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Engenharia Mecânica ·
Cálculo 1
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Unifessa Engenharia Mecânica Programa Forma Pará Polo Universitário de Tailândia EMTAD0181 Cálculo I Turma 2021 Períodos 2021 Profª Edilma Quirina Oliveira Unidade 2 Derivadas Gabavit da Prova 2 A curva y 11x² é chamada de curva de Inária Agnís Note que a curva é contínua no ponto 1 13 a Para encontrar a equação da reta tangente à curva y 11x² no ponto 1 13 é necessário derivar a curva em relação a x para obter a inclinação da curva em relação a x ou seja fx m Então y fx 11x² 12x1x²² 2x1x²² que é a inclinação da reta tangente No ponto 1 13 temos que a inclinação da reta tangente é f1 y1 2111²² 211² 24 12 Sabemos que a equação da reta tangente é dada por y y₀ fxx x₀ e P 1 13 x₀ y₀ Então y 13 12x 1 y 12x 13 Logo y 12x 13 Portanto a equação da reta tangente à curva y 11x² no ponto 1 13 é y 12x 13 A figura abaixo mostra o gráfico da função y 11x² e a equação da reta tangente no ponto 1 13 é y 12x 13 Inicialmente temos fx 1x que é uma função contínua desde que x 1 Sabendo que f0 10 1 1 logo fx é definida em x 0 e a 0 Derivando fx em relação a x e aplicando em a 0 temos fx 1x12 121x321 121x12 Calculando o coeficiente angular da reta tangente no ponto a 0 temos f0 1210 12 Sabendo que a equação de linearização é dada por Lx fa faxa e sabendo que a 0 f0 1 f0 12 temos Lx 1 12x0 1 12x Logo a aproximação linear é dada por Lx fa faxa o que corresponde a fx 1 12x Aproximando de 09 temos 09 1 12x01 095 e para 009 temos 009 1 12x001 0995 Que significa uma boa aproximação pela reta tangente Cálculo das derivadas de primeira e segunda ordem gt t³ cost Assim ft t³ e ht cost ambas funções contínuas nos R Aplicando a derivada do produto onde gt ftht ftht Então ft 3t² cost t³ sent Portanto fx 9443x³ Partícula se move sobre uma reta vertical de forma que usa coordenada no tempo t vista y t³ 12t 3 t 0 a A posição da partícula é dada pela função polinomial contínua mas St ft t³ 12t 3 Sabendo que a função relacionada é a derivada da função posição temos vt St dStdt ddt t³ 12t 3 Logo vt 3t² 12 A função aceleração é a derivada da função velocidade de ou a derivada segunda da função posição ou seja at dvdt ddt3t² 12 Então at 6t b Como a partícula se move sobre uma reta vertical para cima vt 0 e para baixo vt 0 Desta forma vt 0 3t² 4 0 3t 2t 2 0 Essa desigualdade é verdadeira quando t 2 Quando a partícula se move na vertical para baixo e quando v 0 ou seja quando 0 t 2 c Para encontrar a distância percorrida durante o intervalo de tempo 0 t 3 ou 10 12 e 23 para St t³ 12t 3 temos i Distância percorrida de t 0 até t 1 é f1 f0 1³ 121 3 3 183 11 m ii Distância percorrida de t 1 até t 2 f2 f1 2³ 122 3 1³ 121 3 1 13 8 5 m iii Distância percorrida de t 2 até t 3 f3 f2 3³ 123 3 2³ 122 3 6 13 7 m Portanto a distância total percorrida é St 11 m 5 m 7 m St 23 m para 0 t 3
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