Exercícios Resolvidos de Laboratório de Mecânica Clássica - Linearização e Propagação de Erros

1 EXERCÍCIO ESCOLAR Laboratório de Mecânica Clássica NomeTURMA Questão 12pt Considerando os dados experimentais obtidos a partir de um experimento isotérmico para um gás rarefeito dado por PVk a linearize a função utilizando um artifício matemático adequado e identifique os parâmetros da equação b encontre as constantes e k Vcm3 8898 10127 11864 14535 19435 31791 PNcm2 421959 341290 259242 195811 132379 69637 Questão 2 19pts Questão 3 20pt Quando se deseja determinar o valor da aceleração da gravidade em um dado local pode se fazêlo utilizando um pêndulo simples Medese o comprimento do fio L o período de oscilação T e o diâmetro da esfera d O comprimento efetivo l do pêndulo é a distância do fulcro até o centro da esfera de modo que l L 05d Sabese que Supondo que foram realizadas as medidas experimentais a seguir a Linearize a equação b determine o valor da aceleração da gravidade Lembrese de usar a propagação de erros e expressar o resultado com a quantidade de algarismos significativos corretos Sugestão l T2π g T 172 005s L7254 005cm d18453 00005cm N N N N N i i i i i i i1 i1 i1 i1 i1 2 N N 2 i i i1 i1 A B A B 2 x y 1 x y y a x N a b x 1 x N σ xBσ xA AxB σ xBσ xA A B B N Questão 4 Numa experiência utilizandose um calorímetro de alumínio para determinar o calor específico do cobre foram obtidos os seguintes dados 2 2 2 2 H O H O Al FH O iH O Al Cu iCu m 15019 001 g c 100 calgºC c 0214 calgºC T 2200 005ºC T 1995 005 ºC m 11300 001 g m 5606 001 g T 960 05 ºC Através da relação abaixo calcule o calor específico do cobre 2 2 H O H2O Al Al FH2O iH2O Cu Cu iCu FH O m c m c T T C m T T Questão 5 Utilizando um plano inclinado para determinar o momento de Inércia I de um cilindro maciço foram encontrados os seguintes dados h 295 005 cm t 273 001s L 7240 005cm M 35678 001g R 4490 0005cm Através da equação 2 2 2 ght 1 MR 2L I Onde h é a altura entre o ponto inicial e final do plano inclinado t é o tempo gasto pelo cilindro para percorrer a distância L sobre o plano M é a massa do cilindro e R é o seu raio calcule o momento de inércia do referido cilindro tomando 2 g 9792 0005 ms Questão 6 Na tabela a seguir encontramse valores obtidos experimentalmente para os espaços percorridos nos respectivos tempos por um corpo de massa m m g 9889 9886 9891 9890 9887 xcm 3652 3645 3640 3648 3656 ts 128 122 125 124 120 Determine a Expresse m x e t com o valor médio e o erro mais provável b a velocidade média do corpo com o respectivo erro propagado d a energia cinética do corpo com o respectivo erro propagado Questão 7 Em uma experiência na qual se mediu a pressão do vapor dágua para várias temperaturas foram obtidos os seguintes resultados PmmHg 2149 4579 14532 50218 149381 355239 TK 2632 2731 2932 3131 3331 3532 A equação que rege o fenômeno é do tipo λ RT 0 P P e Onde R 831 JmolK a Linearize a equação e identifique os parâmetros da equação b Trace o gráfico da função linearizada c Através da regressão linear determine P0 e d Refaça o exercício utilizando a equação na forma de λ RT 0 PP 10 Questão 8 O momento de inércia de um disco metálico de massa desconhecida e raio r 0015 cm é determinado fazendo o girar sob a ação da força peso de uma outra massa m 00100 kg suspensa por um fio que está inicialmente enrolado no disco metálico Para uma mesma altura de queda da massa m mediuse o ângulo de rotação do disco metálico e o tempo correspondente conforme a tabela abaixo rad 1224 7650 29510 48000 80080 ts 495 1237 2429 3100 4000 A equação que relaciona estas grandezas é n φt Kt a Linearize a equação e identifique os parâmetros da equação b Determine os valores das constantes n e K c Sabendose que cm mgr K 2I Calcule o valor do momento de inércia Icm do disco metálico Considere a aceleração da gravidade como 2 g 9792 0005 ms 01 Considerando os dados experimentais obtidos a partir de um experimento isotérmico para um gás rarefeito dado por PV γk a linearize a função utilizando um artifício matemático adequado e identifique os parâmetros da equação b encontre as constantes γ e k V c m 3 8898 10127 11864 14535 19425 31791 P Nc m 2 421959 341290 259242 195811 132379 69637 Solução a Para linearizar a equação PV γk É aplicado o logaritmo natural em ambos os termos da equação na qual resultará ln PV γ ln k Utilizando a propriedade do logaritmo produto onde log ab log a log b Teremos ln PV γ ln k ln PlnV γln k Utilizando outra propriedade do logaritmo na qual log a bblog a Teremos ln PlnV γln k ln Pγ ln V ln k Com isso considerando Yln P Xln V Teremos ln Pγ ln V ln k ln Pln k γ lnV Yln k γ X Dessa forma a equação é transformadas em uma forma linear na qual se assemelha à equação de uma linha reta yaxb a onde temos que aγ e bln k b Para determinados os valores de a e b precisaremos seguir algumas etapas matemáticas importantes como Calcular Y e X usando os dados experimentais fornecidos V c m 3 PN cm 2 ln V ln P 8898 421959 6791 12952 10127 341290 6920 12740 11864 259242 7078 12465 14535 195811 7281 12184 19425 132379 7572 11793 31791 69637 8064 11151 Utilizar a fórmula da regressão linear a i1 n XiXY iY i1 n XiX 2 E bYa X Na qual X e Y são as médias de X e Y respectivamente n é o número total de pontos com isso será possível calcular os coeficientes da equação Primeiramente calculando as médias de X e Y X679169207078728175728064 6 X7284 Y129521274012465121841179311151 6 Y12214 Calculando o valor de a teremos a i1 n XiXY iY i1 n XiX 2 Com isso teremos a i1 6 XiXY iY i1 6 XiX 2 i1 6 XiXY iY 1557 i1 6 XiX 21109 a 1557 1109 1403 O valor de b então é igual a bYa X b1221414037284 b22433 Então os valores de γ e k são γa1403 kb22433 2 Trace o gráfico log V vs log PM A partir do gráfico traçado determine Vc P M n Gás Peso Moelcular PM em g V som a 0 C em ms H 2 2 12660 C H 4 16 4310 N H 3 17 4140 CO 28 3360 NO 30 3240 i Xi Y i XiX Y iY 1 6791 12952 0493 0738 2 6920 12740 0364 0526 3 7078 12465 0206 0251 4 7281 12184 0003 003 5 7572 11793 0288 0421 6 8064 11151 078 1063 O2 32 3160 CO2 44 2610 N O2 46 2570 C S2 75 1840 Solução Calculando o log V e o log PM teremos Gás Peso Moelcular PM em g V som a 0 C em ms log V log PM H 2 2 12660 0301029996 3102433706 C H 4 16 4310 1204119983 263447727 N H 3 17 4140 1230448921 2617000341 CO 28 3360 1447158031 2526339277 NO 30 3240 1477121255 251054501 O2 32 3160 1505149978 2499687083 CO2 44 2610 1643452676 2416640507 N O2 46 2570 1662757832 2409933123 C S2 75 1840 1875061263 2264817823 Com isso o gráfico log V vs log PM será Para realizar o ajuste linear dos pontos de dados iremos fazer algumas manipulações matemáticas Vc P M n log V log c P M n log V log c log PM n log V log c nlog PM Utilizando a regressão linear para determinar o valor de n n log PM log PM log V logV log PM log PM 2 A onde log PM e log V são as médias de log PM e log V log PM 25535 log V 13718 log V log PM log PM log PM log V log V 03010 31024 0548892134 1070781108 12041 26344 0080935699 0167691121 12304 26170 006345877 0141362183 14471 25263 0027202294 0075346927 14771 25105 0042996561 0105310151 15051 24996 0053854489 0133338874 16434 24166 0136901064 0271641573 16627 24099 0143608448 0290946728 18750 22648 0288723748 1875061263 Ai temos que log PM logPM logV log V log PM logPM 2 0587743328 0301282575 0013572198 0006550587 000897067 0004027015 0002049609 0000739965 0004527974 0001848704 0007180897 0002900306 003718802 0018741901 0041782408 0020623386 0541374716 0083361403 Então log PM log PM log V logV 1244389821 log PM log PM 20440075843 n log PM log PM log V logV log PM log PM 2 1244389821 0440075843 n2827671274 Para determinar log c teremos log V log c nlog PM log c log V nlog PM log c 137182827 25535 log c 85905 Temos então que log V log c nlog PM log V 8590528276logPM Questão 03 a Com a equação dada T2π l g Teremos T 24 π 2 l g Então consideramos que yT 2 x l g a4 π 2 Na qual essa equação de torna uma equação linear na forma yax b O valor de g pode ser encontrado a partir da fórmula linearizada g4 π 2 l T 2 Vamos calcular os valores e incertezas de l e 1 T 2 para cada medição usando as fórmulas dadas lL05d 1 T 2 Utilizando então a i1 N xi yi1 N i1 N xi i1 N yi i1 N xi 21 N i1 N xi 2 b i1 N yia i1 N xi N Onde a é o coeficiente angular b é a interseção no eixo y xi e yi são os valores de l e 1 T 2 respectivamente N é o número total de amostras Calculando então l e 1 T 2 teremos l1L05d7256405184537367765 l2L05d7256405184537367765 l3L05d7256405184537367765 l4L05d725640 5184537367765 l5L05d7256405184537367765 Calculando 1 T 2 x1 1 T1 2 1 172 2 03379s 2 x2 1 T2 2 1 172 2 03379s 2 x3 1 T3 2 1 172 2 03379 s 2 x4 1 T 4 2 1 172 2 03379 s 2 x5 1 T5 2 1 172 2 03379 s 2 Teremos então xi yi li T i 2 xi 2li 2 yi 1 T i 2 Então teremos que x1 y1 l1 T 1 27367765 172 2 247129cm s 2 x1 2l1 27367765 254190412cm 2 y1 1 T1 2 1 172 203379 s 2 x2 y2 l2 T 2 27367765 172 2 247129cm s 2 x2 2l2 27367765 254190412cm 2 y2 1 T 2 2 1 172 203379 s 2 x3 y3 l3 T 3 27367765 172 2 247129cms 2 x3 2l3 27367765 254190412cm 2 y3 1 T 3 2 1 172 203379 s 2 x4 y4 l1 T 4 27367765 172 2 247129cms 2 x4 2l4 27367765 254190412cm 2 y4 1 T 4 2 1 172 203379 s 2 x5 y5 l5 T 5 27367765 172 2 247129cms 2 x5 2l5 27367765 254190412cm 2 y5 1 T 5 2 1 172 203379 s 2 Com isso teremos que i1 N xi yi1235645cm s 2 i1 N xi 2270952060cm 2 i1 N xi16895 s 2 i1 N yi16895s 2 Dessa forma a 12356451689516895 5 270952060 16895 2 5 a00045 s 2cm b i1 N yia i1 N xi N b1689500045813616895 5 033945s 2 Utilizando agora g 4π 2 a Teremos g 4 π 2 00045 g877298 cms 2 Esse é o valor de g agora a incerteza correspondente ao valor de g é δ gg δa a 2 Como temos que δ a005 teremos então δ gg δa a 2 877298 005 00045 2 δ g9747757 Com isso temos que a aceleração da gravidade é aproximadamente g87729897477 57cm s 2 04 Ccu mH 2Oc H2omAl cAlT FH 2OT i H 2O mCu Ccu 1501911130214 221995 56 069622 CCu00861 05 I ght 2 2L 2 1M R 2 I 979200295273 2 2 07240 2 1035678004490 2 I 0000757811 kgm 2 06 Utilizaremos então x i1 n xi n Δ x 1 3 i1 n xix 2 Utilizando os dados m g 9889 9886 9891 9890 9887 xcm 3652 3645 3640 3648 3656 ts 128 122 125 124 120 m494 43 5 98886 g x18241 5 36482cm t619 5 1238s i1 5 mim 217210 3 i1 5 xix 200001528 i1 5 tit 2000368 Então Δ m 1 3 i1 5 mim 2 1 3 17210 300239g Δ x 1 3 i1 5 xix 2 1 3 00001528000713c m71310 5m Δt 1 3 i1 5 t it 2 1 3 00036800350s A velocidade média então é dada pela vx t 36482 1238 294685cms00294685m s Δ vv Δ x x 2 Δt t 2 00294685 71310 5 0036482 2 00350 1238 2 Δ v0000835m s 2 A energia é dada por E1 2 m v 21 2 9888600294685 2004293 gm 2s 2 Δ EE Δ m m 2 Δ v v 2 004293 00239 98886 2 0000835 00294685 2 Δ E000121648 gm 2s 2 07 a Linearizando as equações PP0e λ RT Teremos ln PlnP0e λ RT ln PlnP0e λ RT ln Pln P0lne λ RT ln Pln P0 λ RT Considerando então que yln P e x 1 T teremos então uma equação linear ln Pln P0 λ RT yln P0 λ R x b Utilizando então os valores dados na tabela teremos PmmHg 2149 4579 14532 50218 149381 355239 TK 2632 2731 2932 3131 3331 3532 Dessa forma teremos que calcular o valor de x para cada temperatura dada pela relação x 1 T E calcular cada valor de y para cada valor de pressão dada pela relação yln P Com isso vai ser obtido PmmHg 2149 4579 14532 50218 149381 355239 TK 2632 2731 2932 3131 3331 3532 ln P 0765003 1521481 2676353 3916374 50065 5872791 1T 0003799 0003662 0003411 0003194 0003002 0002831 Dessa forma o gráfico será elaborado c Utilizando a N i1 N xi yi i1 N xi i1 N yi N i1 N xi 2 i1 N xi 2 b i1 N yia i1 N xi N Será utilizado para determinando os valores de P0 e λ Teremos então os seguintes dados PmmHg TK y x xy x 2 2149 2632 0765002618 0003799392 0002906545 14435410 5 4579 2731 1521480634 0003661662 0005571148 13407810 5 14532 2932 267635311 000341064 000912808 1163210 5 50218 3131 3916373528 0003193868 0012508379 10200810 5 149381 3331 500650009 00030021 001503002 9012610 6 355239 3532 5872790802 0002831257 0016627381 80160210 6 1975850079 0019898922 006177155 6670510 5 a N i1 N xi yi i1 N xi i1 N yi N i1 N xi 2 i1 N xi 2 a600617715500198989221975850079 66670510 56670510 5 a163577 b i1 N yia i1 N xi N b19758500791635770019898922 6 b2131926 Portando os valores de P0 e λ são ln P0a P0e ae 1635776 λbR21319268311771J mol d PP010 λ RT log PlogP010 λ RT log Plog P0log10 λ RT log Plog P0log10 λ RT log Plog P0 λ RT Considerando então que ylog P e x 1 T teremos então uma equação linear log Plog P0 λ RT ylog P0 λ R x Utilizando então os valores dados na tabela teremos PmmHg 2149 4579 14532 50218 149381 355239 TK 2632 2731 2932 3131 3331 3532 Dessa forma teremos que calcular o valor de x para cada temperatura dada pela relação x 1 T E calcular cada valor de y para cada valor de pressão dada pela relação ylog P Com isso vai ser obtido PmmHg 2149 4579 14532 50218 149381 355239 TK 2632 2731 2932 3131 3331 3532 log P 011633708 0182266429 0427543413 0592884106 0699534228 0768844531 1T 0003799 0003662 0003411 0003194 0003002 0002831 Dessa forma o gráfico será elaborado Utilizando a N i1 N xi yi i1 N xi i1 N yi N i1 N xi 2 i1 N xi 2 b i1 N yia i1 N xi N Será utilizado para determinando os valores de P0 e λ Teremos então os seguintes dados PmmHg TK y x xy x 2 2149 2632 011633708 0003799392 000044201 14435410 5 4579 2731 0182266429 0003661662 0000667398 13407810 5 14532 2932 0427543413 000341064 0001458197 1163210 5 50218 3131 0592884106 0003193868 0001893593 10200810 5 149381 3331 0699534228 00030021 0002100073 9012610 6 355239 3532 0768844531 0002831257 0002176797 80160210 6 2554735629 0019898922 0007854048 6670510 5 a N i1 N xi yi i1 N xi i1 N yi N i1 N xi 2 i1 N xi 2 a6000785404800198989222554735629 66670510 56670510 5 a20978902 b i1 N yia i1 N xi N b2554735629209789020019898922 6 b026997328 Portando os valores de P0 e λ são log P0a P010 ae 20978902 λbR0269973288312351467J mol 08 a Linearizando a equação ϕ t K t n Teremos ln ϕln K t n ln ϕln K ln t n ln ϕln K nln t Dessa forma vãos considerar que yln ϕ e xlnt desse modo teremos que ln ϕln K nln t yln K n x Utilizando os dados da tabela que foram oferecidos teremos então ϕrad t s y x xy x 2 1224 495 250470928 39019727 9773307 1522539 7650 1237 433729074 48178593 2089646 2321177 29510 2429 568731428 54926498 3123843 301692 48000 3100 61737861 57365723 3541637 3290826 80080 4000 668561123 59914645 400566 3589765 253887116 259405186 137381162 4 1374122701 Utilizando a 5 i1 N xi yi i1 N xi i1 N yi N i1 N xi 2 i1 N xi 2 b i1 N yia i1 N xi N Será utilizado para determinando os valores de K e n a 5 i1 N xi yi i1 N xi i1 N yi N i1 N xi 2 i1 N xi 2 a51373811624259405186253887116 513741227011374122701 a163195 b i1 N yia i1 N xi N b253887116163195259405186 5 b3388983 Com isso temos que aln K Ke ae 163195511384 bn3388983 Utilizando K mgr 2 I cm Manipulando matematicamente teremos I cmmgr 2 K 0010097920015 2511384 1436110 4kgm 2 Page 1 of 2 Report THE CHEMICAL SOCIETY Potential energy surfaces for dissociative adsorption of O2 on Cu110 A density functional theory study Zhi Li XueJing Zhang Hong Guo Institute of Theoretical Physics and Department of Physics The Chinese University of Hong Kong Shatin New Territories Hong Kong China a r t i c l e i n f o Article history Received 8 May 2019 Received in revised form 14 August 2019 Accepted 6 September 2019 Available online 11 September 2019 Keywords Density functional theory Cu110 surface Dissociative adsorption O2 a b s t r a c t Potential energy surfaces for the interaction of O2 with the Cu110 surface have been computed using density functional theory Adsorption of O2 on the Cu110 surface is found to be exhibited in two adsorption wells one chemically bounded molecularly adsorbed state and the other magnetically bounded physisorbed state The minimum energy paths of dissociative adsorption of O2 on the Cu110 surface are investigated by the nudged elastic band method The calculations indicate that O2 dissociation on Cu110 surface is an activated process The minimum energy path for direct dissociation of O2 with O2 initially adsorbed at the molecular adsorption well shows a barrier consistent with previous experimental results The dissociation product shows a tendency to occupy the short bridge site consistent with previous experiments This work provides details on dissociation pathways and products for O2 on Cu110 surface 2019 Elsevier BV All rights reserved 1 Introduction Dissociative adsorption of oxygen on copper surfaces plays a key role in the oxidation of copper Its surface chemical behavior is important in many industrial applications such as catalysis corrosion and materials processing Among copper surfaces the Cu110 surface has attracted much attention because of its higher chemical reactivity and its simpler surface structure 14 Experimental and theoretical studies on the interaction of oxygen with Cu110 have been conducted to understand the initial stages of oxidation and the formation mechanisms of copper oxide In this study density functional theory DFT calculations are performed to investigate the potential energy surfaces PESs for the interaction of O2 molecules with Cu110 surface Our aim is to understand the adsorption processes molecular states and dissociation pathways of O2 on Cu110 This knowledge is fundamental for applications in catalysis and surface science 2 Computational Methodology All DFT calculations were performed using the Vienna Ab initio Simulation Package VASP 57 The PerdewBurkeErnzerhof PBE form of the generalized gradient approximation GGA was used for the exchangecorrelation functional 8 Projector augmented wave PAW potentials were employed to describe electronion interactions 9 The Cu110 surface was modeled using a fourlayer slab with a vacuum region of 15 Å The bottom two layers were fixed and the top two layers were allowed to relax during geometry optimization A plane wave cutoff energy of 400 eV was used The Brillouin zone was sampled using a 551 MonkhorstPack kpoint grid 10 Adsorption energies were calculated using a supercell approach The nudged elastic band NEB method was employed to determine minimum energy paths and activation barriers for O2 dissociation 11 3 Results and Discussion 31 Adsorption structures and energies Two stable adsorption wells for O2 molecules on the Cu110 surface were identified The first is a chemisorbed state with molecular O2 occupying a short bridge site with a bond length elongated compared to the free molecule The second is a physisorbed state dominated by magnetic interactions at a hollow site with O2 retaining its molecular bond length close to that in the gas phase The adsorption energies were calculated to be 10 eV for the chemisorbed state and 02 eV for the physisorbed state These results are consistent with previous theoretical and experimental studies 1213 32 Dissociative adsorption pathways Activation barriers and reaction paths for O2 dissociation were computed using the NEB method The minimum energy path starting from the chemisorbed molecular state shows an energy barrier of approximately 08 eV indicating that the dissociation of O2 is an activated process on Cu110 The dissociation products preferentially occupy the short bridge sites on the surface consistent with observations from experiments 14 The dissociation pathway starting from the physisorbed state to dissociated atomic oxygen was found to have a higher barrier making this route less favorable at lower temperatures 4 Conclusions This study provides a detailed theoretical analysis of O2 adsorption and dissociation on the Cu110 surface The identification of two adsorption wells and the characterization of dissociation pathways offer insights into the initial stages of copper oxidation The results contribute to the fundamental understanding necessary for advancing applications in catalysis and materials science References 1 JT Yates Jr Surf Sci Rep 63 2008 173202 2 R Shi et al J Phys Chem C 119 2015 1988419891 3 M Piacentini et al Phys Rev Lett 95 2005 246101 4 A Michaelides et al J Chem Phys 123 2005 184703 5 G Kresse J Hafner Phys Rev B 47 1993 558561 6 G Kresse J Furthmüller Phys Rev B 54 1996 1116911186 7 G Kresse D Joubert Phys Rev B 59 1999 17581775 8 JP Perdew K Burke M Ernzerhof Phys Rev Lett 77 1996 3865 9 PE Blöchl Phys Rev B 50 1994 1795317979 10 HJ Monkhorst JD Pack Phys Rev B 13 1976 5188 11 G Henkelman BP Uberuaga H Jónsson J Chem Phys 113 2000 9901 12 S Kim et al Surf Sci 601 2007 48104816 13 T Ge et al J Phys Chem C 114 2010 12341238 14 L Cao et al J Chem Phys 141 2014 234701