Lista de Exercícios - Geometria Euclidiana - Demonstrações e Semelhança de Triângulos

Geometria Euclidiana Profa Ana Brunet Material Complementar atividades O V postulado e a Geometria Euclidiana 1 Demonstre a Proposição 38 Se duas retas cortadas por uma transversal formam dois ângulos correspondentes congruentes então as retas são paralelas 2 Demonstre a Proposição 40 Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam pares de ângulos correspondentes congruentes 3 Demonstre a Proposição 41 Duas retas distintas paralelas a uma mesma reta são paralelas entre si 4 Demonstre a Proposição 42 Se uma reta é perpendicular a uma de duas retas paralelas então é perpendicular à outra 5 Demonstre o corolário 1 da Proposição 43 Seja dada uma correspondência entre dois triângulos Se dois pares de ângulos são congruentes então o terceiro par é também de ângulos correspondentes congruentes 6 Demonstre o corolário 2 da Proposição 43 Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares 7 Demonstre o corolário 3 da Proposição 43 Em todo triângulo a medida de um ângulo externo é a soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes 8 Mostre que a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 3600 9 Demonstre a Proposição 48 10 Mostre que dois segmentos congruentes sobre retas paralelas distintas determinam um paralelogramo 11 Explique por que um trapézio que não é um paralelogramo possui suas bases com medidas diferentes 12 Mostre que um losango é um paralelogramo 13 Mostre que um retângulo é um paralelogramo Semelhança de Triângulos Na figura temos que os segmentos AC e BD são paralelos Faça o que é solicitado nas atividades 14 e 15 14 Mostre que os triângulos ACE e BDE são semelhantes 15 Determine a medida do segmento AC sabendo que a medida do segmento AE é 8 uc a do segmento EB é 4 uc e a do segmento BD é 3 uc 16 Na figura temos que ED BE EC AE a Mostre que os triângulos AEB e CED são semelhantes b Mostre que os segmentos AB e DC são paralelos c Determine a medida do segmento AB sabendo que a medida do segmento DC é 3 uc e que a razão entre as medidas dos segmentos BE e ED é 4 17 Na figura temos que a medida do segmento DE é o dobro da medida do segmento AB a medida do segmento DF é o dobro da medida do segmento AC e a medida do segmento EF é o dobro da medida do segmento BC Mostre que os triângulos ABC e DEF são semelhantes 18 Seja ABC um triângulo e D tal que D AC D distinto de A e de C e E tal que E AB E distinto de A e de B onde os segmentos ED e AB são perpendiculares e os segmentos BC e AB são também perpendiculares Mostre que os triângulos AED e ABC sãos semelhantes Encaminhamentos das atividades propostas 1 Suponha que as retas se interceptam e encontre uma contradição com o teorema do ângulo externo 2 Use a mesma ideia da demonstração da Proposição 39 3 Suponha que as duas retas paralelas a terceira se interceptam e encontre uma contradição com o V axioma 4 Suponha que a perpendicular seja paralela a terceira reta e encontre uma contradição com a Proposição 41 5 Use a Proposição 43 e observe que para obtermos quantidades iguais a partir de quantidades iguais devemos acrescentar quantidades iguais 6 Use a Proposição 43 para verificar que a soma das medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90 e use a definição de ângulos complementares 7 Use a definição de ângulo externo e a Proposição 43 8 Decomponha o quadrilátero em dois triângulos e use a Proposição 43 9 Considere um retângulo ABCD Mostre a congruência entre os triângulos ADC e BCD pelo caso LAL 10 Considere os segmentos AB e DC congruentes sobre retas paralelas distintas de tal forma que ABCD seja um quadrilátero Tome a transversal BD sobre as paralelas e os triângulos ABD e CDB Use o caso LAL de congruência entre os triângulos para concluir que AD e BC são congruentes Use a Proposição 46 11 Se as bases fossem de iguais medidas o trapézio seria um paralelogramo conforme a atividade 10 12 Use a Proposição 46 13 Use a Proposição 47 14 Use a Proposição 39 nas paralelas AC e BD cortadas pela transversal BC para provar que os ângulos ACE e EBD são congruentes Proceda de forma análoga para com a transversal AD Conclua a semelhança entre os triângulos 15 Use a proporção decorrente da semelhança entre os triângulos estabelecida em 1 16 a Use o caso LAL de semelhança b Use a Proposição 37 c Use a proporção entre os lados dos triângulos 17 Use o caso LLL de semelhança entre triângulos 18 Considere o ângulo  comum aos dois triângulos e o ângulo reto que cada um possui Aplique o caso AA de semelhança 14 α β pois são opostos pelo vértice AC é paralelo a BD Duas paralelas AC e BD cortadas pela transversal BC Logo ÂCE DBE e BAC BDE ângulos alternos internos e externos são congruentes Como ΔACE e ΔBDE possuem todos os ângulos iguais entre si eles são semelhantes caso ângulo ângulo ângulo Δ ACE Θγβ e Δ BDE Θ γ α com α β