Lista de Exercícios Cálculo I - Funções, Modelos e Limites

1 Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará Programa Forma Pará Curso de Engenharia Mecânica Disciplina EMTA01081 Cálculo I Turma 2022 Período 20214 Profa Edilma Pereira Oliveira Discente Observação A 1ª Atividade deve ser entregue no dia 13062022 às 23h59min A 1ª Atividade é formada por duas listas de exercícios contendo dois assuntos Funções e Modelos e Limites e Continuidade A 1ª Atividade deve ser respondida de lápis visível ou caneta preta ou azul em qualquer tipo de papel sem rasuras ou sujeiras A capa das respostas é a própria lista cedida ao vocês escaneiem e transforme o documento em um único pdf contendo nome completo do discente Não será aceito respostas das listas feitas em rascunhos sem organização e sem letra legível Esta 1ª Atividade vale 20 pontos previsto na 1ª Prova da Unidade I do Plano de cursos apresentado no primeiro dia de aula e já é uma revisão para a primeira prova Não aceito questões idênticas aos dos colegas cada aluno elabore a sua mesmo que estudem juntos cada um tem uma interpretação e dissertação diferente A lista é respondida de forma dissertativa Questões não dissertadas não serão aceitas na pontuação 2 1ª Lista Funções e Modelos Questão 1 Nos itens abaixo diga se o problema pode ser resolvido com seus conhecimentos de ensino médio vamos chamar de précálculo ou se são necessários conhecimentos de cálculo I Se o problema pode ser resolvido com précálculo resolvao Se lhe parece que o problema requer o cálculo I explique seu raciocínio e use uma abordagem numérica eou gráfica para fazer uma boa estimativa da solução a Calcular a área da região limitada pelas retas 𝑥 1 𝑥 3 2𝑥 𝑦 8 e pelo eixo 𝑥 b A altura de um objeto 𝑡 segundos após ter sido abandonado de uma altura de 500 metros é 𝑆𝑡 49𝑡2 500 Qual a velocidade média do objeto durante os primeiros 3 segundos c Calcular a área da região limitada pelo gráfico da função 𝑓𝑥 𝑥2 pelo eixo 𝑥 pelas retas 𝑥 0 𝑥 3 Questão 2 Diga se a afirmação é verdadeira ou falta Em cada item justifique a sua resposta a Se 𝑓 é uma função e 𝑓𝑎 𝑓𝑏 então 𝑎 𝑏 b A função 𝑓𝑥 𝑥5 4𝑥3 2 é uma função ímpar c O gráfico da função 𝑓𝑥 5𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 é simétrico em relação ao eixo 𝑦 d O gráfico da função 𝑦 𝑓𝑥 3 é o gráfico de 𝑦 𝑓𝑥 deslocado 3 unidades para a direita e Um ponto de interseção dos gráficos de 𝑓𝑥 e 𝑓1𝑥 deve estar sobre a reta 𝑦 𝑥 Questão 3 A figura a seguir mostra o gráfico de 𝑦 𝑥2 transladado para quatro novas posições Escreva uma equação para cada novo gráfico 3 Questão 4 Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa Em cada item justifique a sua resposta a Se 𝑓 é inversível e 𝑥 2 é solução da equação 𝑓𝑥 0 então 𝑓10 2 b Se 𝑓 ℝ ℝ é inversível então 𝑓10 é a única solução da equação 𝑓𝑥 0 c Se 𝑓 é inversível então a equação 𝑓𝑥 0 tem no máximo uma solução d Se a equação 𝑓𝑥 0 tem somente uma solução então 𝑓 é inversível Questão 5 A função Heavisede 𝐻𝑥 é amplamente usada em aplicações da engenharia 𝐻𝑥 1 𝑥 0 0 𝑥 0 Esboce o gráfico da função Heavisede e os gráficos das seguintes funções a 𝐻𝑥 3 b 𝐻𝑥 1 c 1 3 𝐻𝑥 d 𝐻𝑥 2 2 Questão 6 Seja a função 𝑓𝑥 𝑥𝑥 𝑥2 1 Se possível construa o gráfico dessa função a O gráfico desta função não intersecciona sua assíntota vertical Explique por que isso não ocorre b Mostre como você pode adicionar um único ponto no gráfico de 𝑓 e obter um gráfico que interseccione sua assíntota vertical c O gráfico em b é de uma função Questão 7 Analise as funções identidade e função de segundo grau respectivamente 𝑓𝑥 𝑥 e 𝑔𝑥 𝑥2 Identifique para cada uma das funções 4 a Domínio e Imagem b Continuidade e Comportamento crescente ou decrescente c Simetria e Limite d Estremo local e Assíntotas horizontais e verticais f Comportamento nos extemos do domínio Questão 8 Seja a função 𝑓𝑥 2𝑥 32 responda a Qual é o eixo de simetria de 𝑓 b Qual é o vértice de 𝑓 Questão 9 Nos exercícios a seguir descreva como transformar um gráfico de uma função 𝑓𝑥 𝑥𝑛 em um gráfico da função polinomial dada Você pode esboçar o gráfico da função Verifique onde o gráfico passa no eixo vertical 𝑦 o intercepto a 𝑔𝑥 2𝑥 33 b 𝑔𝑥 1 2 𝑥 13 2 Questão 10 A população de Nova York ode ser modelada por 𝑃𝑡 19875 1 57993 𝑒0035005𝑡 Onde 𝑃 é a população em milhões de pessoas e 𝑡 é o número de anos desde 1800 Baseado nesse modelo a Qual foi a população de Nova York em 1850 b Qual será a população em 2010 e 2018 c Qual é a população máxima sustentável de Nova York limite de crescimento Questão 11 A meiavida de uma certa substância radioativa é igual a 14 dias Existem 66 gramas presentes inicialmente a Expresse a quantia da substância remanescente como função de 𝑡 b Quando existirá menos de 1 grama Questão 12 O número 𝐵 de bactérias em um local após 𝑡 horas é dado por 𝐵 100 𝑒0693𝑡 Quando o número de bactérias será 200 Estime o tempo para dobrar a quantia de bactérias 5 Questão 13 Descreva para cada função o domínio a imagem o valor do intercepto valor onde o gráfico assa no eixo vertical além de uma análise a respeito da existência de assíntota Plote o gráfico a 𝑓𝑥 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 b 𝑓𝑥 𝑙𝑜𝑔1 3 𝑥 Questão 14 Encontre as fórmulas para as funções 𝑓𝑔 𝑔𝑓 Dê o domínio de cada uma delas a 𝑓𝑥 𝑥 3 𝑔𝑥 𝑥2 b 𝑓𝑥 𝑥 2 𝑔𝑥 𝑥 4 Questão 15 Encontre 𝑓 𝑔3 e 𝑓 𝑔2 e diga qual é o domínio a 𝑓𝑥 2𝑥 3 𝑔𝑥 𝑥 1 b 𝑓𝑥 𝑥 𝑥1 𝑔𝑥 9 𝑥2 Questão 16 Encontre uma fórmula para 𝑓1𝑥 Dê o domínio de 𝑓1 incluindo todas as restrições herdadas de 𝑓 a 𝑓𝑥 3𝑥 6 b 𝑓𝑥 2𝑥3 𝑥1 Questão 17 A fórmula para converter a temperatura Celsius 𝑥 em temperatura Kelvin é 𝑘𝑥 𝑥 27316 A fórmula para converter a temperatura Fahrenheit 𝑥 em Celsius é 𝑐𝑥 5𝑥32 9 a Encontre uma fórmula para 𝑐1𝑥 Para que é usada essa fórmula b Encontre 𝑘 𝑐𝑥 Para que é usada essa fórmula 6 2ª Lista Limite e Continuidade Questão 1 Responda os itens a seguir a Suponha que a função 𝑓𝑥 seja definida para todo valor real de 𝑥 exceto para 𝑥 𝑥0 O que pode ser dito sobre a existência de lim 𝑥𝑥0 𝑓𝑥 Justifique sua resposta b Suponhamos que a função 𝑓𝑥 seja definida para todo 𝑥 em 1 1 O que pode ser dito sobre a existência de lim 𝑥0 𝑓𝑥 Justifique sua resposta c Se 𝑓1 5 lim 𝑥1 𝑓𝑥 deve existir Em caso afirmativo deve ser lim 𝑥1 𝑓𝑥 5 Podemos concluir algo sobre lim 𝑥1 𝑓𝑥 Explique Questão 2 Responda os itens abaixo a Uma vez que conheça de lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 e de lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 em um ponto interior de 𝑓 você poderá determinar lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 Justifique sua resposta b Se você sabe que o lim 𝑥𝑐 𝑓𝑥 existe você pode determinar seu valor pelo cálculo de lim 𝑥𝑐 𝑓𝑥 Justifique sua resposta Questão 3 Encontre os limites se existir a lim 𝑥1 𝑥22𝑥1 𝑥1 b lim 𝑥5 2 𝑥5 c lim 𝑡1 𝑡 𝑡32𝑡22𝑡3 d lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Questão 2 Aos 15 anos Maria tinha o dobro da altura do irmão João de 5 anos mas quando João fez 21 anos está 15 centímetros mais alto que a irmã Explique usando os conhecimentos de cálculo porque certamente existiu um momento em que os dois irmãos tinham exatamente a mesma altura Questão 3 Seja 𝑓 ℝ 0 ℝ uma função contínua tal que lim 𝑥0 𝑓𝑥 lim 𝑥1 𝑓𝑥 2 e lim 𝑥 𝑓𝑥 lim 𝑥 𝑓𝑥 0 Qual o número mínimo de soluções da equação 𝑓𝑥 𝑥 Questão 4 Suponha que 𝑔𝑥 𝑓𝑥 ℎ𝑥 para qualquer 𝑥 2 e suponha que lim 𝑛2 𝑔𝑥 lim 𝑛2 ℎ𝑥 5 7 Podemos concluir alguma coisa sobre os valores de 𝑓 𝑔 𝑒 ℎ em 𝑥 2 Se possível 𝑓2 0 Seria possível lim 𝑛2 𝑓𝑥 0 Justifique suas respostas Questão 5 Encontre o limite se existir e indique os teoremas de limite usados Questão 6 Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa Em cada item justifique a sua resposta Questão 7 Analise a continuidade da função dada no intervalo indicado a 𝑓𝑡 3 9 𝑡2 3 3 b 𝑓𝑥 𝑓𝑥 3 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 0 3 1 2 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 0 1 4 Questão 8 Responda os itens a seguir 8 Questão 9 Encontre o limite se existir e indique os teoremas de limite usado