Análise da Duração como Média Ponderada dos Pagamentos de Títulos

Duration como uma Média Ponderada dos Pagamentos de um Título Podemos reescrever a equação da duration como sendo observe que o termo entre colchetes resulta em uma soma igual a 1 Este fato está associado à definição do preço de um título pois cada um dos termos é uma proporção do preço do título representado pelo pagamento no período t Cada um dos termos em t i entre colchetes é multiplicado por seu período de ocorrência Portanto a duração é uma média ponderada pelo período de tempo do valor presente dos pagamentos como uma proporção do preço do título pesos maiores são dados aos períodos mais distantes t y P FC y tFC P D N t t t N t t t 1 1 1 1 1 Determinantes da Duração de um Título A sensibilidade do preço de um título a mudanças nas taxas de juros é influenciada por três fatores chave tempo para o vencimento taxa de cupom e retorno até o vencimento Estes determinantes da sensibilidade do preço são fundamentais no gerenciamento de carteiras de renda fixa BODIE et al 2002 As relações importantes entre estes fatores e a duração são ilustrados nas seguintes propriedades Determinantes da Duração de um Título As relações importantes entre estes fatores e a duração são ilustrados nas seguintes propriedades Propriedade 1 A duração de um título zero cupom é igual ao seu prazo de vencimento Podese deduzir então que um título que paga cupons tem uma duração menor que um título zerocupom levando à 2a propriedade Determinantes da Duração de um Título As relações importantes entre estes fatores e a duração são ilustrados nas seguintes propriedades Propriedade 2 Mantido constante o vencimento a duração de um título é maior quanto menor a taxa de cupom Analogamente quanto maior o cupom maiores são os pesos nos pagamentos mais recentes e menor é a média ponderada do vencimento dos pagamentos Determinantes da Duração de um Título As relações importantes entre estes fatores e a duração são ilustrados nas seguintes propriedades Propriedade 3 Mantida a taxa de cupom constante a duração de um título tende a em geral aumentar com o tempo para o vencimento A duração sempre aumenta com o vencimento para títulos negociados ao par ou com prêmio Determinantes da Duração de um Título As relações importantes entre estes fatores e a duração são ilustrados nas seguintes propriedades Propriedade 4 Mantidos os demais fatores constantes a duração de um título com cupom é maior quando o retorno exigido é menor Esta propriedade deriva do fato de que com retornos menores os pagamentos mais distantes feitos pelo título tem valores presentes relativamente maiores e respondem por uma fração maior do valor total do título Duration e Sensibilidade Volatilidade Definindo a Duração de outro modo como sendo a elasticidade do preço de um título com relação à sua taxa de desconto YTM nos ajuda a explicar porque a Duração pode ser usada para medir a volatilidade e o risco de um título BENNINGA 2000 Esta relação pode ser obtida à partir de uma relação simples para a derivada da expressão do valor presente LUENBERGER 1998 Para derivar esta interpretação tomemos a derivada do preço de um título com relação à taxa de juros atual lembrando que P y nM y tC D n t n t 1 1 1 1 então 1 D dy P dP y D D Duration e Sensibilidade Volatilidade A Duração pode ser entendida como um fator de desconto de elasticidade do preço de um título onde o fator de desconto é 1 YTM Podemos usar ainda a Duração como uma medida da volatilidade do preço de um título D YTM dYTM dP P no fator de desconto no preço do título 1 y dy D P dP 1 Duration de um título com pagamentos irregulares As fórmulas apresentadas até agora assumem que os pagamentos dos títulos são feitos em períodos regulares Este é o caso mais comum para valores mobiliários de renda fixa exceto para o primeiro pagamento BENNINGA 2000 Isto porque se um título é comprado em uma data diferente daquela para qual é previsto o pagamento do cupom então o período até o primeiro pagamento será diferente dos demais fazendo com que este título apresente pagamentos irregulares Nesta seção discutiremos dois aspectos deste problema O cálculo da duração deste título quando o YTM é conhecido Mostraremos que a duração tem uma fórmula simples relacionada com a duração de um título com pagamentos regulares e O cálculo do YTM de um título com pagamentos irregulares Duration de um título com pagamentos irregulares Considere um título com N pagamentos o primeiro dos quais ocorre no período 1 sendo os demais períodos regulares Na derivação que se segue mostraremos que a Duração deste título será dada pela soma de dois termos A duração de um título com N pagamentos em espaços de tempo regulares 1 Denotando então os pagamentos por Ca Ca1Ca2 CaN1 em que 0 1 o preço do título será dado por N t N t t t t t YTM C YTM YTM C P 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Duration de um título com pagamentos irregulares sendo a duração do título é dada por e reescrevendo esta última expressão como N t t t YTM C t P D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N t t t N t t t N t N t t t t t N t t t N t N t t t t t YTM tC YTM C D YTM C YTM tC YTM YTM C YTM YTM C YTM tC YTM P D Duration de um título com pagamentos irregulares O cálculo do YTM de um título com pagamentos irregulares Neste caso utilizaremos a função XTIR do Excel a qual fornece o YTM equivalente à TIR do título para períodos irregulares Duration de uma carteira Suponha que uma carteira com diversos títulos de vencimentos diferentes tenha sido montada Na verdade este portfólio equivale a um valor mobiliário de renda fixa pois recebe pagamentos periódicos mas devido às maturidades diferentes os pagamentos não são da mesma magnitude LUENBERGER 1998 O que podemos dizer sobre a Duração desta carteira Inicialmente vamos supor que todos os títulos tenham o mesmo retorno esta é uma suposição próxima da realidade pois os retornos tendem a seguir um mesmo padrão A duração do portfólio é então a soma ponderada das durações dos títulos individuais com os pesos sendo proporcionais ao preço de cada um dos títulos Duration de uma carteira Isto pode ser facilmente verificado para um portfólio consistindo de dois títulos A e B As durações são então o qual gera após a divisão por P PA PB B n k B k k B A n k A k k A P PV t D P PV t D 0 0 e N K B k A k k B B A A PV PV t P D D P 0 P D P P P D D B B A A Duration de uma carteira Portanto D é uma média ponderada das durações de títulos individuais como peso da duração de cada título sendo proporcional ao preço deste título Generalizando para um portfólio com m títulos em que i PiP i 1 2 m m m m D D D D P P P P 2 2 1 1 2 1 Duration de uma carteira A duração de uma carteira mede a sensibilidade à taxa de juros desta carteira do mesmo modo que a duração de um título individual Ou seja se o retorno muda em um montante pequeno o valor total da carteira irá mudar para aproximadamente o mesmo valor determinado pela equação relacionando preços à Duração Modificada Se os títulos que compõem a carteira têm diferentes retornos a duração composta definida acima ainda pode ser utilizada como uma aproximação Neste caso um retorno individual deve ser escolhido pode ser o retorno médio Então os valores presentes podem ser calculados com relação ao valor deste retorno individual embora estes valores presentes não sejam exatamente iguais ao preço dos títulos A Duração ponderada calculada anteriormente irá gerar a sensibilidade do valor presente total a mudanças no retorno que foi utilizado