P2 - Estatística Econômica e Introdução à Econometria 2023-2

IE − UFRJ ESTATÍSTICA II 2023-II - 10/07/2023 Prof. Hugo Pedro Boff Prova 2 - Capítulos V (MV), VI e VII 1. Uma Consultoria Empresarial divulgou os resultados de uma pesquisa sobre comportamentos de consumo em ”rainbow homes” (domicílios que possuem pelo menos um membro do grupo LGBTQIA). Constatou-se que nestes domicílios, o item Higiene e Beleza consome 25,9% do valor de uma cesta de bens de consumo corrente, enquanto que nos lares ”no rainbow” este percentual é de 24,9%. Suponha que a pesquisa tenha envolvido 2.000 domicílios do primeiro tipo e 6.000 domicílios do segundo tipo. Usando o TCL, ao nível de significância 5% existe evidência estatística para afirmar que os domicílios ”rainbow” gastam proporcionalmente mais em Higiene e Beleza do que os outros ? (Faça o teste unilateral para a hipótese H0 da igualdade das proporções. Sob H0 use 1 4  1 n1  1 n2  para a variância da diferença entre as proporções estimadas). 2. Seja X1,...,Xn uma amostra de uma v.a. X  N0,2, com variância desconhecida. (a) Dê o estimador MV de 2; (b) Dê a variância assintótica do estimador obtido no item (a). 3. A diretoria de um porto do Sul afirma que houve um aumento da produtividade das operações portuárias porque, nos últimos 225 dias, o tempo médio de atracação dos navios graneleiros, que era de 3,41 dias, reduziu para 2,98 dias. Se a chegada dos navios se faz segundo o processo de Poisson e se não existe ociosidade nos berços, o tempo de atracação, como sabemos, é uma v.a. Exponencial. Usando o TCL: (a) Teste a significância estatística deste ganho de produtividade, ao nível 5%; (b) Calcule o P-valor do teste de H0 e classifique seu valor na escala de Fisher. 4. João é um autônomo cujo rendimento mensal é Normal com média 15.000 reais. e desvio-padrão 5.000 reais. Outra área de atuação promete à ele um rendimento mensal também Normal, com média 20.000 reais e desvio-padrão 8.000 reais. Informações obtidas junto à 20 profissionais da nova área mostraram rendimento médio de 17.500 reais. Considerando o teste pontual da média para a hipótese H0 (rendimento atual) contra hipótese H1 (rendimento alternativo): (a) Calcule a probabilidade de João ser induzido pela amostra a mudar de negócio quando não deveria; (b) Calcule a probabilidade de João ser induzido pela amostra a manter o seu negócio quando não deveria. Se João é extremamente avêsso a erros, comparando esta probabilidade com a do item (a), o que ele deveria fazer ? (c) Dê a Região Crítica do teste equilibrado   . Qual decisão João deve neste caso tomar ? Qual a probabilidade implícita de ele errar ? RESOLUÇÕES 1. H0 : pL − pL  0 contra H1 : pL − pL  0 RC  pL − pL  tc Temos, sob H0 : pL − pL 1 4  1 2.000  1 6.000   Z  N0,1 Pela tabela da Normal-padrão temos PZ  1.65  0.05 de modo que tc   1 4  1 2000  1 6000  1.65  0.0213 ou seja, RC  pL − pL  0.0213 Como pL − pL  0.259 − 0.249  0.01 ∉ RC não se rejeita H0. Não há evidência amostral suficiente para afirmar que os domicílios rainbow gastam proporcionalmente mais em Higiene/Beleza do que os outros domicílios. 2. (a) Verossimilhança: V2  2−n/22−n/2e − 1 22 ∑i1 n xi 2  v2 ≡ lnV2  − n 2 ln2 − n 2 ln2 − 1 22 ∑i1 n xi 2 C.P.O. ∂v ∂2  − n 22  1 24 ∑i1 n xi 2  0  −n  1 2 ∑i1 n xi 2  0  2  1n ∑i1 n Xi 2 estimador MV de 2. (b) 2 é um estima dor não viesado de 2. Sendo estimador MV, sabemos que 2 é assintóticamente eficiente. Então, pela desigualdade Rao-Cramér, sua variância assintótica será igual ao inverso da quantidade de informação amostral de Fisher. Vimos em aula que I1,...,n2  n 24 . Logo, Vas2   24 n . 3. (a) Ho :   3.41 contra H1 :   3.41. RC  X  tc Região de rejeição de H0. Sob H0 o tempo de atracação é uma v.a. X Exponencial com média 3.41 e variância 3.412. Usando então o TCL vem X − 3.41 3.41/ 225  Z  N0.1. Então, tc  3.41 − 3.41 225 z0.05 Pela tabela da Normal-padrão temos PZ  1.65  0.05 de modo que tc  3.41 − 3.41 15 1.65  3.41 − 0.3751  3. 035 Como 2.98 ∈ RC  X  3.035 rejeita-se a hipótese H0 de ausência de ganhos de produtividade. Ou seja, para o nível de significância de 5%, há evidência amostral de ganhos de produtividade nas operações portuárias no período recente. (b) P-valor :   PX ≤ 2.98 ∣ H0  PZ ≤ 2.98−3.41 3.41/15   PZ ≤ −1. 8915  − −1.8915 1 2 e−z2/2dz  0.0293 2,93% Todo teste com significância maior que 2,93% leva à rejeição de H0. Na escala de Fisher, a evidência amostral contra a hipótese nula fica entre moderada e substancial. 4. (a) Temos Ho :   15.000 (status quo) H1 :  ≥ 20.000 (muda) A região de rejeição de H0 é : RC  X  xc. P-valor :   PX  17.500 ∣ Ho  PZ  17.500 − 15.000 5.000/ 20   PZ  − 20 2   0.0126 1,26% (b) PX ≤ 17500 ∣ H1  PZ ≤ 17.500 − 20.000 8.000/ 20   PZ ≤ − 5 − 20 16   0.0811 8,1% Como a probabilidade induzida pela amostra de errar mudando de negócio é de 1,26%, valor menor que a probabilidade de errar permanecendo no negócio atual (8,11%) isto sugere que João deverá mudar de ramo. (c) Teste equilibrado: RC  X  xe onde xe   5.000 13.000 20.000   8.000 13.000 15.000  16.923  RC  X  16.923.   PX  16.923 ∣ Ho  PZ  16.923 − 15.000 5.000/ 20   PZ  1.72    PX ≤ 16.923 ∣ H1  PZ ≤ 16.923 − 20.000 8.000/ 20   PZ ≤ −1.72   0.0427 4.27% Como x  17.500 ∈ RC, de modo que João será induzido a mudar de negócio. Neste caso, a probabilidade de ele errar mudando de negócio é a mesma de ele errar não mudando, ou seja, 4,72%.