Prova Matematica Discreta Sequencias Recorrencia Divisibilidade e Proposicoes

SL TM QM QJ SV SS DD 1ª Questão Prove a seguinte proposição A diferença entre dois números consecutivos é ímpar 2ª Questão Mostre que se n é um inteiro e 3n 2 é ímpar então n é ímpar 3ª Questão Resolver a sequência de recorrência a seguir ak1 2ak Com primeiro termo igual a1 2 4ª Questão Dentre os números de 1 até 3600 inclusive quantos não são divisíveis nem por 5 nem por 7 1 Prova Sejam n e n1 dois inteiros consecutivos Queremos mostrar que n13 n3 é ímpar Temos n13 n3 n3 3n2 3n 1 n3 3n2 3n 1 Vejamos 3n2 é par Pois é produto de 3 ímpar por n2 par 3n é múltiplo de 3 Logo é ímpar pois n é inteiro lembrando par ou ímpar multiplicado por ímpar é ímpar 1 é ímpar Daí obtemos 3n2 3n 1 é a soma de três números onde dois são ímpares e um par Qualquer soma que inclua um número par resulta em um número ímpar Portanto n13 n3 3n2 3n 1 é um número ímpar 3 Considere a recorrência aₖ₁ 2aₖ a₁ 2 Primeiro vamos encontrar a fórmula para aₖ Temos a₁ 2 a₂ 2a₁ 22 2² a₃ 2a₂ 22² 2³ a₄ 2a₃ 22³ 2⁴ a₅ 2a₄ 22⁴ 2⁵ aₖ 2aₖ₁ 22ᵏ¹ 2ᵏ 2 Suponha que 3n2 é ímpar e n é par Se n é par então existe k Z tal que n 2k Logo 3n2 32k2 6k2 23k1 2m onde m 3k1 Z Portanto 3n2 é par Absurdo Pois por hipótese 3n2 é ímpar Contudo concluímos que n é ímpar Logo a Fórmula Fechada para aₙ é aₖ 2ᵏ Agora provaremos por indução que aₙ 2ᵏ k 1 Se k 1 então a₁ 2¹ 2 Logo vale a igualdade Suponha que para k m vale aₘ 2ᵐ então aₘ₁ 2ᵐ¹ De Fato aₘ₁ 2aₘ 22ᵐ 2ᵐ¹ Portanto k 1 aₖ 2ᵏ 4 Temos sejam A1 x x é divisível por 5 A2 x x é divisível por 7 então 1A1 720 Pois 36005 720 1A2 514 Pois 36007 514 inteiro divisíveis por 5 e 7 360057 360035 102 logo Total divisível por 5 e 7 T 1A1 1A2 102 720 514 102 1132 Portanto total de não divisíveis por 5 e 7 é total 3600 1132 2468 Portanto existem 2468 inteiros entre 1 e 3600 que não são divisíveis nem por 5 e nem por 7