10 Questões - Cálculo 1

Escrevendo o polinômio px x4 158x3 220x2 368 como combinação linear de 1 x 6 x 62 x 63 x 64 temos px A 1 B x 6 C x 62 D x 63 E x 64 para certos números reais A B C D E Então o valor de D é igual a e o valor de p6 é igual a Considere a curva plana dada por y2 32x5 48x4 16x3 3504x2 5214x 1735 A equação da reta tangente a esta curva no ponto P 12 2 é da forma y mx c para certos coeficientes m c ℝ Quais os valores destes coeficientes m c Um varejista verificou que o custo em reais Cx para pedir e estocar x unidades de um determinado produto é Cx 100 x 961x se x 0 Qual é o tamanho do pedido em unidades que minimiza o custo Seja ℝx o conjunto de polinômios na variável x com coeficientes em ℝ Lembre que uma função T ℝx ℝx é uma transformação linear se ela leva combinações lineares em combinações lineares ou seja satisfaz Tapx bqx aTpx bTqx para quaisquer polinômios px qx ℝx e escalares a b ℝ Dentre as seguintes funções T ℝx ℝx qual delas NÃO é linear a Tpx dpxdx b Tpx dpxdx 2x c Tpx 10 dpxdx x²px d Tpx x³ dpxdx e Tpx 5px dpxdx 10 Seja αx mx c a função afim que melhor aproxima a função fx e⁴ˣ 37x 69 em torno de x 0 Qual o valor de m c Lembre que para todo inteiro n 0 1 x x2 x3 xn xn1 1 x 1 Utilizando este fato podemos calcular a soma 20 1 2 21 2 3 22 3 4 23 4 5 2241 242 243 O resultado é da forma N 2242 2 para algum inteiro N Qual Considere o polinômio fx x4 100x3 2501x2 100x 2500 O mdc máximo divisor comum entre fx e sua derivada fx é x 49 x 50 x 52 x 51 x 53 Seja rx o resto da divisão de x7672 10x 2025 por x2 x 1 Qual é a derivada drdx Lembre que a área do paralelogramo de vértices 0 0 A t 35 149 B t t 88 A B 2t 35 t 237 é dado pelo determinante fx det t 35 t 149 t 88 Qual o valor mínimo da área deste paralelogramo 3 Cx 100x frac961x x0 Para minimizar o custo devemos encontrar os pontos em que Cx 0 Derivando Cx 100x 96100x 100x 96100x1 Rightarrow Cx 100 961001x2 Rightarrow Cx 100 frac96100x2 Igualando a zero Cx 0 Rightarrow 100 frac96100x2 0 Rightarrow 100 frac96100x2 Rightarrow 100x2 96100 Rightarrow x2 961 Rightarrow x sqrt961 31 Portanto 31 unidades minimiza o custo Obs Nem sempre que a derivada de uma função fx for fx0 0 no ponto x0 x0 será um ponto de mínimo Melhor dizendo se fx0 0 então x0 poderá ser ponto de mínimo máximo Se ai são números reais tais que 1 4x611 1 a1 x a2 x2 a3 x3 para todo x com x 1 então 6 113 a3 é um inteiro igual a 4 SEJA S201221232241242243 OBSERVE QUE Ssumk0241 2kk1k2sumk0241 2kk23k2sumk0241 2kk23k2k22ksumk0241 k22k 3sumk0241 k2k 2sumk0241 2k A3B2C Defina Gxsumk0241 xk fracx2421x1 pela fórmula do enunciado Veja que Csumk0241 2kG2frac2242121 22421 Agora observe que Gxsumk0241 kxk1 Rightarrow xGx xsumk0241 kxk1 sumk0241 kxk B quando x2 xGx 2G2 sumk0241 k2k B Vamos calcular Gx Gx sumk0241 xk fracx2421x1 Rightarrow Gx frac242x241x1x2421x12 Portanto para x2 G2 2422241 22421 21212241 2242 1 1212242 2 1 1202242 1 Rightarrow B 2G2 2402242 2 Vimos que xGx sumk0241 kxk Rightarrow fracddx xGx sumk0241 kkxk1 sumk0241 k2 xk1 Rightarrow xfracddxxGx xsumk0241 k2 xk1 sumk0241 k2 xk Rightarrow A xfracddxxGx quando x2 Pela regra da multiplicação fracddx xGx Gxx 1Gx Rightarrow xfracddxxGxx2 Gx xGx Ou seja A22G2 2G2 Rightarrow A4G2 2402242 2 Calculando Gx Gx frac242x241x1 x242 1x12 frac242x 242x x 1x12 frac241x242 242x241 1x12 Rightarrow Gx frac242241x240 241242x239x12 2x1241x242 242x241 1x122 x2 Rightarrow G2 2422412240 2412422239 22412240 2422241 1 2422412240 2411212241 2412243 2422242 2 2412421212240 1212412243 2 2411212240 4802243 2 2411214802240 2 286812240 2 Portanto A4G2 2402242 2 4286812243 8 2402242 2 286812243 1202243 6 288012243 6 herefore S A 3B 2C 288012243 6 32402242 2 22242 1 288012243 6 3602243 6 2 291622243 2 583242242 2 RESPOSTA 58324 5 fx x4 100x3 2501x2 100x 2500 Dados dois polinômios px qx dizemos que x a a R divide px e qx se a é raiz de p e q isto é se pa 0 e qa 0 Em nosso caso px fx e qx fx Para determinar o mdc entre os dois vamos calcular fx fx 4x3 3100 x2 22501 x 100 4x3 300x2 5002x 100 Tombo Agora vamos analisar as alternativas para determinar o mdc Para facilitar as contas ao elevar ao quadrado ou cubo comecese com x 50 f50 504 100503 2501502 10050 2500 504 250503 2501502 2502 502 502502 2502 2501 2 1 502502 2500 502502 502 0 f50 4503 300502 500250 100 4503 650502 500250 250 504502 6502 5002 2 502502 5000 505000 5000 0 x50 é o mdc de f e f Obs Existem polinômios P1 P2 tais que fx x50P1x e fx x50P2x portanto x50 divide os dois e f50 f50 0 6 Vamos usar congruência modular escrevemos a b modm se existe k tal que a b mk ou a b mk No nosso caso temos x7672 10x 2025 rx modx2 x 1 pois x7672 10x 2025 rx gxx2 x 1 Então precisamos resolver observe que x2 x 1 modx2 x 1 pois x2 x 1 1x2 x 1 b Com isso x3 xx2 xx 1 x2 x x 1 x 1 modx2 x 1 isto é x3 1 modx2 x 1 Outra forma de ver isso x3 1 x 1x2 x 1 Agora note que 7672 3 2557 resto 1 ou seja 7672 32557 1 3k 1 logo x7672 x3k1 x3kx Com isso x7672 x32557 x 12557 x x modx2 x 1 ou seja x7672 x modx2 x 1 x7672 10x 2025 x 10x 2025 9x 2025 modx2 x 1 Por e a relação acima rx 9x 2025 drdx 9 7 fx det x35 x 149 x88 fx x35x88 x149 x2 88x 35x 3588 x149 x2 26x 3080 Para determinar o valor mínimo usaremos a derivada fx fx 2x 26 fx 0 2x 26 0 x 13 Minimo é ponto critico Portanto a área é mínima quando x 13 Agora vamos determinar o valor mínimo da área isto é f13 f13 132 26 13 3080 132 2 132 3080 132 3080 2911 Valor mínimo da área 2911 8 1 4x611 1 a1x a2x2 a3x3 x 1 Seja fx 1 4x611 A série 1 a1x a2x2 se refere a série de Taylor de f em torno de 0 fx sumk0oo fk0k xk em que fkx denota a derivada de ordem k de f e f0 f O termo a3 é dado por a3 13 f30 Logo precisamos calcular a derivada terceira de f em x 0 fx ddx1 4x611 61141 4x611 1 24111 4x511 fx 241151141 4x511 1 4801121 4x1611 fx 480112161141 4x1611 1 307201131 4x2711 Agora avaliando em x0 f0 307201131 02711 30720113 Logo a3 13 f0 16 30720113 A resposta 6 113 a3 6 113 16 30720113 30720 9 Vamos testar as alternativas ou dar um exemplo provando qual não é linear Sejam px qx Rx e a b R a Ta px b qx ddx a px b qx ddx a px ddx b qx a ddx px b ddx qx a Tpx b Tqx derivada da soma a é linear b Lembrese se T é uma transformação linear T0 0 A alternativa b NÃO é linear T0 ddx 0 2x 0 2x 2x 0 Alternativa b 10 fx e4x37x 69 x0 Equação da reta tangente y f0 f0 x 0 f0 x Calculando a derivada fx fx ddxe4x37x 69 ddxe4x 37x 69 e4x ddx37x 69 regra do produto 4e4x 37x 69 e4x 37 e4x437x 69 37 e4x148x 313 Em x 0 f0 e01480 313 313 m Calculando f0 f0 e0370 69 69 c y αx 313x 69 m c 313 69 382