Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear - Espaços Vetoriais, Subespaços e Combinações Lineares

Sua resposta Envie o arquivo com sua resposta Justifique a afirmação ou dê um contraexemplo Qualquer subespaço de um espaço vetorial com dimensão finita possui um subespaço complemento cuja soma destes dois gera o espaço vetorial e a interseção é composta somente pelo vetor zero Exiba um complemento para W Adicionar arquivo Sobre o que se afirma na imagem temos que é Verdadeiro Falso Esta pergunta é obrigatória O conjunto dos polinômios de grau 2 com coeficientes reais é um espaço vetorial Verdadeiro Falso Esta pergunta é obrigatória Verdadeiro Falso Esta pergunta é obrigatória Quais dos seguintes vetores no espaço tridimensional euclidiano são combinações lineares dos vetores 1 05 075 02 02 0 058 025 025 53 1 1 15121 7236 6121 63135 17635 5 40 20 125 Responda quais das alternativas representam uma base nas condições do enunciado da imagem No espaço vetorial Cππ encontre uma base para o subespaço gerado por 1 cos 2x cos²x cos 2x cos²x sen²x 1 cos²x sen²x cos²x α1 βcos²x sen²x γcos²x α βcos²x β sen²x γcos²x α1 β1 r R ξ α β γ cos²x β sen²x α1 β1 r R ξ 1 cos²x sen²x já que cos²x sen²x 1 4 cos²x sen²x é Lb 1 cos²x sen²x cos²x sen²x cos²x sen²x é base do subespaço 1 2 12 12 0 22 22 0 22 22 0 222 222 02 24 24 0 1 1 2 0 12 12 0 22 22 0 22 22 02 222 222 0 24 24 1 2 12 0 12 22 0 22 22 0 22 222 02 222 24 0 24 1 ou seja o resultado da multiplicação dos vetores geradores por 2 são três vetores unitários 22 22 0 0 22 22 22 0 22 22 0 22 222 24 12 0 ou seja 22 22 0 e 0 22 22 não são ortogonais logo 22 22 0 0 22 22 22 0 22 não é base ortonormal det12 0 12 12 12 0 0 12 12 123 0 122 0 0 0 0 S é conjunto LD com 3 vetores S V Resposta falso V subespaço vetorial de R3 tal que V W R3 ou seja V W v w v V w W R3 e V W 000 V W Seja v um dos vetores que gera V Como V W 2132 111 v 2132 v 111 v 2132 v 111 0 produto escalar Sejam xyz R v xyz xyz 2132 0 xyz 111 0 2x y 32 z 0 I x y z 0 II 1 05 075 1 12 34 02 02 0 15 15 0 058 025 025 2950 14 14 α1 12 34 β15 15 0 γ2950 14 14 α 15β 2950γ 12α 15β 14γ 34α 14γ 50α 10β 29γ 50 10α 4β 5γ 20 3α γ 4 3α γ 4 1 3α γ 4 γ 3α 4 10α 4β 5γ 20 10α 4β 15α 20 20 5α 4β 20 1 5α 4β 20 20 5α 4β β 54 α 1 P2 a0 a1 x a2 x2 px a0 a1 a2 e R a2 0 Deixa x2 e P2 quero encontrar px e P2 tal que x2 px x2 px x2 x2 0 0 x2 P2 ou seja P2 não tem vetor nulo logo não é espaço vetorial Resposta falso 1 II c x y z 0 z x y Substituindo em I 0 2x y 32 z 2x y 32 x y 2x y 32 x 32 y 42 x 2 y 32 x 32 y x2 12 y 12 y 12 x y x z x y x x 2x v x y z R3 y x z 2x x x 2x x R x 1 1 2 x R 1 1 2 combinações lineares de 1 1 2 v 1 1 2 v v V 1 1 2 x x 2x x R W 2 50α 252 α 87α 116 59 53 992 α 116 50 53 2503 2972 α 250 3116 250 348 98 α 2297 98 196297 ℝ Portanto 53 1 1 é combinação linear dos vetores Como os vetores são LI todos vetores de ℝ³ podem ser escritos como combinação linear deles