Feedback sobre Geometria Euclidiana e Desenvolvimento Histórico do Pensamento Geométrico

Feedback Geometria Euclidiana para auxiliar na revisão O Pensamento Geométrico na História Eves 1992 classifica em cinco fases o desenvolvimento histórico do pensamento geométrico A geometria subconsciente ocorreu na préhistória e é caracterizada pelo reconhecimento de configurações físicas e comparação de formas e tamanhos As evidências remanescentes desta etapa são por exemplo cerâmicas decoradas com padrões simétricos e a construção de muros e moradias Na passagem da préhistória para a antiguidade emergiu a geometria científica a partir da necessidade da medição das terras Por registrarem em papiro material perecível poucos documentos restaram Os papiros de Ahmes ou de Rhind e o de Moscou são as principais fontes de informação desta fase que se caracteriza pela criação e uso de receitas práticas a partir de um aprendizado indutivo A Geometria passou a ser considerada sistemática ou demonstrativa na Grécia antiga O importante pensador Tales sec VI aC considerado fundador desta fase deu rumos definitivos ao pensamento matemático ao enunciar que as verdades matemáticas devem ser justificadas demonstradas provadas por meio de raciocínio Pitágoras sec V aC foi muito influenciado pelas ideias de Tales e a escola dos pitagóricos são atribuídas as produções de demonstrações razoavelmente rigorosas e a visão da Matemática como algo abstrato No período préplatônico os geômetras deramse conta que alguns princípios básicos deveriam ser admitidos sem demonstração Isto caracteriza a chamada axiomática material e é neste nível de pensamento que Euclides sec III aC produz sua obra Nos séculos subsequentes a axiomática material evoluiu lentamente até culminar na axiomática formal no século XIX A principal diferença conceitual entre esses dois tipos de pensamento são os conceitos primitivos para os quais não há definição da axiomática formal Utilizaremos os axiomas e os conceitos primitivos tais como foram enunciados por Hilbert para a construção da teoria da Geometria Euclidiana Plana Descreveremos os entes geométricos estabeleceremos relações e propriedades pelos teoremas ou proposições os quais serão validados mediante argumentação justificada isto é demonstrados ou provados Não existe uma receita para demonstrar uma proposição Devese ficar atento as hipóteses o que temos e a tese o que queremos da proposição em questão para então desenvolver a argumentação que valida a tese sempre que as hipóteses forem verdadeiras Sobre pontos e retas Os elementos geométricos ponto reta e plano são conceitos primitivos Também é um conceito primitivo a relação de pertinência A reta é formada por pontos e é um subconjunto do plano nosso universo Neste segundo capítulo enunciamos o primeiro grupo de axiomas os axiomas de Incidência I1 Dois pontos distintos determinam uma única reta ou seja para quaisquer dois pontos distintos existem uma e somente uma reta passando por eles I2 Em cada reta existem pelo menos dois pontos distintos Existem ao menos três pontos distintos que não são colineares Com esses axiomas é possível garantir uma geometria com três pontos e três retas distintas que se interceptam em exatamente um ponto duas a duas Sobre segmentos Semirretas Ângulos e Semiplanos Com a noção de estar entre e os axiomas de Ordem podemos garantir a existência de infinitos pontos Segmentos são formados por pares de pontos seus extremos e todos os pontos que estão entre seus extremos portanto um segmento está contido em uma reta denominada reta suporte do segmento Pares de pontos distintos também definem uma única semirreta desde que fixado um dos pontos para a origem portanto semirretas também são subconjuntos de retas O último axioma enunciado neste capítulo foi o axioma da Separação do Plano o qual garante que uma reta r determina exatamente dois semiplanos onde intersecção é a reta r Pares de semirretas de mesma origem e não colineares determinam um ângulo cujo vértice é a origem das semirretas Associamos a cada ângulo duas regiões interior e exterior Consideramos dois casos degenerados de ângulos o raso e o nulo Ângulos adjacentes possuem o vértice e um lado comum além disso não possuem pontos interiores comuns Um par linear é formado por três semirretas de mesma origem sendo duas delas opostas Dois pares distintos de semirretas opostas de mesma origem definem dois pares de ângulos OPV Definimos ângulo reto como aquele que é congruente ao seu par linear e a partir dele ângulo agudo e obtuso Duas retas são perpendiculares quando formam um ângulo reto A bissetriz de um ângulo é uma semirreta com origem no vértice do ângulo e seus outros pontos na região interior do ângulo com a propriedade dos dois ângulos adjacentes formados por cada lado do ângulo e a bissetriz serem congruentes Sobre Medição de Segmentos e Ângulo Com os axiomas de medição de segmentos e ângulos pudemos associar sistemas de coordenas a esses objetos Com isso exploramos propriedades dos objetos geométricos e definimos novos objetos como ângulos suplementares e complementares A existência e unicidade do ponto médio da bissetriz e da perpendicular a uma reta por um ponto pertencente a ela foram alguns dos resultados A ideia geométrica de congruência foi associada à igualdade de medida Definimos circunferência como o conjunto de pontos que equidistam de um ponto dado e mediatriz como o conjunto dos pontos que equidistam dos extremos de um segmento Outros resultados importantes são a colocação da régua a relação entre pontos e coordenadas congruência entre ângulos OPV ângulos que formam par linear são suplementares um ângulo é reto se e somente se sua medida é 900 um ângulo agudo mede menos de 900 e um obtuso entre 900 e 1800 Sobre Triângulos e outros Polígonos Definimos triângulo como a figura geométrica determinada por três pontos não colineares A mediana relativa a um lado de um triângulo é o segmento que possui extremos no ponto médio do lado e no vértice oposto A bissetriz de um ângulo de um triângulo é o segmento contido na bissetriz daquele ângulo com extremos no vértice do ângulo e no seu lado oposto A altura relativa a um lado de um triângulo é um segmento com extremos no vértice oposto ao lado e perpendicular à reta suporte do lado Classificamos e nomeamos os triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos Definimos polígonos e os classificamos quanto ao seu número de lados em regular e não regular e em convexo e não convexo Dois triângulos são congruentes quando for possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de forma que lados e ângulos correspondentes sejam congruentes O axioma IV nos garante que quando um par de ângulos e os pares de lados adjacentes aos ângulos forem congruentes os triângulos são congruentes caso LAL Vimos também que quando dois pares de ângulos e o par de lados comum aos ângulos forem congruentes os triângulos são congruentes caso ALA O terceiro caso de congruência entre triângulos garante que quando os três pares de lados são congruentes dois a dois os triângulos são congruentes caso LLL Como consequência mostramos que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes que todo o triângulo equilátero é equiângulo que a bissetriz relativa ao ângulo oposto a base de um triângulo isósceles coincide com a mediana e a altura que a mediatriz coincide com a reta perpendicular ao segmento que a define pelo seu ponto médio e justificamos as construções geométricas descritas em capítulos anteriores Ângulo Externo de um Triângulo O suplemento adjacente de cada ângulo interno é chamado de ângulo externo Um ângulo externo de um triângulo possui sempre medida maior que qualquer ângulo interno do triângulo a ele não adjacente Com isso conseguimos verificar que um triângulo não pode ter dois ângulos retos que todo triângulo retângulo possui dois ângulos agudos e que existe e é única a perpendicular a uma reta por um ponto não pertencente a ela Garantimos que quando dois triângulos possuem dois lados correspondentes congruentes e o ângulo cujos lados não são simultaneamente adjacentes a ele são congruentes os triângulos são congruentes Também vimos que se dois triângulos retângulos possuem suas hipotenusas congruentes e um de seus catetos congruentes eles são congruentes Evidenciamos que o caso LLA não caracteriza sempre uma congruência entre triângulos As relações entre lados e ângulos de um triângulo são ao lado de maior menor medida opõese o maior ângulo de maior menor medida e reciprocamente ao ângulo de maior menor medida opõese o lado de maior menor medida No caso de os ângulos serem congruentes o triângulo será isósceles Mostramos a conhecida desigualdade triangular garantimos que qualquer lado de um triângulo possui medida menor que a soma das medidas dos outros dois lados O V axioma e a Geometria Euclidiana Com o último axioma da Geometria Euclidiana sua caracterização fica completa Exploramos algumas propriedades sobre retas cortadas por uma transversal como duas retas cortadas por uma transversal formam dois ângulos alternos internos congruentes se e somente se as retas são paralelas duas retas cortadas por uma transversal formam dois ângulos correspondentes congruentes se e somente se as retas são paralelas duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam pares de ângulos correspondentes congruentes duas retas distintas paralelas a uma mesma reta são paralelas entre si Observamos que as equivalências enunciadas são válidas somente na Geometria Euclidiana Além disso vimos o teorema da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo que na Geometria Euclidiana é 180 Desse teorema decorrem propriedades dos ângulos de um triângulo euclidiano Sobre Quadriláteros Foi apresentada uma classificação e verificamos propriedades dos quadriláteros convexos Vimos que em um paralelogramo ângulos e lados opostos são congruentes e reciprocamente quando um quadrilátero possui lados opostos congruentes ou ângulos opostos congruentes ele é um paralelogramo Vimos também que em todo o paralelogramo as diagonais se bisseccionam isto é se interceptam em seu ponto médio Quando o quadrilátero é um retângulo suas diagonais são congruentes Todo o losango é um paralelogramo e os trapézios isósceles que não são paralelogramos possuem os pares de ângulos de suas bases congruentes Estabelecemos uma relação de inclusão entre os quadriláteros convexos aqui classificados Todo o quadrado é um losango e um retângulo Todos os retângulos e losangos são paralelogramos Todo o paralelogramo é um trapézio se considerarmos trapézio como quadrilátero que possui ao menos um par de lados paralelos e todo o trapézio é um quadrilátero convexo Semelhança de Triângulos O teorema Fundamental da Proporcionalidade nos garante que se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo corta os outros dois lados então ela os divide na mesma razão Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando é possível associar os seus vértices de modo que pares de ângulos sejam congruentes e os lados proporcionais Enunciamos e validamos três casos de congruência entre triângulos a saber o caso AA dois pares de ângulos congruentes garante a semelhança entre os triângulos o caso LAL dois pares de lados proporcionais e os ângulos comuns aos lados congruentes garante a semelhança entre os triângulos e o caso LLL três pares de lados proporcionais dois a dois são suficientes para garantir a semelhança entre os triângulos O caso AA em conjunto com proposições e axiomas anteriores nos permite demonstrar o teorema de Pitágoras o qual garante que em um triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos Circunferência Circunferência é um conjunto de pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância não nula dada Semicírculo é a intersecção do círculo com um dos semiplanos determinado pela reta suporte do diâmetro da circunferência Uma reta pode ser secante tangente ou exterior a uma circunferência A reta secante possui dois pontos em comuns à circunferência a reta tangente possui 1 ponto comum e a reta exterior não possui ponto comum Propriedades importantes A reta tangente forma com o raio um ângulo de 90º Posição entre duas circunferências Se O e O são circunferências temos O interno a O O tangente interno a O O e O são secante O tangente externo a O O externa a O Se de um ponto P externo a uma circunferência traçamos dois segmentos tangentes à circunferência esses dois segmentos são congruentes Se um quadrilátero é circunscrito a essa circunferência a soma dos lados opostos é igual a soma dos outros dois A medida de um arco é igual a medida do ângulo central correspondente A medida do ângulo inscrito é a metade do ângulo central correspondente Um ângulo inscrito em um semicírculo é um ângulo reto Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são suplementares A medida do ângulo de segmento é a metade da medida do arco correspondente A medida do ângulo excêntrico interior é a semissoma dos arcos determinados pelos seus lados e prolongamentos A medida do ângulo excêntrico exterior é a semidiferença das medidas dos arcos determinados por seus lados Áreas A área de uma superfície plana é um número real positivo Superfícies equivalentes têm áreas iguais Dois polígonos são equivalentes quando forem a soma de igual número de polígonos dois a dois congruentes entre si Todo paralelogramo é equivalente a um retângulo de base e altura congruentes ao paralelogramo Todo triângulo é equivalente a um paralelogramo de base congruente à do triângulo e altura sendo a metade da altura do triângulo A razão entre dois retângulos de bases congruentes ou alturas congruentes é igual à razão entre suas alturas ou bases 𝐀 𝟏 𝟐 𝐚𝐛 𝐬𝐞𝐧𝐂 𝐀 𝟏 𝟐 𝐚𝐜 𝐬𝐞𝐧𝐁 𝐀 𝐃𝐝 𝟐 𝐀 𝟏 𝟐 𝐛𝐜 𝐬𝐞𝐧𝐀 𝑨 𝑩 𝒃 𝒉 𝟐 𝑨 𝒑 𝒎 𝐀 𝛑𝐑𝟐 𝐀 𝛂𝐑𝟐 𝟐 ou 𝐀 𝛑𝐑𝟐𝛂 𝟑𝟔𝟎 ou 𝐀 𝒍𝐑 𝟐 𝐀 𝐑 𝟐 𝒍 𝐡 ou 𝐀 𝐑𝟐 𝟐 𝛂 𝐬𝐞𝐧𝛂 𝐀 𝛑𝐑𝟐 𝐫𝟐