Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo I - Derivadas e Aplicações

4 Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará Programa Forma Pará Curso de Engenharia Mecânica Disciplina EMTA01081 Cálculo I Turma 2022 Período 20214 Profa Edilma Pereira Oliveira Discente Observações Importantes A Atividade Extra deve ser entregue no dia 19062022 às 23h59min A Atividade Extra é formada uma lista de exercícios Derivadas A Atividade Extra deve ser respondida de lápis visível ou caneta preta ou azul em qualquer tipo de papel sem rasuras ou sujeiras A capa das respostas é a própria lista cedida ao vocês escaneiem e transforme o documento em um único pdf contendo nome completo do discente Não será aceito respostas das listas feitas em rascunhos sem organização e sem letra legível Esta Atividade Extra vale 20 pontos previsto na 2ª Prova da Unidade II do Plano de cursos apresentado no primeiro dia de aula e já é uma revisão para a primeira prova Não aceito questões idênticas aos dos colegas cada aluno elabore a sua mesmo que estudem juntos cada um tem uma interpretação e dissertação diferente A lista é respondida de forma dissertativa Questões não dissertadas não serão aceitas na pontuação 5 Atividade 2 Derivadas Parte 2 As questões foram retiradas do Livro Stewart James Cálculo 1 7ª Edição Editora Cengage São Paulo 2016 As questões são referentes Capítulo 3 Regras de Derivação e ao Capítulo 4 Aplicações de Derivadas itens 41 42 43 e 44 Para quem resolver toda a lista com as 30 questões tem 20 pontos extra para somar a prova Capítulo 3 Regras de Derivação 31 a 211 Páginas 164 a 166 Devem responder as seguintes questões Questão 1 Derive as funções 7 9 e 27 Questão 2 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado 33 35 Questão 3 Encontre a primeira e segunda derivada das funções 43 e 45 Questão 4 Resolva o problema 48 Páginas 171 a 172 Devem responder as seguintes questões Questão 5 Derive as funções 3 7 e 11 Questão 6 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado 31 33 Questão 7 Resolva o problema 51 Páginas 178 a 179 Devem responder as seguintes questões Questão 8 Derive as funções 3 7 11 e 15 Questão 9 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado 25 Questão 10 Resolva o problema 35 Páginas 185 a 187 Devem responder as seguintes questões Questão 11 Derive as funções 7 21 e 31 Questão 12 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado 53 Questão 13 Resolva o problema 79 6 Páginas 194 a 196 Devem responder as seguintes questões Questão 14 Derive as funções 5 9 e 11 Questão 15 Resolva o problema 71 Páginas 201 Devem responder as seguintes questões Questão 16 Derive as funções 3 11 e 21 Questão 17 Derive f e encontre o domínio de f 27 e 29 Páginas 210 a 213 Devem responder as seguintes questões Questão 18 7 17 e 31 Páginas 218 a 220 Devem responder as seguintes questões Questão 19 2 Páginas 223 a 226 Devem responder as seguintes questões Questão 20 11 Páginas 229 a 231 Devem responder as seguintes questões Questão 21 Encontre a linearização da função em a 1 e 3 Questão 22 Resolva 32 35 Páginas 236 a 237 Devem responder as seguintes questões Questão 23 Encontre a derivada 30 31 e 33 Capítulo 4 Aplicações de Derivadas itens 41 42 43 e 44 Páginas 253 a 255 Devem responder as seguintes questões Questão 24 Esboce o gráfico e encontre os valores de máximo e mínimo local 15 21 e 27 Questão 25 Encontre os números críticos da função 29 35 40 e 43 Questão 26 Encontre os valores de máximo e mínimo absolutos da função 47 51 e 54 Páginas 261 a 262 Devem responder as seguintes questões 7 Questão 27 Resolva 17 e 18 Páginas 269 a 272 Devem responder as seguintes questões Questão 28 Resolva 9 11 e 13 Questão 29 Resolva 22 e 61 Páginas 278 a 280 Devem responder as seguintes questões Questão 30 Encontre o limite usando a regra de lHôspital 7 9 11 15 19 47 Questão 1 Vamos usar as regras básicas de derivação para calcular este uma das funções 7 fx x³ 9 y 6 fx 3x²9 9 gx x²1 2 x gx 2x12x x²2 gx 2x 4x² 2x² gx 6x² 2x 27 Hx 1 x²¹³ Hx 31 x²¹²12x Hx 31 x²¹2x Questão 2 A equação da reta tangente é dada por y y₀ fx₀x x₀ portanto 33 y x¹⁴ y 14 x³¹⁴ f1 14 x 34 14 Logo a equação da reta tangente y 1 14x1 y 1 14 x 14 y 14 x 34 34 y 4x³ 4x 7 f1 4 4 7 7 Logo a equação da reta tangente y 2 7x 1 y 7x 7 2 y 7x 5 35 y 4x² 2eˣ f0 0 2e⁰ 2 Logo a equação da reta tangente y 2 2x 0 y 2x 2 Digitalizado com CamScanner Questão 3 Vamos encontrar a derivada de 2º ordem de cada função 43 fx 10x¹⁰ 5x⁵ x fx 100x⁹ 25x⁴ 1 fx 900x⁸ 100x³ 45 fx 2x 5x³¹⁴ fx 2 154 x¹¹⁴ fx 7516 x⁵¹⁴ Questão 4 a A velocidade é dada por 𝑽 𝒅𝒔𝒅𝒕 4t³ 6t² 2t 1 Já a aceleração é a dVdt 12t² 12t 2 b Temos o seguinte para a1 a1 12 12 2 a1 2 ms² c Desenho gráfico com os eixos t e a m s Digitalizado com CamScanner Questão 5 Vamos utilizar a regra do produto e do quociente para calcular os derivados 3 fx 13x²2eˣ eˣx³2x 7 fx 32x13x1212x1² fx 6x36x212x1² fx 512x1² 11 fy 2y³ 12y⁵y¹⁵ 1y² 3⁴1 15y² fy 14x³ 9y⁴ 5 Questão 6 31 y 2xx² x 1 x² 12x 1x² x 1² y 2x³ 2x² 2x 2x³ x² x 2x 1x 1x² x 1² y x² x 1x² x 1² f1 1411112 69 23 Logo a equação da reta tangente y 23 x 1 y 23 x 23 33 y 2xeᵡ 2eˣ f0 0 2e⁰ 2 Logo a equação da reta tangente y 2x 0 y 2x Questão 7 Vamos usar utilizando a regra do produto e do quociente para calcular os seguintes a y 7gx xgx y gx xgx b y 2gx xgxgx² y 2gx xgxgx² c y gx1x gxx² Digitalizado com CamScanner Questão 8 Vamos utilizar os conceitos de derivadas trigonométricas para calcular os derivados 3 fx 12 sin x cos x fx 12 cos x sen2 x 7 hθ cot θ sec θ e0 cot θ e0 sec2 θ hθ cot θ sec θ e0 cot θ e0 sec θ 11 tθ sec θ tan θ 1 sec θ sec θ tan θ sec θ 1 sec θ2 tθ sna 1 cos θ2 15 tx 1 ex sec x ex sec x ex cot x sec x x tx ex sec x 1 x ex sec x ex cot x sec x x Questão 9 Vamos aplicar a regra do produto juntamente com as derivadas trigonométricas para resolver este problema y 2 7 sen x x cos x y 2 sen x x cos x yπ2 21 0 2 Logo a equação da reta tangente é Y 17 2x π2 Y 2x Questão 10 a A velocidade é dada por V dxdt 8 cos t A aceleração é dada por a dVdt 8 sen t Digitalizado com CamScanner b1 Vamos aplicar o ponto t 2π3 nas equações obtidas x2π3 8 sen 2π3 8 3 2 43 cm V2π3 8 cos 2π3 8 12 4 cms a2π3 8 sen 2π3 8 3 2 43 cms2 Questão 11 Neste exercício vamos utilizar a regra do cotério para calcular as derivadas 3 y 10 1 x29 2x y 20x 1 x29 27 y 3 x2 1 x2 12 4x x2 12 y 12x x2 12 x2 14 71 Fx 5 x4 3x2 2 4x3 6x Fx 20x3 30x x4 3x2 24 37 y cos tan 2x sec2 2x 2 y 2 cos tan 2x sec2 2x Questão 12 y cos sen x cos x f11 cos sen 11 cos 11 7 1 7 Logo a equação da reta tangente é y 11 x 11 y x 11 Questão 13 A velocidade é dada por V dsdt logo V 14 cos 10πt 10π V 5π 2 cos 10πt cms Questão 14 Vamos utilizar a derivação implícita para calcular dydx sem custo caro 51 ddx x3 y3 ddy 1 3x2 3y2 y 0 3y2 y 3 x2 y x2 y2 91 ddx x4 x y ddx y3 3x y x4 1 y x y 4x3 y3 y 3x y 2y y x4 x4 y 4x3 4x y 3y2 y 6x y y 2y2 y x4 3y2 y 6x y y 3y2 5x4 4x3 y 1 x4 3 y2 6x y y 3 y2 5x4 4x3 y y 3 y2 5x4 4x3 y x4 3 y2 6x y 111 ddx x2 y2 x sen y ddx 4 2x y2 y x2 sen y x cos y y 0 2x y2 y x cos y y 2x y2 sen y 2x y x cos y y 2x y2 sen y 2x y x cos y Digitalizado com CamScanner Questão 15 a Antes de dividir vamos realizar algumas modificações na equação p m2cv2V mb mRT PV Pmb m2cV m2cbv3 mRT Aplicando agora dVdp temos ddpPV Pmb m2cV2 m3cbV3 ddpmRT PV V mb m2cV2 V 3m3cbV3 V 0 VP m2cV2 3m3cbV3 mb V V mb V P m2cV2 3m3cbV3 b Temos o seguinte dVdP 1017004867 70 35103 7135922 170 27335922 1004867 dVdP 404 L atm Questão 16 Vamos utilizar os conceitos de derivada logarítmica para calcular cada uma das questões 31 fx cosln x 1x fx cosln xx 11 gx 1x sqrtx2 1 2x21 sqrtx2 1 gx 2x21xx2 1 27 y 1 log10 sqrtx x 2ln 10x y log10 x 1ln 10 Questão 17 27 fx 1 lnx11 x1x1 1 lnx12 x11 lnx1 x x1 1 lnx12 fx 2x 1 x1 lnx1 x11 lnx12 Domf x x 0 e 1 lnx1 0 Domf 1 1e U 1e 28 fx 2 x22x 2x2 2x1 xx2 Domf x xx2 0 Domf 0 U 2 Questão 18 7a A velocidade é dada por dhdt V dhdt 245 98t Para t 2 e t4 temos V2 245 982 V4 245 984 V2 49 ms V4 147 ms b A altura máxima ocorre quando dhdt 0 245 98t 0 t 24598 25 s c A altura máxima é h25 h25 2 24525 49252 h25 2 6125 30625 h25 32625 m d O projétil atinge o solo quando h 0 logo 49t2 245t 2 0 Aplicando Bhaskara temos t 245 sqrt2452 4492 249 508 s 31 A velocidade final é dada por V508 V508 245 98508 V508 253 ms 77 A densidade linear é dada por dfdx dfdx p 6x a P1 61 6 Kgm b P2 62 12 Kgm c P3 63 18 Kgm 311 c A função custo marginal é cx cx Cm 12 02x 00015 x² b c200 12 02 200 00015 200² c200 32 O custo marginal representa o quanto a taxa dos custos estará aumentando quando x 200 Questão 19 2 a Vamos encontrar a taxa relativa Pt P₀e ᵏt 2 60e ²⁰ᵏ 130 e²⁰ᵏ ln 130 ln e²⁰ᵏ Ƙ ln 3020 017 b Podemos rewolver a seguinte expressão Pt 60 e⁰¹⁷ᵗ c P81 60 e⁰¹⁷⁸¹ P81 154 d Pt 60 e⁰¹⁷ᵗ 017 P81 102 e⁰¹⁷ᵗ P81 102 e⁰¹⁷⁸¹ P81 262 9 20000 60 e⁰¹⁷ᵗ 10003 e⁰¹⁷ᵗ ln 10003 ln e⁰¹⁷ᵗ t ln 10003 017 3417 Questão 20 11 Temos o seguinte Y5730 12 Y0 Y0 e⁵⁷³⁰ᵏ 12 Y0 e⁵⁷³⁰ᵏ 12 k ln 2 5730 Agora para encontrar o idade do péptino 074 eᵗ ln 25730 ln 074 ln eᵗ ln 25730 t 5730 ln 074 ln 2 2489 anos Questão 21 1 O volume do cubo é dado por V x³ logo dVdt dVdx dxdt 3x² dxdt 3 A área do quadrado é A l² logo dAdt 2l dldt Se a área é A 16 então l 4 dAdt 2 4 6 48 cm² D Questão 22 30 Temos que o volume é V π r h² 13 h³ Derivando em relação ao tempo temos dVdt π 2r h dhdt h² dhdt dhdt 1π 2 r h h² dVdt Temos que dVdt 2000 cm³ min então dhdt 2000 π 2r h h² cm³ min 35 Temos que R₁ 80 e R₂ 100 então 1r 1R₁ 1R₂ 1r 180 1100 R 4009 Dividindo R temos dRdt R21R12 dR1dt 1R32 dR3dt com R180 e R3100 dRdt 400722 1802003 11002 002 707810 0132 Ωh Questão 23 30 Tomos a derivada de uma constante ddx 17010 0 no entanto para utilizar a aproximação linear tomas ddx 17016 17015 706 31 fx ln x fx 1x f1 1 A aproximação linear para x1 f1 f1x1 0 1x1 x1 Então ln 105 1051 005 33 O volume é V x3 a dVdx 3x2 dx Quando X 30 dV 330201 270 O erro é dado por ΔVV dVV 3x2 dxx3 3 0130 001 100 1 b A área de superfície é S 6x2 logo ΔSdx 12x dx 123001 36 O erro relativo ΔSS dSS 12x dx6x2 2 0130 100 06 Questão 24 15 Tomos qui x 3 34 o Ponto máximo 27 π2 x π2 y 1 Ponto máximo π2 1 Ponto mínimo π2 1 22 Tomos qui fx 1x 0 x 2 2x4 2 x 3 132 o Ponto máximo Questão 25 29 fx 5x2 4x fx 10x 4 10x 4 0 x 410 25 35 gy y2 y 1 y1 2y 1y2 y 12 gy y2yy2 y 12 y2yy2 y 12 0 y0 e y2 40 gθ 4 sec2 θ 4 sec2 θ 0 sec θ 2 θ π3 2kπ θ 5π3 2kπ θ 2π3 2kπ θ 4π3 2kπ 43 fx x23e3x e3x 2x fx xe3x 3x 2 xe3x 3x 2 0 Logo x0 e x 23 Questão 26 47 fx 4 2x 4 2x 0 x2 f2 16 Máximo f5 7 Mínimo 51 fx 12x3 12x2 24x 12 xx1x2 0 f2 33 Máximo f2 27 Mínimo 54 fx 7x7 1x2 x 12 x 1 f1 7 Máximo Questão 27 77 se f11 211160 se f0 10 como fc fb 0 cqd 78 x3 ex 0 1 ex3x com x3 μ e x 3 μ 1 eμ 13μ x 3 w0 13 Questão 28 91 a fx 6x2 6x 36 6x2 6x 36 0 6x 3x 2 0 x 3 e x 2 crescents 3 decrescents 2 decrescents 2 crescents 32 b Temos que f3 81 máximo f2 44 mínimo c fx 12x 6 12x 6 0 x 12 como x 12 12 côncavo para cime 12 côncavo para baixo p 12 372 Digitalizado com CamScanner 71 a fx 4x3 4x 4x3 4x 0 4xx2 4 0 4x x 2x 1 0 x 1 e x 1 decrescents 1 crescents 10 decrescents 01 crescents 1 b Temos que f0 3 máximo f1 2 mínimo c fx 12x2 4 12x2 4 0 x2 13 x 1sqrt3 côncavo para cime 33 côncavo para baixo 33 p 1sqrt3 229 73 a fx cos x 5 sin x cos x 5 sin x 0 cos x 5 sin x 1 5 tan x cos x tan x 7 x 74 em 5π4 crescents 0 114 π decrescents 114 π 514 π crescents 514 π 27π b Temos que f74 2 máximo f514 2 mínimo Digitalizado com CamScanner c fx 5 sin x cos x 5 sin x cos x tan x 1 x 3π4 ou 11π 4 côncavo para cime 3π4 77π4 côncavo para baixo 0 3π4 p 3π4 10 77π4 10 Questão 29 22 a fx 4x3x73 3x4 x72 4x3 x73 3x4 x72 0 x 0 x 77 x 7 b Mostre os pontos críticos e os intervalos onde é crescente e para cima e para baixo c Mostre os pontos de máximo e mínimo local 61 a A taxa inicial é pequena e aumentando até atingir um valor máximo para t 8 b Para t 8 h c côncavo para cime 08 côncavo para baixo 8 d Quando t 8 o número de célutos é aproximadamente 350260 p8 350 Questão 30 Em este exercício usamos a lHospital para calcular os limites Digitalizado com CamScanner 7 lim x21x1 lim 2xx1 2 9 lim x3 2x2 1 x3 1 lim 3x2 4x 3x2 343 13 11 lim cos x 1 sin x x pi2 lim 5mx cos x x pi2 lim tan x oo 15 lim 1 5mA 1 cos A lim cos A 2 sin A lim sin A 4 cos A 14 79 lim ln x sqrtx lim 1x 2 sqrtx lim 2 sqrtx 0 47 lim ln x tgpi x2 lim ln x cotpi x2 lim 1x pi2 csc2pi x2 2pi