Analogia da Viga Conjugada em Estruturas

Analogia da viga conjugada Teoria das Estruturas II Analogia da viga conjugada É uma alternativa para a análise de vigas hiperestáticas Se baseia na comparação entre as equações diferenciais de equilíbrio e de compatibilidade Nessa analogia a imposição de condições de compatibilidade de uma viga é substituída pela imposição de condições de equilíbrio em uma viga conjugada Analogia da viga conjugada Equações de equilíbrio Equações de compatibilidade 𝑑𝑀 𝑑𝑥 𝑄𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝜃𝑥 𝑑2𝑀 𝑑𝑥2 𝑞𝑥 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼𝑥 Comparação entre equações diferenciais de equilíbrio e compatibilidade para flexão de vigas Fonte Martha 2010 Analogia da viga conjugada A ideia é utilizar as equações de compatibilidade da viga real como se fossem equações de equilíbrio de uma viga fictícia chamada de viga conjugada com valores de carregamento esforço cortante e momento fletor indicados na tabela do próximo slide Analogia da viga conjugada VIGA REAL VIGA CONJUGADA 𝐶𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑞𝑥 𝑞𝐶𝑥 𝑀𝑥𝐸𝐼𝑥 𝐸𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑄𝑥 𝑄𝐶𝑥 𝜃𝑥 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑀𝑥 𝑀𝐶𝑥 𝑣𝑥 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝜃𝑥 𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑣𝑥 Analogia da viga conjugada Fonte Martha 2010 Analogia da viga conjugada Aplicações existem mais aplicações em outras literaturas cálculo de deslocamentos em vigas análise de vigas hiperestáticas para carregamentos arbitrários determinação de reações de engastamento de barras isoladas para carregamentos arbitrários que é um tipo de solução fundamental para o método dos deslocamentos dedução de coeficientes de rigidez de barras isoladas que é outro tipo de solução fundamental para o método dos deslocamentos análise de vigas submetidas a efeitos de variação transversal de temperatura Conversão de condições de apoio As restrições de apoio que são condições de compatibilidade da viga real são expressas em termos de deslocamentos transversais v e de rotações θ As restrições relativas a deslocamentos transversais na viga real devem ser convertidas em restrições com respeito a momentos fletores na viga conjugada As restrições que se referem a rotações são traduzidas para restrições impostas a esforço cortante Conversão de restrições de apoio para a viga conjugada Fonte Martha 2010 Roteiro do processo de Mohr analogia da viga conjugada 1 Conversão de restrições de apoio da viga real para a viga conjugada conforme indicado na tabela anterior 2 Determinação do diagrama de momentos fletores da vida real parametrizado pelos valores dos momentos fletores nas extremidades das barras 3 Determinação do carregamento na viga conjugada 𝑞𝑐 𝑀𝐸𝐼 O caso de barras com rigidez à flexão EI variável ao longo de seu comprimento é considerado no carregamento da viga conjugada 4 Imposição de condições de equilíbrio da viga conjugada Isso equivale a impor condições de compatibilidade na viga real Exemplo 1 Obter o diagrama de momentos fletores da viga 100 kN A C B D MD 8 m 6 m 6 m 𝑣𝐴 0 𝜃𝐴 0 𝑣𝐶 0 𝜃𝐶𝑒𝑠𝑞 𝜃𝐶𝑑𝑖𝑟 𝑣𝐷 0 𝜃𝐷 0 𝑀𝐵 𝑀𝐶 2 300 Mx x 300 MB MC MD VIGA REAL A C D 𝑀𝐴 𝐶 0 𝑄𝐴 𝐶 0 𝑀𝐶 𝐶 0 𝜃𝐶𝑒𝑠𝑞 𝐶 𝜃𝐶𝑑𝑖𝑟 𝐶 𝑀𝐷 𝐶 0 𝑄𝐷 𝐶 0 MBEI MCEI MDEI A C 300EI 1800EI MC6EI MC4EI MCEI MDEI MD4EI VIGA CONJUGADA 163 m 6 m 6 m 83 m 163 m 4 m 8 m 83 m Exemplo 1 Obter o diagrama de momentos fletores da viga 𝑀𝐶 𝐶 0 Exemplo 1 Obter o diagrama de momentos fletores da viga 4𝑀𝐶 𝐸𝐼 8 3 4𝑀𝐷 𝐸𝐼 16 3 0 8𝑀𝐶 16𝑀𝐷 0 𝑴𝑫 𝑴𝑪 𝟐 𝑀𝐴 𝐶 0 6𝑀𝐶 𝐸𝐼 8 1800 𝐸𝐼 6 4𝑀𝐶 𝐸𝐼 44 3 4𝑀𝐷 𝐸𝐼 52 3 0 24𝑀𝐶 5400 88 3 𝑀𝐶 104 3 𝑀𝐷 0 5400 160 3 𝑀𝐶 104 3 𝑀𝐷 0 1 2 1 Substituindo em 2 5400 160 3 𝑀𝐶 104 3 𝑀𝐶 2 0 5400 216 6 𝑀𝐶 0 𝑴𝑪 𝟏𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝒎 Exemplo 1 Obter o diagrama de momentos fletores da viga 𝑀𝐵 𝑀𝐶 2 300 𝑀𝐵 150 2 300 𝑴𝑩 𝟐𝟐𝟓 𝒌𝑵 𝒎 𝑀𝐷 𝑀𝐶 2 𝑀𝐷 150 2 𝑴𝑫 𝟕𝟓 𝒌𝑵 𝒎 Referências MARTHA L F Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Rio de Janeiro Elsevier 2010