Geometria Euclidiana - Circunferência: Exercícios Resolvidos e Aplicações

Geometria Euclidiana Profa Ana Brunet Material Complementar atividades Circunferência exemplos e mais Exemplo 1 As circunferências da figura são tangentes externamente Se a distância entre os centros é 25 cm e a diferença entre os raios é 11 cm determine os raios 𝑅 𝑟 25 𝑅 𝑟 11 2𝑅 36 𝑅 36 2 R 18 𝑅 𝑟 25 18 𝑟 25 𝑟 25 18 𝐫 𝟕 Resposta R 18 e r 7 Exemplo 2 Dê a posição de duas circunferências de raios r e R sendo d a distância entre seus centros nos casos abaixo a r 7 cm e R 12 cm d 20 cm R r 12 7 3 cm R r 12 7 19 cm Como d 20 temos d R r pois 20 19 Logo as duas circunferências são exteriores b r 8 cm e R 15 cm d 7 cm R r 15 8 7 cm R r 15 8 23 cm Como d 7 temos R r d 15 8 7 cm Logo a circunferência de raio r é tangente interna a circunferência de raio R Exemplo 3 Na figura determine a medida do segmento 𝐵𝐷 sabendo que a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC e que os lados 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑒 𝐵𝐶 medem respectivamente 9 cm 12 cm e 15 cm Solução Temos AE x e AF x BD y e BF y CD z e CE z Daí vem 𝑥 𝑦 9 𝑥 𝑧 12 𝑦 𝑧 15 2𝑥 2𝑦 2𝑧 36 2𝑥 𝑦 𝑧 36 𝑥 𝑦 𝑧 18 𝑥 𝑧 12 e 𝑥 𝑦 𝑧 18 12 𝑦 18 𝑦 18 12 𝑦 6 Logo BD 6 cm Exemplo 4 Calcule a medida do raio r do círculo inscrito no trapézio retângulo Solução Sabemos que 𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐷𝐶 Logo 8 14 𝐴𝐵 13 22 13 𝐴𝐵 𝐴𝐵 9 Daí como 𝐴𝐵 2𝑟 vem 9 2𝑟 𝑟 45 Exemplo 5 Determinar o valor de x a Solução o ângulo 𝐵𝐴𝐶 é ângulo inscrito correspondente ao ângulo 𝐵𝑂𝐶 𝑥 𝐵𝑂𝐶 2 𝑥 130 2 𝑥 65 b Solução ângulos opostos de um quadrilátero inscrito em uma circunferência são suplementares 𝐴𝐵𝐷 115 180 𝐴𝐵𝐷 65 c Solução 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐷𝐶 180 140 𝐴𝐷𝐶 180 𝐴𝐷𝐶 40 40 𝑥 180º 𝑥 140 d Solução o ângulo x é um ângulo de segmento logo 𝑥 1 2 140 𝑥 70 e Solução 𝑥 é um ângulo excêntrico interior sua medida é 𝑥 2 𝑥 95 25 2 𝑥 60 f Solução 𝐸𝐴𝐷 é ângulo excêntrico exterior logo Exemplo 6 Determine a medida do ângulo 𝐴𝐵𝑂 sabendo que 𝐴𝐶𝑂 50 Solução sabemos que 𝐵𝑂𝐶 220 e 𝐵𝐴𝐶 é ângulo inscrito de 𝐵𝑂𝐶 então 𝐵𝐴𝐶 1 2 𝐵𝑂𝐶 𝐵𝐴𝐶 220 2 𝐵𝐴𝐶 110 Para calcular o ângulo 𝐵𝑂𝐶 𝐵𝑂𝐶 220 360 𝐵𝑂𝐶 140 Temos então 𝐵𝑂𝐶 𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐶𝑂 𝐴𝐵𝑂 360 140 110 50 𝐴𝐵𝑂 360 𝐴𝐵𝑂 60 Agora faça você Busque justificativas na teoria desenvolvida 1 Dado que AB 10 cm calcule o perímetro do triângulo ADC hachurado 2 Calcule o perímetro do quadrilátero ABCD circunscrito da figura 3 Qual o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo de catetos medindo 15 cm e 20 cm 4 As circunferências são tangentes externamente em Q e 𝑃𝐴 e 𝑃𝐵 são tangentes às circunferências Determine a medida do ângulo 𝐴𝑄𝐵 sendo 𝐴𝑃𝐵 110 5 Avalie a veracidade das sentenças justifique suas afirmações I O diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência II Um paralelogramo circunscrito a uma circunferência é um losango III Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular a qualquer corda dessa circunferência 6 Mostre que em uma mesma circunferência ou em circunferência de mesmo raio cordas congruentes determinam ângulos centrais congruentes 7 Mostre que em uma mesma circunferência ou em circunferência de mesmo raio ângulos centrais congruentes determinam cordas congruentes 8 Calcule o valor de x na figura 9 Na figura determine a medida do arco sabendo que 𝑂𝐵𝐶 33 10 Na figura calcule a medida do ângulo 𝑃 11 Na circunferência o arco excede o arco AEB em 10º Determine suas medidas sabendo que o ângulo α mede 60º 12 Demonstre a afirmação Os ângulos da base de um trapézio inscrito numa circunferência são congruentes Respostas e encaminhamentos 1 20 cm 2 48 cm 3 5 cm 4 125⁰ 5 I V definição II V proposição 44proposição 60transitividade III F uma corda qualquer não precisa passar pelo ponto de tangência 6 use congruência de triângulo caso LLL 7 use congruência de triângulo caso LAL 8 107⁰ 9 246⁰ 10 50⁰ 11 65⁰ e 55⁰ 12 Considere o ângulo  da base AB do trapézio ABCD use a proposição 40 e olhe para o par linear do correspondente que é interno ao trapézio Use o corolário 2 da proposição 62 e conclua Geometria Euclidiana Profa Ana Brunet Material Complementar atividades Medindo Regiões exemplos e mais Exemplo 1 A área de um retângulo é 240 cm2 e sua base excede em 8 cm sua altura Determine a altura e a base do retângulo Solução A 240 cm2 𝐴𝑅𝐸𝑇 𝑏 ℎ 𝐴𝑅𝐸𝑇 𝑥 8 𝑥 𝑥 8 𝑥 240 𝑥2 8𝑥 240 0 𝑥 8 64 41 240 21 𝑥 8 32 2 24 2 12 𝑥 8 32 2 40 2 20 descartado Logo a base mede 20 cm e a altura 12 cm Exemplo 2 Determine a área de um triângulo equilátero em função de seu lado l Solução 𝐴 𝑏 ℎ 2 𝑏 𝑙 𝑙2 ℎ2 𝑙 2 2 𝑙2 𝑙 4 2 ℎ2 ℎ2 3𝑙2 4 ℎ 3𝑙2 4 ℎ 𝑙 2 3 𝐴 𝑙 𝑙 2 3 2 𝑨 𝒍𝟐𝟑 𝟒 Exemplo 3 Determine a área do hexágono regular inscrito num círculo de raio medindo 3 m 𝐴𝐻𝐸𝑋 𝐴𝑃𝑂𝐿 𝑝 𝑚 Onde p semiperímetro m apótema 32 𝑚2 3 2 2 9 𝑚2 9 4 9 9 4 𝑚2 𝑚 27 4 𝑚 33 2 𝑝 33𝑚 9 𝑚 𝐴𝐻𝐸𝑋 9 33 2 𝐴𝐻𝐸𝑋 273 2 𝑚2 Exemplo 4 Determine o raio do círculo inscrito em um triângulo equilátero de área 493 4 𝐴𝑇𝑅𝐼 𝑏 ℎ 2 493 4 𝑏 ℎ 2 49 2 3 𝑏 ℎ ℎ 𝑙 2 3 49 2 3 𝑙 𝑙 2 3 493 2 𝑙2 2 3 493 3 𝑙2 𝑙 7 𝑚 Se ℎ 𝑙3 2 temos ℎ 7 2 3 Como o raio é o apótema do triângulo e este é 1 3 da altura do triângulo temos 𝑟 1 3 7 2 3 𝒓 𝟕 𝟔 𝟑 𝒎 Agora faça você Sempre justifique 1 Determine a área do triângulo retângulo ABC abaixo sendo 𝐴𝐸 20 𝑚 𝐴𝐷 16 𝑚 e 𝐸𝐵 5 𝑚 2 Determine a área sombreada do triângulo em função da área A do triângulo ABC equilátero sabendo que os pontos assinalados em cada lado o dividem em partes congruentes 3 Na figura seguinte ABCD é um losango de lado a Calcule a área da parte hachurada 4 No semicírculo abaixo as cordas 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶 medem 8 e 6 respectivamente Qual a área da parte hachurada 5 A diagonal de um quadrado é a b Determine a diagonal de outro quadrado cuja área é o dobro da do primeiro Respostas 1 150 m² 2 A4 3 𝑎2 16 83 3𝜋 4 1525 5 2 𝑎 𝑏 Material 6 5 Teorema de Pitágoras ab ab2 l2 l2 ab2 2 l2 ab sqrt2 l2 ab l sqrt2 l absqrt2 Área 1 l2 2 x d Área 2 Área 1 2 Área 2 2 l2 2 l2 x2 x sqrt2 l2 l sqrt2 Teorema de Pitágoras d2 x2 x2 d2 2 x2 d sqrt2 x2 d x sqrt2 d l sqrt2 sqrt2 2 l d 2 ab sqrt2 2a 2b sqrt2 Material 5 3 x 2 152 202 x 25 cm x 2 225 400 x 2 625 r 15 20 25 2 35 25 2 10 2 5 cm r cateto 1 cateto 2 hipotenusa 2