Lista de Exercícios - Cálculo I - Derivadas e Aplicações

1 Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará Programa Forma Pará Curso de Engenharia Mecânica Disciplina EMTA01081 Cálculo I Turma 2022 Período 20214 Profa Edilma Pereira Oliveira Discente Observações Importantes A 2ª Atividade deve ser entregue no dia 18062022 às 23h59min A 2ª Atividade é formada uma lista de exercícios Derivadas A 2ª Atividade deve ser respondida de lápis visível ou caneta preta ou azul em qualquer tipo de papel sem rasuras ou sujeiras A capa das respostas é a própria lista cedida ao vocês escaneiem e transforme o documento em um único pdf contendo nome completo do discente Não será aceito respostas das listas feitas em rascunhos sem organização e sem letra legível Esta 2ª Atividade vale 20 pontos previsto na 2ª Prova da Unidade II do Plano de cursos apresentado no primeiro dia de aula e já é uma revisão para a primeira prova Não aceito questões idênticas aos dos colegas cada aluno elabore a sua mesmo que estudem juntos cada um tem uma interpretação e dissertação diferente A lista é respondida de forma dissertativa Questões não dissertadas não serão aceitas na pontuação Atividade 2 Derivadas Questão 1 Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa Em cada item utilizando os conhecimentos de cálculo justifique a sua resposta a Se f0 0 e f0 1 então lim x0 fxx 1 b Se a reta y 3x 1 é tangente ao gráfico de uma função f em x 0 então f1 2 e f1 3 c Se f é uma função tal que f1 1 e f1 2 então fx 2x 1 Questão 2 Sabendo que f é uma função derivável em x 1 com f1 2 e lim x1 fx 3 ache a equação da reta tangente ao gráfico de f em x 1 Questão 3 Encontre a reta tangente a curva no ponto dado Plote os gráficos em uma calculadora gráfica a y 4x 3x2 2 4 b y sqrtx 1 1 c y 2x1x2 1 1 Questão 4 Seja fx x2 a Estime os valores de f0 f12 f1 f2 fazendo uso de uma ferramenta gráfica para dar um zoom no gráfico de f b Use de simetria para deduzir os valores de f12 f1 f2 Questão 4 Encontre as derivadas da função dada usando a definição Diga quais são os domínios da função e da derivada a fx 12x 13 b ft 5t 9t2 c fx x sqrtx d fx x3 3x 5 Questão 5 As derivadas a esquerda e a direita de F em a são definidas por Questão 01 a VERDADEIRO Tratase de um caso particular da regra de LHospital lim x0 fxx f00 00 indeterminação Então por LHospital lim x0 fx1 f0 1 hipótese b FALSO y 3x 1 y 1 3x 0 f0 f0 c FALSO Contraexemplo gx x2 g1 1 e gx 2x g1 2 Mas gx x2 fx 2x 1 QUESTÃO 2 Como f é derivável em x 1 então é continua nesse ponto Assim lim x1 fx f1 3 Como f1 2 segue que a equação da tangente é y f1 f1x 1 y 3 2x 1 DÚVIDAS ENTRE EM CONTATO 98 982292954 fa lim x0 fah fah e fa lim x0 fah fah Se esses limites existirem Então fa existe se e somente se essas derivadas unilaterais existirem e forem iguais a Encontre f4 e f4 para a função fx 0 se x 0 5 x se 0 x 4 15x se x 4 b Esboce o gráfico de f c Onde f é descontínua d Onde f não é diferenciável Questão 6 Use a definição de derivadas para encontrar fx e fx A seguir trace o gráfico de f f f em uma mesma tela e verifique se são razoáveis a fx 3x2 2x 1 b fx 3x2 3x Questão 3 a y 4x 3x2 2 4 yx 4 6x y2 4 62 8 Assim y y2 y2x 2 y 4 8x 2 y 8x 16 4 8x 12 b y sqrtx 1 1 yx 1 2 sqrtx y1 12 Assim y y1 y1 x 1 y 1 12 x 12 y 12 x 12 3 c y 2x 1 x 2 1 1 yx 2x 2 1 2x 1 x 22 2x 4 2x 1 x 22 3 x 22 y1 13 Assim y y1 y1 x 1 y 1 13 x 1 y 13 x 23 Questão 4 a fx fx h fx h f0 fh f0h h2 0h h 0 f12 f12 h f12h 12 h2 14 h 14 h h2 14h hh 1h h 1 h 0 1 f1 1 h2 1h 1 2h h2 1h hh 2h h 2 2 f2 2 h2 4h 4 4h h2 4h hh 4h h 4 4 b Fazendo uso da simetria temos que as inclinações das tangentes nos pontos 12 1 2 são contrárias às inclinações das tangentes nos pontos 12 1 2 respectivamente Logo f12 1 f1 2 e f2 4 Questão 4 Denovo a Df R Df R fx1 lim h0 fxh fx h lim h0 12 xh 13 12 x 13 lim h0 12 h h lim h0 12 12 b 5t 9t2 lim h0 fth fth lim h0 5th 9th2 5t 9t2 h lim h0 5h 18th 9h2 h lim h0 5 18t 9h 5 18t Df R Df R c fx x sqrtx lim h0 fxh fxh lim h0 xh sqrtxh x sqrtx h lim h0 h sqrtxh sqrtx h lim h0 1 lim h0 sqrtxh sqrtx h 1 lim h0 xh x hsqrtxh sqrtx 1 lim h0 1 sqrtxh sqrtx 1 1 2 sqrtx Df R Df R 0 d fx x3 3x 5 lim h0 fxh fxh lim h0 xh3 3xh 5 x3 3x 5h lim h0 3x2 h 3x h2 h3 3h h lim h0 3x2 3x h h2 3 3x2 3 Df R Df R QUESTAO 5 a f4 lim h0 f4h f4h lim h0 5 4 h 1h lim h0 hh lim h0 1 1 f4 lim h0 f4h f4h lim h0 154h 1h lim h0 1 1 hh1h lim h0 11h 1 b y 5 1 4 5 c Observe que Df R 5 e que é contínua em todos os pontos do seu domínio exceto em x 0 pois lim x0 x 0 lim x0 5x 5 d f é diferenciável em todos os pontos do seu domínio exceto na descontinuidade x 0 e em x 4 pois f4 f4 QUESTAO 6 a fx 3x2 2x 1 lim h0 fxh fxh lim h0 3xh2 2xh 1 3x2 2x 1 h lim h0 6x h 3h2 2hh lim h0 6x 3h 2 6x 2 fx lim h0 fxh fxh lim h0 6xh 2 6x 2h lim h0 6hh lim h0 6 6 fx B fx 3x2 3x lim fxh fx h lim 3xh2 3xh 3x2 3x h h0 h0 lim 6xh 3h2 3h h lim 6x 3 3h 6x 3 fx h0 h0 fx lim fxh fx h lim 6xh 3 6x 3 h h0 h0 lim 6h h lim 6 6 h0 h0 Agradeço muito se puder dar uma boa avaliada pro seu Guru Muito Obrigado e até a próxima