Imunização e Gestão de Carteira de Títulos: Proteção Contra Riscos de Taxa de Juros

Imunização Um problema prático que surge na estruturação de uma carteira de títulos é a proteção desta carteira contra o risco de taxa de juros O procedimento de proteção é denominado imunização na medida em que imuniza os valores da carteira contra mudanças na taxa de juros Este procedimento e suas versões mais sofisticadas são na verdade um dos instrumentos analíticos mais utilizados na gestão de investimentos moldando portfólios de milhões de US em títulos de renda fixa gerenciados por fundos de pensão companhias de seguro e outras instituições financeiras LUENBERGER 1998 Imunização Supondo então que uma instituição tem a obrigação de entregar uma série de fluxos de caixa no futuro e que a mesma necessita adquirir uma carteira que será utilizada para pagar essas obrigações à medida que elas surgem este é um problema comum em seguradoras por exemplo Uma maneira de atender a esta necessidade consiste em adquirir um título zerocupom que têm vencimentos e valores de face que são equivalentes às obrigações individuais Imunização Entretanto uma solução simples como esta nem sempre está disponível no mercado Então se um ajuste perfeito não é possível podese adquirir alternativamente uma carteira com um valor igual ao valor presente do fluxo das obrigações Você pode vender parte de sua carteira quando necessitar de recursos para saldar uma obrigação em particular ou ainda comprar mais títulos se a carteira gera mais caixa do que o necessário em um período particular do tempo Se os retornos não mudam o valor da carteira será ao longo deste processo equivalente ao valor presente das obrigações remanescentes Imunização Todavia esta técnica apresenta problemas quando os retornos mudam O valor da carteira e o valor presente do fluxo de obrigações sofrem mudanças mas as magnitudes dessas variações serão diferentes Como conseqüência a carteira constituída não irá atender essas obrigações satisfatoriamente Imunização A Imunização busca resolver este problema por meio do ajuste das Durações e dos Valores Presentes da carteira e das obrigações Se a duração da carteira for equivalente à duração das obrigações então o valor da carteira e o valor presente do fluxo de obrigações irão responder de modo idêntico à uma mudança no retorno Mais especificamente se os retornos aumentam o valor presente da carteira de títulos cai mas o valor presente da obrigação cai em um montante aproximadamente igual Modelo Elementar de Imunização Considere a seguinte situação uma empresa tem uma obrigação futura Q um bom exemplo é uma empresa de seguros a qual sabe que tem que fazer um pagamento no futuro O valor presente desta obrigação é então dado por N r Q V 1 0 Modelo Elementar de Imunização Suponha agora que esta obrigação é garantida por um título que a empresa adquiriu Ou seja a empresa possui atualmente um título cujo valor VBé igual ao valor presente da obrigação V0 Se P1 P2 PM é o fluxo de pagamentos antecipados feitos pelo título então o valor presente do título é dado por M t t t B r P V 1 1 Modelo Elementar de Imunização supondo que a taxa de juros de mercado r mude para r r e usando uma aproximação linear de primeira ordem teremos que o novo valor da obrigação será dado por lembrando que uma aproximação linear de primeira ordem para uma função diferenciável é dada por 1 0 0 0 0 0 1 r N NQ r V r dr dV V V V dr dV r V x y x x F y F x x y x F 0 0 com que na relação anterior fazendo Modelo Elementar de Imunização Assim o novo valor da obrigação será dada por 1 e do título será dada por 2 1 0 0 0 0 0 1 N r NQ r V r dr dV V V V M i t t B B B B B r tP r V r dr dV V V V 1 1 1 Modelo Elementar de Imunização igualando 1 e 2 e lembrando que 1 1 0 1 1 1 N M t t t B r NQ r V r tP r V N B r Q V V 1 0 Modelo Elementar de Imunização Logo temse que Podese sintetizar esta relação na seguinte proposição BENNINGA 2000 uma condição necessária e suficiente para que o valor de mercado de um ativo seja igual ao valor de mercado de uma obrigação para quaisquer mudanças na taxa de desconto r é a de que a duração da obrigação Q seja igual à duração do ativo Uma obrigação contra a qual temse um ativo deste tipo é dita estar imunizada N r tP V r V N r tP M t t t B B M t t t 1 1 1 1 1 1 1 Modelo Elementar de Imunização Exemplo Suponha que uma empresa tem a obrigação de pagar 1 milhão em 10 anos e a mesma deseja investir dinheiro hoje para poder saldar esta obrigação no futuro A compra de um título zerocupom pode ser uma solução mas nem sempre tais títulos estarão disponíveis no mercado ao vencimento desejado assumiremos neste exemplo que não existam títulos zerocupom para este caso Modelo Elementar de Imunização A empresa tem à sua disposição 3 títulos com as seguintes características Título 1 Título 2 Título 3 Cupom 6 11 9 Vencimento anos 30 10 20 Preço 6918 11284 10000 YTM 900 900 900 Duração 1188 675 995 Modelo Elementar de Imunização A empresa considera utilizar inicialmente os títulos 2 e 3 para a construção de seu portfólio O primeiro passo consiste em calcular as durações as quais são equivalentes a D2 675 e D3 995 respectivamente Entretanto a duração da obrigação é de 10 anos e não existe a possibilidade de atender à mesma com uma mescla dos títulos 2 e 3 somente Então a empresa decide utilizar uma combinação dos títulos 1 e 2 pois encontrou D1 1188 fazendo com que o título 1 possa ser utilizado na estratégia de imunização Modelo Elementar de Imunização Em seguida o valor presente da obrigação é calculado ao YTM de 9 aa levando a VP R 42241081 O portfólio imunizado pode então ser determinado pela solução do seguinte sistema de equações de modo que os montantes V1 e V2 sejam investidos nos dois títulos A primeira equação estabelece que o valor total da carteira deve ser equivalente ao valor presente da obrigação ao passo que a segunda equação estabelece que a duração da carteira deve ser igual à duração 10 anos da obrigação A solução deste sistema gera V1 267694 e V2 1547168 O número de títulos a ser adquirido será determinado pela divisão entre esses valores e o respectivo preço do título assumindo um valor de face de 100 VP D V V D VP V V 10 2 2 1 1 2 1 Modelo Elementar de Imunização Os valores então são arredondados para o maior inteiro de modo a definir o portfólio Os resultados são apresentados na tabela abaixo YTM 8 9 10 Título 1 Preço R 7748 R 6918 R 6229 Quantidade 3870 3870 3870 Valor 29983242 26769400 24104537 Título 2 Preço R 12013 R 11284 R 10614 Quantidade 137117 137117 137117 Valor 16471942 15471680 14554263 Valor da Obrigação R 46319349 R 42241081 R 38554329 Excedente 135835 104470 Note que o valor presente da carteira iguala e até mesmo supera para taxas de retorno diferentes o valor presente da obrigação Modelo Elementar de Imunização A imunização gera proteção contra mudanças na taxa de juros Se a taxa de juros muda logo após a composição de uma carteira o novo valor da carteira será teoricamente bem próximo do valor futuro da obrigação Entretanto uma vez que os retornos mudam a carteira não estará completamente imunizada à nova taxa Nesse caso é desejável proceder com o ajuste ou reimunização da carteira de tempos em tempos Contudo a imunização simples apresentada no exemplo acima sofre de algumas limitações LUENBERGER 1998 pois a assume que os retornos são idênticos o que é difícil de ocorrer na prática pois usualmente títulos com prazo maior têm retornos maiores que títulos de curto prazo e b quando os retornos YTM mudam é improvável que os retornos em todos os títulos mudem na mesma magnitude dificultando então o ajuste da carteira Tais tópicos serão abordados adiante após a apresentação de conceitos relacionados à estrutura à termo da taxa de juros Convexidade A Duration Modificada mede a inclinação da curva preçoretorno em um determinado ponto Tal relação gera uma aproximação linear à curva preço juros que é útil como uma medida que quantificação e controle de risco Porém uma aproximação ainda mais precisa pode ser obtida pela inclusão de um termo de segunda ordem Convexidade Este termo de segunda ordem é denominado convexidade o qual representa a curvatura relativa de um determinado ponto na curva preçoretorno LUENBERGER 1998 Formalmente a convexidade é o valor C definido como sendo e lembrando que 2 2 1 dYTM P d P C 1 1 1 1 1 n N t t t YTM nM YTM tC dYTM dP Convexidade temos então fazendo com que a equação da convexidade possa ser expressa por 2 1 2 2 2 1 1 1 1 n N t t t YTM M n n YTM C t t dYTM P d N t n t t YTM M n n YTM C t t YTM P C 1 2 1 1 1 1 1 1 Convexidade Observe que a convexidade é expressa em unidades de tempo ao quadrado De modo geral se os fluxos de caixa ocorrem m vezes ao ano a convexidade é ajustada para um número anual como segue Convexidade em anos convexidade em m períodos por anom2 A convexidade é uma média ponderada de tt1 onde de modo semelhante à duração os pesos são proporcionais ao valor presente dos fluxos de caixa correspondentes O resultado é modificado pelo fator 11 YTM2 Convexidade Supondo então que a um preço P e um YTM correspondente a Duração Modificada e a Convexidade são calculadas Então se YTM é uma mudança infinitesimal no YTM e P é a mudança correspondente no preço temos que é a aproximação de segundaordem para a curva preço retorno lembrando que uma função f pode ser aproximada em uma região próxima a um dado ponto x0 usando as suas derivadas A aproximação de segunda ordem é definida então como sendo 2 2 YTM PC D P YTM P M 2 0 2 1 0 x x f x x f x f x Convexidade A convexidade pode ser usada então para aumentar a imunização de uma carteira na medida em que comparada com a imunização simples vista anteriormente um ajuste mais preciso é feito no valor da carteira em relação ao valor da obrigação à medida que o YTM varia De modo a considerar a convexidade na imunização devese estruturar a carteira de títulos de maneira que o valor presente a duração e a convexidade sejam iguais aos valores destes para a obrigação De modo geral pelo menos três títulos são necessários para esta estratégia