Idealização do Comportamento de Barras na Teoria das Estruturas II

Idealização do comportamento de barras Teoria das Estruturas II Relações entre deslocamentos e deformações em barras Serão adotadas as seguintes hipóteses Teoria de vigas de Navier 17851836 para barras submetidas à flexão Efeitos axiais provocados por esforços normais à seção transversal da barra Desacoplamento dos efeitos axiais transversais e de torção Relações entre deslocamentos e deformações em barras Sistema de eixos locais de uma barra Fonte Martha 2010 ux deslocamento axial ou longitudinal na direção de x vx deslocamento transversal na direção de y θx rotação da seção transversal por flexão em torno do eixo z Relações entre deslocamentos e deformações em barras Os deslocamentos axiais ux e transversais vx de uma barra definem uma curva chamada elástica Elástica de uma viga engastada e em balanço com deslocamento transversal e rotação indicados com seus sentidos positivos Fonte Martha 2010 Relações entre deslocamentos e deformações em barras Usando a hipótese de pequenos deslocamentos podese aproximar a rotação da seção transversal pela tangente da elástica θ tgθ 𝜽 𝒅𝒗 𝒅𝒙 1 Deformações axiais Seções transversais de uma barra submetida a uma deformação axial permanecem planas o que garante a continuidade de deslocamentos no interior da barra 𝜺𝒙𝒂 𝒅𝒖 𝒅𝒙 2 Deslocamento axial relativo de um elemento infinitesimal de barra Fonte Martha 2010 dx comprimento original de um elemento infinitesimal de barra du deslocamento axial longitudinal relativo interno de um elemento infinitesimal de barra deformação normal na direção longitudinal devida ao efeito axial 𝜀𝑥𝑎 Deformações normais por flexão Hipóteses da teoria de vigas de Navier manutenção das seções transversais planas desprezar as deformações provocadas por efeitos de cisalhamento De acordo com essas hipóteses uma viga que se deforma à flexão permanece com as seções transversais planas e normais ao eixo deformado da viga Isso gera novas condições de compatibilidade que relaciona deformações normais por flexão com a rotação da seção transversal Deformações normais por flexão Rotação relativa por flexão de um elemento infinitesimal de barra Fonte Martha 2010 Deformações normais por flexão 𝜺𝒙 𝒇 𝒅𝜽 𝒅𝒙 𝒚 3 dθ rotação relativa interna por flexão de um elemento infinitesimal de barra deformação normal na direção axial ou longitudinal devida ao efeito de flexão 𝜀𝑥 𝑓 Deformações normais por flexão 𝒅𝜽 𝒅𝒙 𝟏 𝝆 4 1ρ curvatura da elástica transversal vx da barra ρ raio de curvatura da elástica transversal vx da barra Da figura anterior Deformações normais por flexão 𝜺𝒙 𝒇 𝒚 𝝆 5 A deformação normal por flexão em uma fibra genérica é proporcional à distância da fibra ao eixo x e à curvatura 1ρ da barra Reescrevendo a equação 3 em função da curvatura da barra Deformações normais por flexão 𝜺𝒙 𝒇 𝒅𝟐𝒗 𝒅𝒙𝟐 𝒚 6 A equação 6 é uma relação de compatibilidade entre o deslocamento transversal de uma barra e suas deformações normais por flexão A partir das equações 3 e 1 podese chegar a seguinte expressão Deformações normais por flexão 𝟏 𝝆 𝒅𝟐𝒗 𝒅𝒙𝟐 7 Observase que existe uma relação entre a curvatura e a derivada à segunda da elástica transversal vx em relação a x Essa relação é aproximada e é válida somente na condição de pequenos deslocamentos A partir das equações 4 e 1 podese chegar a seguinte expressão Relações diferenciais de equilíbrio em barras Para deduzir as relações de equilíbrio para um elemento infinitesimal de barra adotamse direções positivas de cargas distribuídas e esforços internos como mostrado na figura Equilíbrio de um elemento infinitesimal de barra e direções positivas adotadas para cargas distribuídas e esforços internos Fonte Martha 2010 Relações diferenciais de equilíbrio em barras px taxa de carregamento força longitudinal distribuída na barra qx taxa de carregamento força transversal distribuída na barra Nx esforço normal esforço interno axial ou longitudinal Qx esforço cortante esforço interno transversal de cisalhamento Mx momento fletor esforço interno de flexão Deformações normais por flexão 𝑭𝒙 𝟎 𝒅𝑵 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 𝟎 𝒅𝑵 𝒅𝒙 𝒑𝒙 8 O equilíbrio de forças no elemento infinitesimal nas direções horizontal e vertical resulta em 𝑭𝒚 𝟎 𝒅𝑸 𝒒 𝒙 𝒅𝒙 𝟎 𝒅𝑸 𝒅𝒙 𝒒𝒙 9 Deformações normais por flexão 𝑴𝑶 𝟎 𝒅𝑴 𝑸 𝒅𝑸 𝒅𝒙 𝒒𝒙 𝒅𝒙𝟐 𝟐 𝟎 𝒅𝑴 𝒅𝒙 𝑸𝒙 10 O equilíbrio de momentos em relação ao ponto O do elemento infinitesimal desprezando os termos de mais alta ordem resulta em Deformações normais por flexão 𝒅𝟐𝑴 𝒅𝒙𝟐 𝒒𝒙 11 Essa é uma relação de equilíbrio entre o momento fletor em uma seção transversal e a taxa de carregamento transversal distribuído Combinando as equações 9 e 10 temos como resultado Equilíbrio entre tensões e esforços internos A formulação geral do modelo matemático para o comportamento de barras também considera relações de equilíbrio no nível da seção transversal da barra que associam tensões com esforços internos como no exemplo da figura tensão normal na seção transversal da barra devida ao efeito axial tensão normal na seção transversal da barra devido à flexão 𝜎𝑥𝑎 𝜎𝑥 𝑓 Decomposição das tensões normais longitudinais em parcelas devidas aos efeitos axial e de flexão Fonte Martha 2010 Equilíbrio entre tensões e esforços internos No exemplo anterior é considerado um caso de flexão composta reta Nesse exemplo as tensões normais variam linearmente ao longo da altura da seção transversal devido às hipóteses adotadas seções transversais permanecem planas após a deformação e a consideração de comportamento linear para o material Na figura para o efeito axial as tensões são constantes ao longo da seção transversal e para efeito de flexão pura as tensões normais são nulas na fibra do centro de gravidade CG da seção Deformações normais por flexão න 𝑨 𝝈𝒙 𝒇𝒅𝑨 𝟎 𝑵 න 𝑨 𝝈𝒙𝒂𝒅𝑨 𝑵 𝝈𝒙𝒂 𝑨 12 A Área da seção transversal Então as relações de equilíbrio entre as tensões normais longitudinais e o esforço normal e momento fletor são න 𝑨 𝒚 𝝈𝒙𝒂𝒅𝑨 𝟎 𝑴 න 𝑨 𝒚𝝈𝒙 𝒇𝒅𝑨 13 Deslocamentos relativos internos O modelo matemático adotado para o comportamento de barras permite que as deformações tenham representações integrais no nível da seção transversal que têm significado físico e são chamadas deslocamentos relativos internos dux deslocamento axial longitudinal relativo interno de um elemento infinitesimal de barra dθ rotação relativa interna por flexão de um elemento infinitesimal de barra dh deslocamento transversal relativo interno de um elemento infinitesimal de barra dϕ rotação relativa interna por torção de um elemento infinitesimal de barra Deslocamento axial relativo interno provocado por esforço normal Para o efeito axial o deslocamento relativo interno provocado por um esforço normal atuando em um elemento infinitesimal de barra 𝑵 𝝈𝒙𝒂 𝑨 𝑬 𝜺𝒙𝒂 𝑨 𝑵 𝑬𝑨 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝑵 𝑬𝑨 𝒅𝒙 14 Deslocamento axial relativo de um elemento infinitesimal de barra provocado por esforço normal Fonte Martha 2010 Rotação interna provocada por momento fletor Para o efeito de flexão temse uma relação entre o momento fletor e a rotação relativa de um elemento infinitesimal de barra 𝑴 න 𝑨 𝒚 𝝈𝒙 𝒇𝒅𝑨 න 𝑨 𝒚 𝑬 𝜺𝒙 𝒇𝒅𝑨 න 𝑨 𝒚 𝑬 𝒅𝜽 𝒅𝒙 𝒚 𝒅𝑨 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝜽 𝒅𝒙 15 Rotação relativa interna por flexão de um elemento infinitesimal de barra provocada por momento fletor Fonte Martha 2010 propriedade geométrica da seção transversal chamado momento de inércia à flexão da seção transversal em relação ao eixo z 𝐼 න 𝐴 𝑦2𝑑𝐴 Rotação interna provocada por momento fletor O momento de inércia à flexão da seção transversal é uma propriedade geométrica que depende de sua orientação com respeito ao plano onde ocorre a flexão da barra A resistência à flexão é maior quanto maior o momento de inércia da seção transversal Comparação entre configurações deformadas de vigabiapoiada com seção retangular em pé e deitada Fonte Martha 2010 Rotação interna provocada por momento fletor A partir da equação 15 a rotação relativa interna por flexão é dada por 𝒅𝜽 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒙 16 A partir das equações 4 e 16 obtémse uma importante relação entre a curvatura da viga e o momento fletor 𝟏 𝝆 𝑴 𝑬𝑰 17 Tensões normais provocadas por efeitos axial e de flexão Os efeitos axial e de flexão se sobrepõem para a distribuição de tensões normais ao longo da seção transversal como pode ser visto na figura Tensões normais provocadas por efeitos axial e de flexão O efeito axial provoca uma distribuição uniforme de tensões normais 𝝈𝒙𝒂 𝑵 𝑨 18 A relação entre a deformação normal por flexão e a curvatura é dada por 𝝈𝒙 𝒇 𝒚 𝑬 𝒚 𝝆 19 A partir da equação 17 obtémse a expressão para a distribuição de tensões normais provocadas por um momento fletor M em uma seção transversal 𝝈𝒙 𝒇 𝒚 𝑴 𝒚 𝑰 20 Tensões normais provocadas por efeitos axial e de flexão Com base na equação 20 podese determinar as tensões nos bordos superior e inferior de uma seção transversal submetida a momento fletor 𝝈𝒔 𝒇 𝑴 𝒚𝒔 𝑰 𝑴 𝑾𝒔 21 𝝈𝒊 𝒇 𝑴 𝒚𝒊 𝑰 𝑴 𝑾𝒊 22 Tensões normais provocadas por efeitos axial e de flexão 𝜎𝑠 𝑓 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑛𝑜 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝜎𝑖 𝑓 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑛𝑜 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑦𝑠 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 à 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑦𝑖 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 à 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑊𝑠 𝐼 𝑦𝑠 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 à 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑊𝑖 𝐼 𝑦𝑖 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 à 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 Tensões normais provocadas por efeitos axial e de flexão A distribuição da tensão normal na seção transversal resultante do efeito axial combinado com o efeito de flexão é obtida pelas equações 18 e 20 𝝈𝒙𝒚 𝑵 𝑨 𝑴 𝒚 𝑰 23 𝝈𝒔 𝑵 𝑨 𝑴 𝑾𝒔 24 Então as tensões nos bordos superior e inferior são respectivamente 𝝈𝒊 𝑵 𝑨 𝑴 𝑾𝒊 25 Equação diferencial para o comportamento axial 𝒅 𝒅𝒙 𝑬𝑨𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝒑𝒙 26 27 Para uma barra prismática temse 𝒅𝟐𝒖 𝒅𝒙𝟐 𝒑𝒙 𝑬𝑨 Equação de Navier para o comportamento à flexão 𝒅𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝑬𝑰𝒙 𝒅𝟐𝒗 𝒅𝒙𝟐 𝒒𝒙 28 29 Combinando a equação 28 com a 7 chegase a 𝒅𝟐𝒗 𝒅𝒙𝟐 𝑴𝒙 𝑬𝑰𝒙 Para o caso geral de momento de inércia I variável ao logo da barra Para o caso de barra prismática 30 𝒅𝟒𝒗 𝒅𝒙𝟒 𝒒𝒙 𝑬𝑰 Referências MARTHA L F Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Rio de Janeiro Elsevier 2010