Conceitos Fundamentais de Rotação e Cinemática

Rotação Rotação Grandezas angulares Variáveis lineares e angulares Energia cinética de rotação Teorema dos eixos paralelos Momento de inércia Torque Trabalho potência e o teorema do trabalho energia cinética Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 1 Rotação Cinemática Translação No movimento de translação pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento linear Rotação No movimento de rotação pura as partes de um corpo descrevem trajetórias circulares cujos centros situamse sobre uma mesma reta chamada de eixo de rotação e sofrem o mesmo deslocamento angular O movimento que se aproxima mais de uma situação real é aquele que incorpora tanto a translação quanto a rotação Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 2 Rotação Variáveis da rotação Na rotação utilizamos parâmetros equivalentes ao do movimento de translação Posição angular Um objeto de formato arbitrário realiza uma trajetória circular em torno de um certo eixo Marque um ponto no objeto e meça a distância deste ponto ao eixo de rotação é chamado de raio r da trajetória logo a trajetória descreve um arco de comprimento s e a posição angular associada ao arco e o raio é o ângulo θ S r θ Deslocamento angular Quando um corpo está em rotação sua posição angular varia ou seja num dado momento a posição angular é θ1 e num instante posterior θ2 Δθ θ2 θ1 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 3 Rotação Velocidade angular Taxa com que a posição angular está variando Razão entre o deslocamento angular e o tempo necessário para fazer esse deslocamento Velocidade angular média Velocidade angular instantânea Aceleração angular Surge quando a velocidade angular varia no tempo à uma certa taxa Aceleração angular média Aceleração angular instantânea Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 4 Rotação As velocidades descritas no slide anterior são vetores com direção e sentido dados pela regra da mão direita Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 5 Rotação Deslocamento angular é um vetor Sim e não Um vetor obedece as regras de soma vetorial comutativa Neste caso para o deslocamento angular ser vetor quando se aplica duas rotações sucessivas inicialmente no eixo x e no eixo y figura a o resultado tem que ser igual ao aplicar inicialmente em y e depois em x figura b Como pode ser visto nas figuras o resultado final é diferente Deslocamento angular só é vetor se os valores forem pequenos Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 6 Rotação Rotação com aceleração angular constante Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 7 Rotação Posição Na rotação uma partícula fixa descreve uma trajetória na forma de arco s r θ Velocidade escalar Em rotações com raio constante cada ponto observado mantém uma distância constante ao eixo de rotação onde v é a velocidade linear e w é a velocidade angular Aceleração De maneira equivalente a aceleração de uma dado ponto de um corpo é Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 8 Rotação A aceleração a é conhecida como aceleração tangencial pois dá conta da variação do módulo da velocidade linear Como esta velocidade é tangente à curva para que o seu módulo varie é necessário uma aceleração nesta direção Com a definição desta aceleração temos agora dois tipos de aceleração no movimento circular a aceleração tangencial e a aceleração radial ou centrípeta Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 9 Rotação 1 Durante um intervalo de tempo t a turbina de um gerador gira um ângulo θ a t b t3 c t4 onde a b e c são constantes a Determine a expressão para sua velocidade angular b Determine a expressão para sua aceleração angular Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 10 Rotação 2 Uma roda tem oito raios de 30cm Está montada sobre um eixo fixo e gira a 25 revs Você pretende atirar uma flecha de 20cm de comprimento através da roda paralelamente ao eixo sem que a flecha colida com qualquer raio Suponha que tanto a flecha quanto os raios são muito finos Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter v4 ms Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 11 Rotação 3 Um disco gira em torno de um eixo fixo partindo do repouso com aceleração angular constante até alcançar a rotação de 15 revs Depois de completar 60 revoluções a sua velocidade angular é de 15 revs a Calcule a aceleração angular b Calcule o tempo necessário para completar as 60 revoluções c Calcule o tempo necessário para alcançar a rotação de 10 revs d Calcule o número de revoluções desde o repouso até a velocidade de 10revs Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 12 Rotação 4 Uma certa moeda de massa M é colocada a uma distância R do centro de um prato de um toca discos O coeficiente de atrito estático é μE A velocidade angular do toca discos vai aumentando lentamente até w0 quando neste instante a moeda escorrega para fora do prato Determine w0 em função das grandezas R g e μE Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 13 Rotação 5 Quatro polias estão conectadas por duas correias conforme mostrado na figura a seguir A polia A rA 15 cm é a polia motriz e gira a 10 rads A polia B rB 10cm está conectada à A pela correia 1 A polia B rB 5cm é concêntrica à B e está rigidamente ligada à ela A polia C rC 25cm está conectada à polia B pela correia 2 a Calcule a velocidade linear de um ponto na correia 1 b Calcule a velocidade angular da polia B Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 14 Energia Cinética de Rotação Considere de N partículas cada uma com massa mi e velocidade v girando em torno de um mesmo eixo do qual distam ri A energia cinética deste sistema é onde ri é a distância de cada partícula ao eixo w a velocidade angular das partículas em torno do eixo considerado e definimos o momento de inércia I do conjunto de partículas como Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 15 Momento de Inércia Corpo Rígido Se dividirmos um corpo rígido em pequenas partes cada parte com uma massa Δmi podemos em tese calcular o momento de inércia deste corpo usando a equação anteriormente apresentada para um sistema de partículas Se aumentarmos essa subdivisão de modo que aqueles elementos de massa Δmi se transformem em grandezas diferencias dm poderemos identificar como Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 16 Momento de Inércia Corpo Rígido Momento de inércia em relação ao centro de massa Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 17 Momento de Inércia Corpo Rígido Momento de inércia em relação ao centro de massa Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 18 Momento de Inércia Corpo Rígido Teorema dos eixos paralelos Teorema de Steiner O momento de inércia mostrado nos slides anteriores consideram que o centro de rotação está no centro de massa Não existirá torque restaurador no pêndulo físico se o centro de rotação CR estiver no centro de massa CM O momento de inércia I de um sólido de massa M em relação a um eixo de rotação Z distante d é paralelo ao eixo Z que passa pelo centro de massa é 𝐼𝑍 𝐼𝐶𝑀 𝑀𝑑2 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 19 Momento de Inércia Corpo Rígido Qual o momento de inércia de um bastão fino em torno do eixo que passa por uma das extremidades perpendicular ao seu comprimento 𝐼 𝐼𝐶𝑀 𝑀 Τ 𝐿 2 2 𝐼 1 12 𝑀𝐿2 𝑀 𝐿 2 2 𝐼 1 3 𝑀𝐿2 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 20 Momento de Inércia e Energia Exemplo 6 Duas partículas de massa m cada uma estão ligadas entre si e a um eixo de rotação em O por dois bastões delgados de comprimento L e massa M cada um conforme mostrado na figura a seguir O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular w Determine algebricamente a expressão para o momento de inércia do conjunto em relação a O Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 21 Torque Definese o torque τ produzido pela força F quando ela atua sobre uma partícula como sendo o produto vetorial dessa força pelo vetor posição da partícula Se no exemplo da figura abaixo definirmos o plano da folha de papel com sendo x y o torque estará ao longo do eixo z e será um vetor saindo da folha Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 22 Torque Podemos visualizar o resultado do produto vetorial de uma maneira equivalente à anterior ou seja Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 23 Segunda Lei de Newton Rotação A segunda Lei de Newton toma uma forma peculiar quando aplicada aos movimentos que envolvem rotação Se fizermos a decomposição da força aplicada a uma partícula segundo as suas componentes perpendicular e paralela ao vetor posição dessa partícula teremos onde I na equação acima é o momento de inércia de uma massa pontual Se tivermos N partículas girando em torno de um eixo cada uma delas sob a ação de uma força teremos um torque associado à essa força onde Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 24 Torque Exemplo 7 A figura a seguir mostra dois blocos de massa m suspensos nas extremidades de uma haste rígida de peso desprezível de comprimento L L1 L2 com L1 20 cm e L2 80 cm A haste é mantida na posição horizontal e então solta Calcule a aceleração dos dois blocos quando eles começam a se mover Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 25