Lista de Exercícios Cálculo I - Funções, Modelos e Limites

Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará Programa Forma Pará Curso de Engenharia Mecânica Disciplina EMTA01081 Cálculo I Turma 2022 Período 20214 Profa Edilma Pereira Oliveira Discente Observação A 1ª Atividade deve ser entregue no dia 13062022 às 23h59min A 1ª Atividade é formada por duas listas de exercícios contendo dois assuntos Funções e Modelos e Limites e Continuidade A 1ª Atividade deve ser respondida de lápis visível ou caneta preta ou azul em qualquer tipo de papel sem rasuras ou sujeiras A capa das respostas é a própria lista cedida ao vocês escaneiem e transforme o documento em um único pdf contendo nome completo do discente Não será aceito respostas das listas feitas em rascunhos sem organização e sem letra legível Esta 1ª Atividade vale 20 pontos previsto na 1ª Prova da Unidade I do Plano de cursos apresentado no primeiro dia de aula e já é uma revisão para a primeira prova Não aceito questões idênticas aos dos colegas cada aluno elabore a sua mesmo que estudem juntos cada um tem uma interpretação e dissertação diferente A lista é respondida de forma dissertativa Questões não dissertadas não serão aceitas na pontuação 2ª Lista Limite e Continuidade Questão 1 Responda os itens a seguir a Suponha que a função seja definida para todo valor real de exceto para O que pode ser dito sobre a existência de Justifique sua resposta b Suponhamos que a função seja definida para todo em O que pode ser dito sobre a existência de Justifique sua resposta c Se deve existir Em caso afirmativo deve ser Podemos concluir algo sobre Explique Questão 2 Responda os itens abaixo a Uma vez que conheça de e de em um ponto interior de você poderá determinar Justifique sua resposta b Se você sabe que o existe você pode determinar seu valor pelo cálculo de Justifique sua resposta Questão 3 Encontre os limites se existir a b c d Questão 2 Aos 15 anos Maria tinha o dobro da altura do irmão João de 5 anos mas quando João fez 21 anos está 15 centímetros mais alto que a irmã Explique usando os conhecimentos de cálculo porque certamente existiu um momento em que os dois irmãos tinham exatamente a mesma altura Questão 3 Seja uma função contínua tal que e Qual o número mínimo de soluções da equação Questão 4 Suponha que para qualquer e suponha que Podemos concluir alguma coisa sobre os valores de em Se possível Seria possível Justifique suas respostas Questão 5 Encontre o limite se existir e indique os teoremas de limite usados a b c d e f Questão 6 Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa Em cada item justifique a sua resposta a b c Se para todos os números reais diferentes de e então d Se então e onde f Se para todo então Questão 7 Analise a continuidade da função dada no intervalo indicado a b Questão 8 Responda os itens a seguir Podemos concluir alguma coisa sobre os valores de em Se possível Seria possível Justifique suas respostas Questão 5 Encontre o limite se existir e indique os teoremas de limite usados a b c d e f Questão 6 Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa Em cada item justifique a sua resposta a b c Se para todos os números reais diferentes de e então d Se então e onde f Se para todo então Questão 7 Analise a continuidade da função dada no intervalo indicado a b Questão 8 Responda os itens a seguir a Suponhamos que a função fx seja definida para todo valor real de x exceto para x x0 O que pode ser dito sobre a existência de lim xx0 fx Justifique sua resposta b Suponhamos que a função fx seja definida para todo x em 11 O que pode ser dito sobre a existência de lim x0 fx Justifique sua resposta c Se f1 5 lim x1 fx deve existir Em caso afirmativo deve ser lim x1 fx 5 Podemos concluir algo sobre lim x1 fx Explique Questão 9 Encontre o limite se existir e indique os teoremas de limite usado a lim x2 x² 12 4x 2 b lim x1 2x x 1x 1 c lim h0 h² 4h 5 5h 1º a Como para o valor x x₀ não pertence ao domínio de fx então a função não está definida neste ponto mas o lim x x₀ fx pode existir mesmo que o limite seja diferente de fx₀ b Se a função fx está definida no intervalo 1 1 então ela é contínua neste intervalo sendo 0 pertencente a este intervalo então o lim x 0 fx existe c A função estando definida no ponto o limite deve existir se f1 5 caso a função seja contínua o lim x 1 fx 5 Então isso mostra que a função é contínua e está definida no ponto 2º a Conhecendo aos limites laterais lim x a fx e lim x a fx caso os limites lim x a fx lim x a fx então o lim x a fx existe e é igual ao valor obtido nos limites laterais b Como já sabemos que lim xc existe então significa que lim x c fx lim x c fx então o valor de lim x c fx será o valor de lim x c fx 3º a lim x 1 x² 2x 1x 1 fatorando o numerador x² 2x 1 x 1² então lim x 1 x 1² x 1 lim x 1 x 1 0 b lim x 5 2 x 5 O limite não existe pois lim x 5 fx lim x 5 fx onde lim x 5 2 x 5 e lim x 5 2 x 5 c lim t 1 t t³ 2t² 2t 3 o limite não existe pois lim t 1 fx lim t 1 fx onde lim t 1 t t³ 2t² 2t 3 lim t1 t t3 2t2 2t 3 d lim x0 senx lim x0 sen0 0 4º Existiu o momento que João e Maria tiveram a mesma altura porque João o primeiro momento era mais baixo que a irmã Se considerarmos a altura dos irmãos como funções no tempo João está caracterizado por um crescimento exponencial enquanto Maria a um crescimento linear 5º Como a função está definida em x1 e que lim x1 fx 2 e que lim x fx lim x 0 então o lim x fx 0 Assim fx x tem um número mínimo de 2 soluções 6º Pelo teorema do confronto temos que se lim n2 gx lim x2 hx 5 então lim n2 fx 5 Como o limite lim n2 fx 5 justificado pelo teorema do confronto não é possível lim n2 fx 0 7º a lim x6 3x 18 x 6 Racionalizando pelo conjugado x 6 x 6 temos lim x6 3x 18 x 6 x 6 x 6 lim x6 3x 18x 6 x 6 fatorando 3x 18 3x 6 temos lim x6 3x 6x 6 x 6 lim x6 3x 6 lim x6 36 6 66 b lim x3 senx 3 x2 4x 3 00 Usando a regra de lHospital temos lim x3 3 cosx 3 2x 4 lim x3 3 cos3 3 23 4 12 c lim x 6x3 7x 12 5x3 x2 10x 6 dividindo o numerador e o denominador por x3 lim x 6x3x3 7xx3 12x3 5x35x3 x2x3 10xx3 6x3 lim x 6 7x2 12x3 5 1x 10x2 6x3 65 d lim x1 x3 1 cos4πx usando a propriedade do produto temos lim x1 x3 1 lim x1 cos4πx lim x1 x3 1 13 1 0 lim x1 cos4πx cos4π1 1 lim x1 x3 1 lim x1 cos4πx 01 0 e lim x 5x2 6x 3 x4 x2 1 dividindo o limite pela regra da divisão lim x 5x2 6x 3 lim x x4 x2 1 lim x 5x2 6x 3 dividindo por x2 lim x 5x2 x2 6x x2 3 x2 lim x 5 6x 3x2 5 lim x x4 x2 1 dividindo por x4 lim x x4x4 x2x4 1x4 lim x 1 1x2 1x4 1 Então lim x 5x2 6x 3 x4 x2 1 5 f lim x ³2x 1 7 16x podemos reescrever o limite pela propriedade que lim xa fxb lim xa fxb lim x ³2x 1 7 16x ³ lim x 2x 1 7 16x dividindo pelo denominador de maior potência ³ lim x 2xx 1x 7x 16xx usando a propriedade de divisões de limites ³ lim x 2 1x lim x 7x 16 ³2 16 ³12 8e a Falso o limite não existe pois os limites laterais são diferentes lim x0 xx 1 e lim x0 xx 1 b Falso lim xπ senx x lim xπ senπ π 0 c Falso pois para x0 as funções fx e gx podem assumir valores de limites diferentes d Verdadeiro pela definição de continuidade se lim xc fx L então fc L e Verdadeiro podemos analisar que a função está definida em x2 e que seu valor é 3 então lim x2 fx 3 f Verdadeiro como fx gx teremos ao calcularmos os limites para xa iguais teremos que lim xa fx lim xa gx g a A função está definida em 3 3 analisando os limites laterais lim t3 ft lim t3 3 9 t2 lim t3 3 9 32 3 lim t3 ft lim t3 3 9 t2 lim t3 3 9 32 3 Como a função é contínua em 33 e os limites laterais é contínuo e iguais então a função é contínua b fx 3x se x 0 312 x se x 0 14 A função é contínua em 14 Analisando os limites laterais temos x 1 lim x1 fx lim x1 3x lim x1 31 4 lim x1 fx lim x1 3x lim x1 31 3 Como os limites laterais são diferentes lim x1 fx lim x1 fx o limite não existe então fx não é contínua em x 1 x 4 lim x4 fx lim x4 3 12 x lim x4 3 12 4 1 lim x4 fx lim x4 3 12 x lim x4 3 12 4 5 Como os limites laterais são distintos a função fx não é contínua em x 4 10º a b e c Esta questão está repetida é a mesma questão 1 já resolvida 11º a lim x2 x²12 4 x 2 racionalizando o numerador por x²12 4 x²12 4 lim x2 x²12 4 x 2 x²12 4 x²12 4 lim x2 x 2 x2 x2x²12 4 lim x2 x 2 x²12 4 2 2 2²12 4 12 b lim x1 2x x1 x1 o limite não existe pois os limites laterais são diferentes lim x1 2x x1 x1 2 lim x1 2x x1 x1 2 c lim h0 h² 4h 5 5 h racionalizando o numerador por h² 4h 5 5 h² 4h 5 5 lim h0 h² 4h 5 5 h h² 4h 5 5 h² 4h 5 5 lim h0 h 4 h² 4h 5 5 0 4 0² 40 5 5 2 5