenhe um gráfico e explique b Qual a probabilidade de o consumo médio por família seja menor do que 2 c Qual a probabilidade de o consumo médio estar acima da média mais três desvios padrões Exercício 5 Para as mulheres na faixa etária de 18 a 24 a pressão sistólica do sangue em mm Hg tem distribuição normal com média de 1148 e desviopadrão de 131 a Selecionada aleatoriamente uma mulher nessa faixa etária determine a probabilidade de a sua pressão sistólica ser superior a 120 117 2656 127 064673 117 2656 107 035327 7 b Selecionadas aleatoriamente 12 mulheres nessa faixa etária determine a probabilidade de a pressão sistólica média ser superior a 120 c Dado que a parte b envolve uma amostra de tamanho não superior a 30 por que podemos usar o teorema central do limite Exercício 6 As durações da gravidez têm distribuição normal com média de 268 dias e desvio de 15 dias a Selecionada aleatoriamente uma mulher grávida determine a probabilidade de a duração de sua gravidez ser inferior a 260 dias b Se 25 mulheres escolhidas aleatoriamente são submetidas a uma dieta especial a partir do dia em que engravidam determine a probabilidade de os prazos de duração de sua gravidez terem média inferior a 260 dias admitindo que a dieta não produza efeito c Se 25 mulheres têm média realmente média inferior a 260 dias há razão de preocupação para os supervisores médicos Distribuição amostral de proporções Seja p é a proporção das unidades de uma população que possui uma certa característica proporção de sucessos EXs a Proporção de pessoas do sexo masculino atendidas na emergência de um hospital b Proporção de consumidores que leem a lista dos ingredientes enumerados no rótulo de produtos c das residências que compram mais de 100 por semana em medicamentos Considere amostras aleatórias de tamanho n 1 𝐸𝑝𝑛 𝑝 2 𝑉𝐴𝑅𝑝𝑛 𝑝1𝑝 𝑛 3 Para n grande n30 𝑝𝑛 enquanto variável aleatória tem distribuição aproximadamente normal isto é 𝑝𝑛𝑁𝑝 𝑝1𝑝 𝑛 Exercício1 Uma proporção de 37 dos visitantes de um parque para a prática de esportes favorece a cobrança de taxas de entrada Uma amostra aleatória de 200 visitantes foi tomada a Qual é o parâmetro 37 b Qual é a estatística 03720074 c Qual é a probabilidade que em uma amostra de 200 visitantes pelo menos 40 favoreçam a cobrança de taxa 𝑃𝑝𝑛 040 1 𝑃𝑝𝑛 040 1 𝑃 𝑝𝑛𝑝 𝑝1𝑝 𝑝 040037 0371037 200 1 𝑃𝑍 0882 1 08106 0189 APP µ037 σ0034 𝑃𝑋 𝑥 018879 Exercício 2 Um Instituto de pesquisa mostrou que 17 das residências investem mais de 100 por semana em medicamentos Suponha que a proporção populacional residências seja p017 e que uma amostra aleatória simples de 800 residências será selecionada a partir da população a Mostre a distribuição amostral de 𝑝𝑛 a proporção amostral de residências que gastam mais de 100 por semana em medicamentos b Qual a probabilidade de que a proporção amostral esteja dentro do intervalo de 002 em torno da proporção populacional P002 𝑝𝑛 017 002 P 002 0171017 800 𝑝𝑛017 0171017 800 002 0171017 800 P 151 Z 151 09345 00655 08690 ou 869 APP P 002 𝑝𝑛 017 002 P 015 𝑝𝑛 019 µ σ x pXx P𝑝𝑛 019 𝑝𝑛 015 093396 006604 086792 ou 8679 µ σ x pXx c Responda ao item b para uma amostra de 1600 residências 017 00132806 019 093396 017 00132806 015 006604 1 Estimação Intervalar média populacional µ Z 𝑋µ 𝜎 𝑛 𝑃 𝑧𝛼 2 𝑍 𝑧𝛼 2 1 𝛼 𝑃 𝑧𝛼 2 𝑋µ 𝜎 𝑛 𝑧𝛼 2 1 𝛼 𝑃 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛 𝑋 µ 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛 1 𝛼 𝑃 𝑋 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛 µ 𝑋 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛 1 𝛼 𝑃 𝑋 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛 µ 𝑋 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛 1 𝛼 𝐼𝐶µ 𝑋 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛 𝑋 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛𝐼𝐶µ 𝑋 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛 𝛼 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑖𝑓𝑖𝑐â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐸 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑛 𝑧𝛼 2𝜎 𝐸 2 OBS Se 𝑛 30 podemos podemos substituir σ pelo desvio padrão 𝑠 Se n 30 a população deve ter distribuição normal e devemos conhecer σ para aplicar as fórmulas acima Para o caso de pequenas amostras e σ desconhecido 𝑛 30 𝑢𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡 Proporção populacional 𝐼𝐶𝑝 𝑝 𝑧𝛼 2 𝑝1 𝑝 𝑛 𝐸 𝑧𝛼 2 𝑝1 𝑝 𝑛 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑛 𝑧𝛼 2 2 𝑝 1 𝑝 𝐸2 Exercício 1 Uma amostra aleatória simples de 40 itens resultou em uma média amostral 25 O desvio padrão populacional é σ 5 a Qual o erro padrão da média 𝜎𝑋 𝜎 𝑛 5 40 079 b Para um grau de confiança de 95 qual é a margem de erro 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛 196079 555 c Qual o 𝐼𝐶µ 𝐼𝐶µ 𝑋 𝑧𝛼 2 𝜎 𝑛 25196079 25 155 25 155 2345 2655 95 0025 195996 µ 0 195996 µ σ x pXx Exercício 2 Em um esforço para estimar a quantia média que cada pessoa gasta com plano de saúde em um município foram coletados dados de uma amostra de 49 indivíduos Suponha um desvio padrão populacional de 500 a Para um grau de confiança de 95 qual é a margem de erro E 1965 49 980 7 140 0 1 195996 0975 b Se a média amostral é 2480 qual é o intervalo de confiança de 95 para a média populacional 𝐼𝐶µ 2880 140 27403020 Exercício 3 De um município sorteouse 31 domicílios com a finalidade de estimar o rendimento mensal domiciliar população aproxnormal Foram encontradas as seguintes estatísticas na amostra𝑥 188157 𝑠 37397 𝐶alcule a 𝐼𝐶µ95 188157 19637397 31 188157 19637397 31 174992201322 b 𝐼𝐶µ99 188157 25837397 31 99 05 257583 µ 0 257583 µ σ x pXx c Qual o tamanho da amostra necessário para estimar a renda média se o erro máximo provável margem de erro deve ser de 0 1 257583 3 0995 12154 da média Considere 𝜶5 95 de grau de confiança 𝑛 196 37397 12154 2 363737 d Quais as margens de erro do 𝐼𝐶µ95 𝐼𝐶µ99 𝐼𝐶µ95 𝐸 196 37397 31 13165 𝐼𝐶µ99 𝐸 25837397 31 17329 Exercício 4 Os resultados de um estudo envolvendo 2000 adultos mostraram que 1760 dos respondentes acreditam que o futuro equilíbrio do Seguro Social é uma importante preocupação de economia da saúde a Qual é a estimativa pontual da proporção populacional de adultos que acreditam que o futuro equilíbrio do Seguro Social é uma importante preocupação de economia da saúde b Com 90 de confiança qual é a margem de erro c Desenvolva um intervalo de confiança de 90 para a proporção populacional de adultos que pensam que o futuro equilíbrio do Seguro Social é uma importante preocupação de economia da saúde d Desenvolva um 𝐼𝐶µ95 para essa proporção populacional Exercício 5 De uma população normal com 𝜎216 levantouse uma amostra obtendose as observações 10 5 10 7 Determinar ao nível de 5 um 𝐼𝐶µ para a média da população 𝑥 105107 4 800𝑠 10825821082782 41 245 𝜎 16 4 E 1964 4 392 𝐼𝐶µ 8 392 408 1192 Exercício 6 De acordo com um relatório empresarial a maioria dos planos de saúde relatou lucros que superam as estimativas Uma amostra de 162 planos mostrou que 104 destas ultrapassaram as estimativas a Qual é a estimativa pontual da proporção dos planos de saúde que ultrapassaram as estimativas 𝑝 104 162 0642 b Determine a margem de erro e forneça um intervalo de confiança de 95 para a proporção dos planos de saúde que ultrapassaram as estimativas 𝐸 𝑧𝛼 2 𝑝1 𝑝 𝑛 196064210642 162 0074 𝐼𝐶𝑝 𝑝 𝐸 0642 0074 0568 0716 c Qual deve ser o tamanho da amostra se a margem de erro desejada for de 005 𝑛 𝑧𝛼 2 2 𝑝 1𝑝 𝐸2 196206420358 0052 35318