Prova Final - Estatística Econômica e Introdução à Econometria 2021-2

IE  UFRJ ESTATÍSTICA II 2021-I - 20/10/2021 Prof. Hugo Pedro Boff Prova Final Responda 4 Questões 1. Seja X1,...Xn uma amostra simples de uma população Exponencial com média . (a) Dê n o estimador MV de ; (b) Se n  1 n1 i1 n Xi é um estimador alternativo ao estimador MV, compare-os usando o critério EQM. (c) Use a desigualdade Chebyshev para mostrar que n é um estimador consistente de . 2. Se uma amostra de 1.000 observações deve ser realizada em uma população estratificada de rendas domiciliares Xi , i  1,2,3,4,5 apresentando a seguinte configuração: Estratos: 1 2 3 4 5 % da População: 9 30 40 14 7 Variância: 49 36 25 9 16 Dê tamanho das sub-amostras ni em cada estrato, usando: (a) O critério da proporcionalidade; (b) O critério da alocação ótima de Neyman; (c) Calcule a variância da média amostral estratificada obtida no item (a) e no item (b) e explique por que a segunda é menor. 3. A proporção das empresas que saem do mercado antes de completar 1 ano de existência (para cada 100 entrantes) é uma variável aleatória X Poisson com média  desconhecida. Uma amostra de 50 valores de X é observada e a média amostral obtida foi x  0.15. (a) Use a tabela da Poisson para testar a hipóstese Ho :   0.08 contra H1 :   0.08, para o tamanho   0.051 (aproximado) (b) Use o TCL para fazer o teste de H0 no mesmo tamanho do item (a) e compare com o resultado anterior. (c) Use o TCL para calcular um intervalo de Confiança 95% para . 4. Érico trabalha atualmente como empregado recebendo salário fixo de 15 mil reais por mês. Como a familia está aumentando, ele considera mudar para uma atividade mais lucrativa, lhe proporcionando um rendimento aleatório X (em 1.000 reais) normal: X  N;2 de média desconhecida e variância igual à 100. Anteriormente, uma amostragem de n  25 profissionais nesta atividade mostrou renda média x  20 mil. Considerando a hipótese de Érico continuar no emprego atual Ho : (a) Calcule o P-valor do teste de Ho e explique seu significado. Com base no valor obtido, qualifique a evidência contra H0 na escala sugerida por Fisher. (b) Se Érico admitir 5% de chances de errar mudando de emprego quando não deveria, qual decisão ele deverá tomar com base no resultado amostral ? (c) Obtenha a função poder do teste de Ho de tamanho 5% do item anterior e avalie o valor da função no ponto   20.3 Explique o significado deste valor. SOLUÇÕES 1. (a) V ;x1,...,xn  ne  1 i1 n xi Verossimilhança da amostra  v  lnV ;x1,...,xn  nln  1 i1 n xi v   n 1  1 2 i1 n xi  0    1n i1 n xi  x Logo, n  X (Média amostral) Temos: En   (não viesado) ; Vn  2 n (b) n  n n  1 n  E n  n n  1 En  n n  1  (subestima   V n   n n  1 2Vn  n n  12 2 EQMn  V n  Viés2  n n  12 2   1 n  1 2  2 n  1  2 n  EQMn Ou seja, n domina n pelo critério do Erro Quadrático Médio. (c) Chebyshev:   0, P|n  |    EQMn 2 Então,  0  n lim P|n  |    n lim 2 2n  1  0 ;  ,   0 Logo, Plimn   (Consistência). 2. (a) Proporcionalidade: ni  Win  n1  0.091000  90 n2  0.301000  300 n3  0.401000  400 n4  0.141000  140 n5  0.071000  70 (b) Alocação ótima de Neyman: ni  ni Pesos: i  Wii j1 5 Wjj j1 5 Wjj  0.097  0.306  0.405  0.143  0.074  5. 13 1  0.097 5.13  0.12281  n1  10000.123  123 2  0.306 5.13  0.35088  n2  10000.35  351 3  0.405 5.13  0.38986  n3  10000.39  390 4  0.143 5.13  0.0818  n4  10000.082  82 5  0.074 5.13  0.054  n5  10000.054  54 (c) Proporcionalidade: VXs p  1n i1 5 Wii 2 VXs p  1 1000 0.0949  0.3036  0.4025  0.149  0.0716  0.02759 Alocação ótima: VXs ´otima  1n i1 5 Wii2 VXs ´otima  1 1000 5.132  0.02631 A variância da média estratificada em (b) é menor porque esta média é calculada à partir das médias sub-amostrais as quais foram dimensionadas justamente para minimizar a variância. 3. (a) H0 :   0.08 contra H1 :   0.08  RC  X  xc onde xc é tal que PX  xc  H0  0.051 Temos: S  X1 ...X50  Poisson50. Sob H0, S  Poisson4 e PS  b  jb  e4 4j j!  0.051  b  8  PX  xc  H0  PS  50xc    0.08  0.051  50xc  8  xc  0.16  RC  X  0.16. Como x  0.15  RC  H0 não é rejeitada. (b) Z  X   /n  N0,1 PX  xc  H0  0.051  xc  0   0/n zc PZ  zc  0.051   zc  1 2 e 1 2 z2dz  0.051  zc  1. 6352  xc  0.08   0.08/50 1.6352  0.1454  RC  X  0.1454. Como x  0.15  RC  H0 é rejeitada. (c) |x  | /50  1.96  0.15  2  1.962 50     2  0.30  1.962/50  0.0225  0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 Lambda g(lambda)  2  0.37683  0.0225  0 Solution is:   0.074397  102,  0.30243 IC0.95  0.074 , 0.302 4. Ho :   15 contra H1 :   15 ; RC  X  xc (a) P-valor: P  PX  20  Ho  PZ  20  15 10/5   PZ  5 2    2.5  1 2 e 1 2 z2dz  0.0062 0,62% Na escala de Fischer, H0 é fortemente rejeitada. (b) Como 5%  0.62%, H0 será rejeitada. Temos, xc  15  10 5 1.65  18. 3  RC  X  18.3 no teste de tamanho 5%. x  15  RC  H0 é rejeitada. (c) Função poder:   PX  18.3  H1  PZ  18.3 2 ;   15   18.3 2  1 2 e 1 2 z2dz 20.3  PZ  1   1  1 2 e 1 2 z2dz  0.84134 Ou seja: Se o verdadeiro valor da renda média é 20.3 mil, as chances de se tormar uma decisão correta rejeitando H0 é de 84,1%.   