Limites Cálculo 1

1 INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ CAMPO LARGO Professor Diego Manoel Panonceli CC Cálculo Estudante Curso Data Lista Limites 1 Seja fx x29 x3 Faça uma tabela com os valores de f nos pontos x 3 1 3 01 3 001 e nos pontos x 2 9 2 99 2 999 Relacione os valores de ε e de δ para cada valor tomando de x Faça um esboço do gráco e estime limx3 fx 2 Seja fx x22 x 2 Faça uma tabela com os valores de f nos pontos x 1 4 1 41 1 414 Relacione os valores de ε e de δ para cada valor tomando Faça um esboço do gráco e estime limx 2 fx 3 Seja fx 3x 1 e limx2 fx 7 Encontre δ para ε 0 01 pela denição Faça a interpretação geométrica 4 Seja fx 2x 2 e limx2 fx 6 Encontre δ para ε 0 02 pela denição Faça a interpretação geométrica 5 Seja fx x 1 e limx0 fx 1 Encontre δ para ε 0 1 pela denição Faça a interpretação geométrica 6 Seja fx 19 x e limx10 fx 3 Encontre δ para ε 1 pela denição Faça a interpretação geométrica 7 Seja fx 4x29 2x3 e estime o limx 3 2 fx Determine o quão próximo de 3 2 deve estar x para que fx esteja próxima do limiete encontrado com aproximação inferior a 0 001 Faça a interpretação geométrica 8 Prove pela definição os limites abaixo a lim x4 2x1 9 b lim x4 2x7 1 c lim x3 73x 2 d lim x2 72x 11 e lim x2 x2 4 9 Calcule os limites abaixo a lim x2 xx1x1 b lim x3 x3 x2 9x c lim x2 ³3x3 5x2 x 2 4x 3 d lim x3 1 x xx 32 e lim x3 x2 2x x 1 f lim x1 x4 1 x 1 g lim t2 t3 3t2 12t 4 t3 4t h lim t1 t3 t2 5t 3 t3 3t 2 i lim x1 3x2 x 2 2x2 x 3 j lim x2 x 2 ³3x3 5 1 l lim x3 x x 3 m lim x3 x x 3 n lim x2 x x2 4 o lim x3 1 x 3 p lim x9 x 9 x 3 q lim x4 3 x x2 2x 8 10 Calcule os limites a lim x2 3x2 2x 5 x2 3x 43 b lim x2 2x2 3x 2 6 4x c lim x2 x4 10x 4 x3 2x2 d lim x3 x3 6x 9 x3 8x 3 e lim x1 x3 3x 2 x4 4x 3 f lim xa x2 a2 x a g lim xa xn an x a h lim x1 x2 1 x 1 i lim x1 x 1 x 1 j lim x0 1 1 x x k lim x0 1 x 1 x x l lim x1 2x 1 x x 1 m lim x0 3x 4 x 4 x 1 1 n lim x6 4 x 10 2 10 x o lim x2 x2 x 2 x2 x 2 x 2 2 p lim x1 3x2 4x 2 1 x2 3x 6 2 q lim x1 x 1 ³2x 3 1 r lim x2 ³2 3x 2 1 ³2x 3 s lim x64 x 8 ³x 4 t lim x1 x 1 ³x 1 u lim x1 ³x 1 ⁴x 1 v lim x0 1 x 1 ³1 x 1 w lim x1 1 3x x 12 x lim x1 5x 2 x 1 y lim x3 1 2x x 3 z lim x2 2x2 3x 5 2 x3 aa lim x 3x3 4x2 3x 2 bb lim x 5x3 4x4 cc lim x 5x2 4x 3 dd lim x 3 2x 5x 1 ee lim x 4x 3 3x 2 ff lim x x2 4 x 1 2 gg lim x x3 1 x2 1 hh lim x x2 x 1 x 13 x3 ii lim x x 24 x 14 2x 33 jj lim x x2 1 x 1 ll lim x 2x2 3x 5 x4 1 mm lim x 2x2 3x 5 x4 1 nn lim x x2 3x 4 x oo lim x x2 3 4 x pp lim x x 4 x 2 qq lim x x2 1 x2 1 rr lim x x x x x ss lim x x ³x ⁴x 4x 1 12 Calcule os limites abaixo se existirem e se não existirem especifique a razão a fx x2 4 se x 2 4 se x 2 calcule lim x2 fx lim x2 fx e lim x2 fx 4 x2 se x 2 b fx 3x 2 se x 1 2 se x 1 calcule lim x1 fx lim x1 fx e lim x1 fx R 1 5 e não existe 4x 1 se x 1 c fx 2x2 3x 1 se x 2 1 se x 2 calcule lim x2 fx lim x2 fx e lim x2 fx R 1 1 e 1 x2 6x 7 se x 2 d fx x 1 x 1 calcule lim x1 fx lim x1 fx e lim x1 fx e fx x2 5x 4 x 1 calcule lim x1 fx lim x1 fx e lim x1 fx f fx 1 x2 se x 2 0 se x 2 calcule lim x1 fx lim x1 fx e lim x1 fx R 1 3 e não existe x 1 se x w 12 Seja f definida por fx 4x 3 se x 2 3x a se x 2 determine a ℝ para que exista lim x2 fx 13 Seja f definida por fx 3x 2 se x 1 3 se x 1 determine a ℝ para que exista lim x1 fx 5 ax se x 1 3 14 Verifique se as funções abaixo são contínuas a fx x 2 x2 x 2 b fx x4 1 x2 1 c fx x2 9 se x 3 5 se x 3 9 x2 se x 3 d fx 4 x se x 4 x se x 4 e fx 3x 1 se x 2 4 x2 se x 2 f fx 2x 1 se x 2 x 2 se 2 x 2 2 x se x 2 15 Ache o limite se existir a lim x1 2x2 x 3 3x2 8x 5 b lim x x2 5 2x 4 c lim y3 y 3 y3 27 d lim x13 3x 1 5 e lim x9 2x 6 x 9 f lim y5 25 y2 y 5 g lim x0 1 x 1 x2 h lim x0 x2 5 2x3 3x2 i lim x4 2x 16 x2 j lim x7 5 4 3x 7 x k lim x0 2 4x3 5x2 3x3 l lim x2 1 x 2 3 x2 4 m lim x5 x 1 x x 5 n lim x1 x 1 2x x2 1 o lim x 8x3 7x 2 7x3 3x2 5x2 p lim x x 1 x 16 Ache o limite se existir a lim x1 x3 x2 5x 1 b lim x1 x3 2x2 4x 3 c lim x2 4x3 2x2 2x 1 d lim x2 x2 5x 4 x2 5 e lim x2 x2 7x 10 x 2 f lim x3 x2 2x 3 x 3 g lim x1 x3 4x 3 x5 2x 1 h lim x6 x2 36 x 6 i lim x2 x5 32 x 2 j lim x3 x4 8x3 18x2 27 x4 10x3 36x2 54x 27 k lim x2 x 2 2 4 l lim x4 x 4 x 2 m lim x0 x 2 4 x n lim x1 2 3 x x 1 o lim x0 x x 1 1 p lim x4 1 2x 3 x 2 q lim x2 2x2 33x 2 2 3x2 5x 1 1 Respostas a 8 b 4 c 62 5 d 10 e 3 f 4 g 13 h 12 i 80 j 2 k 0 l 4 m 4 n 14 o 2 p 43 q 514 17 Ache o limite se existir a lim x2 3x2 x 1 f lim x2 x x 2 l lim x0 21x b lim x3 3x 4 x 2 g lim x2 x2 3x m lim x0 21x c lim x1 5x2 3x 2 3x 1 h lim x2 x2 3x n lim x0 4 1 21x d lim x3 5x2 x 10 x2 3x 2 i lim x2 3x x 2 o lim x0 4 1 21x e lim x3 1 x 3 j lim x2 3x x 2 Respostas a 9 b 1 c 2 d 26 e 1 f g 10 h 10 i j l 0 m n 4 o 0 18 Ache o limite se existir a lim x 5x3 3x2 2x 1 h lim x 2x2 1 x2 1 p lim x x2 x 1 x 1 b lim x 2x5 x4 2x2 1 i lim x 3x x2 3 q lim x 2x2 3x 5 x4 1 c lim x 3x4 2x2 1 j lim x 3x 3 5x2 2x 1 9x3 5x2 x 3 r lim x 2x2 3x 5 x4 1 d lim x 3x4 5x2 8 l lim x 2x3 5x2 8 4 s lim x x2 3x 4 x e lim x 5x3 3x 2 m lim x 5x3 2x2 1 x 7 t lim x x2 3x 4 x f lim x x2 3x 2 n lim x x2 x 1 x 13 x3 g lim x 2x3 3x 2 x 1 x2 x 3 o lim x x2 x 1 x 1 Respostas a b c d e f g h 2 i 0 j 13 l 0 m n 13 o 1 p 1 q 2 r 2 s 32 t 19 Calcule os limites a lim x2 3x2 4 x 2 h lim x 1 1xx3 o lim x0 1 3x2x b lim x1 ex 1 x 1 i lim x 1 1xx 2 p lim x x 4 x 1x 3 c lim x4 1ex2 5x 4 x 2 j lim x 1 1xx 3 q lim x x2 1 x2 3x2 d lim x1 log3 x2 3x 2 x2 5x 4 k lim x 1 4xx r lim x 2x 3 2x 1x e lim x3 ln x 3 x 1 2 l lim x 1 2x3x s lim x0 ln1 x 2x f lim x0 log x x3 x2 x m lim x 1 2x3x t lim x0 ln1 2x 3x g lim x 1 1x2x n lim x0 1 4x1x Respostas a 81 b e2 c e12 d 1 e ln 4 f 0 g e2 h e13 i e j e k e4 l e6 m e6 n e4 o e6 p e3 q e4 r e s 12 t 23 20 Calcule o Limite a lim x0 sin 9x x h lim x0 1 cos x x2 o lim x3 π2 1 cos x1 cos x b lim x0 sin 4x 3x i lim x0 6x sin 2x 2x 3 sin 4x p lim x 1 10xx c lim x0 sin 10x sin 7x j lim x0 cos 2x cos 3x x2 q lim x2 10x2 1 1 x 2 d lim x0 sin ax sin bx l lim x0 1 2 cos x cos 2x x2 r lim x3 4 x 35 1 x 3 e lim x0 tan ax x m lim x 2x 3 2x 1 x 1 s lim x2 5x 25 x 2 f lim x1 tan3 x 1 x 13 n lim xπ2 1 1 tan xtan x t lim x1 x 1 sin5 x 1 g lim x0 1 cos x x Respostas a 9 b 43 c 107 d ab e a f 164 g 0 h 12 i 27 j 52 l 1 m e n e o e p e10 q ln 10 r 25 ln 2 s 25 ln 5 t ln 3 20 21 Escrevas a equações das assíntotas das funções abaixo faça um esboço do gráfico da função a y 5 x 3 R x 3 é assíntota vertical e y 0 é assíntota horizontal b y 3x 1 x 1 R x 1 é assíntota vertical e y 3 é assíntota horizontal c y 2 x R x 0 é assíntota vertical e y 0 é assíntota horizontal d y 2 x 12 R x 1 é assíntota vertical e y 0 é assíntota horizontal e y 1 3 x 2 R x 2 é assíntota vertical e y 1 é assíntota horizontal 22 Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados faça um esboço do gráfico a fx x3x3 se x 3 1 se x 3 R Não é contínua b fx x2 9 x 3 se x 3 6 se x 3 R É contínua c fx 3x 5 em x 2 R É contínua d fx x2 5x 1 se x 2 x 3 se x 2 em x 2 R Não é contínua 7 e fx 2x 1 se x 3 3x 4 se x 3 em x 3 R É contínua f fx x2 3 se x 2 10 se x 2 em x 2 R Não é contínua g fx x21 x1 em x 1 R Não é contínua 1 Tabela de Valores Primeiro vamos calcular os valores de fx x2 9 x 3 para os pontos dados Note que fx pode ser simplificado da seguinte forma fx x2 9 x 3 x 3x 3 x 3 Quando x 3 podemos simplificar para fx x 3 Agora calculamos os valores Para x 31 f31 31 3 61 Para x 301 f301 301 3 601 Para x 3001 f3001 3001 3 6001 Para x 29 f29 29 3 59 Para x 299 f299 299 3 599 Para x 2999 f2999 2999 3 5999 Tabela de valores x fx 31 61 301 601 3001 6001 29 59 299 599 2999 5999 2 Relação entre 𝜖 e 𝛿 Queremos encontrar a relação entre 𝜖 e 𝛿 tal que se 0 x 3 𝛿 então fx 6 𝜖 Como fx x 3 temos fx 6 x 3 6 x 3 Portanto x 3 𝜖 Dado que x 3 𝛿 temos x 3 𝛿 Para satisfazer a condição fx 6 𝜖 podemos escolher 𝛿 𝜖 4 Estimativa do Limite Para estimar lim x3 fx observamos os valores de fx quando x se aproxima de 3 Da tabela de valores vemos que quando x se aproxima de 3 fx se aproxima de 6 Portanto lim x3 fx 6 2 Primeiro vamos simplificar a função fx fx x² 2x 2 Podemos fatorar o numerador como uma diferença de quadrados fx x 2x 2x 2 Quando x 2 podemos cancelar o termo x 2 fx x 2 x 2 Agora vamos calcular os valores de fx para os pontos dados 1 x 14 f14 14 2 14 1414 2814 2 x 141 f141 141 2 141 1414 2824 3 x 1414 f1414 1414 2 1414 1414 2828 x fx 14 2814 141 2824 1414 2828 Vamos estimar o limite quando x 2 limx2 fx limx2 x 2 2 2 22 21414 2828 Agora vamos analisar os valores de ϵ e δ para cada ponto 1 Para x 14 δ 14 2 14 1414 0014 ϵ f14 22 2814 2828 0014 2 Para x 141 δ 141 2 141 1414 0004 ϵ f141 22 2824 2828 0004 3 Para x 1414 δ 1414 2 1414 1414 0 ϵ f1414 22 2828 2828 0 Observamos que à medida que x se aproxima de 2 tanto δ quanto ϵ se aproximam de 0 Estimativa do limite limx2 fx 22 2828 3 Para encontrar δ para ϵ 001 usando a definição de limite precisamos garantir que se 0 x 2 δ então fx 7 ϵ Dado fx 3x 1 e limx2 fx 7 temos fx 7 3x 1 7 3x 6 3x 2 3x 2 Queremos que fx 7 ϵ então 3x 2 ϵ x 2 ϵ3 Dado ϵ 001 temos x 2 0013 x 2 1300 Portanto δ 1300 000333 5 Dado fx x 1 e limx0 fx 1 queremos encontrar δ tal que se 0 x 0 δ então fx 1 ϵ onde ϵ 01 Temos que fx 1 x 1 1 01 Isso significa que 01 x 1 1 01 Adicionando 1 a todos os lados obtemos 09 x 1 11 Elevando ao quadrado todos os lados obtemos 081 x 1 121 Subtraindo 1 de todos os lados obtemos 019 x 021 Como queremos 0 x δ precisamos encontrar um δ tal que δ x δ Como temos 019 x 021 podemos escolher δ como o menor dos dois valores absolutos ou seja δ min 019 021 019 Portanto se 0 x 019 então x 1 1 01 6 Para encontrar δ tal que fx 3 1 sempre que 0 x 10 δ onde fx 19 x precisamos resolver a desigualdade 19 x 3 1 Isso significa que 1 19 x 3 1 Adicionando 3 a todos os lados 2 19 x 4 Elevando ao quadrado todos os lados 4 19 x 16 Agora vamos resolver para x Subtraindo 19 de todos os lados 15 x 3 Multiplicando por 1 e invertendo os sinais de desigualdade 3 x 15 Graphs shown with plotted points and curves no visible text to extract 7 fx 4x2 9 2x 3 1 Simplifique a função Observe que o numerador é uma diferença de quadrados 4x2 9 2x2 32 2x 32x 3 Então podemos reescrever fx como fx 2x 32x 3 2x 3 Quando x 32 podemos cancelar o termo 2x 3 fx 2x 3 2 Calcule o limite Agora encontre o limite quando x se aproxima de 32 limx32 fx limx32 2x 3 Substitua x por 32 232 3 3 3 6 3 Determine a proximidade de x para fx estar próximo do limite Queremos que fx 6 0001 Como fx 2x 3 temos 2x 3 6 0001 2x 3 0001 00012 x 32 00012 x 32 00012 x 32 00005 Portanto x deve estar a menos de 00005 de 32 para que fx esteja a menos de 0001 do limite 6 Calculando as distâncias de 10 até as extremidades do intervalo 3 15 Distância até 3 10 3 7 Distância até 15 10 15 5 O menor desses valores é 5 Portanto podemos escolher δ 5 Isso significa que sempre que 0 x 10 5 temos 3 x 15 e portanto 19 x 3 1 8 a limx42x1 9 Para provar que limx42x1 9 precisamos mostrar que para todo ε 0 existe um δ 0 tal que se 0 x4 δ então 2x1 9 ε 1 Análise Preliminar Queremos que 2x1 9 ε Simplificando temos 2x 8 ε 2x 4 ε x 4 ε2 2 Escolha de δ Com base na análise preliminar escolhemos δ ε2 3 Prova Formal Suponha que 0 x 4 δ Então 2x1 9 2x 8 2x 4 Como x 4 δ ε2 temos 2x 4 2ε2 ε Portanto 2x1 9 ε Conclusão Para todo ε 0 existe δ ε2 tal que se 0 x 4 δ então 2x1 9 ε Portanto limx42x1 9 b limx42x7 1 Para provar que limx42x7 1 precisamos mostrar que para todo ε 0 existe um δ 0 tal que se 0 x 4 δ então 2x7 1 ε 1 Análise Preliminar Queremos que 2x7 1 ε Simplificando temos 2x 8 ε 2x 4 ε x 4 ε2 2 Escolha de δ Com base na análise preliminar escolhemos δ ε2 3 Prova Formal Suponha que 0 x 4 x 4 δ Então 2x7 1 2x 8 2x 4 Como x 4 δ ε2 temos 2x 4 2ε2 ε Portanto 2x7 1 ε Conclusão Para todo ε 0 existe δ ε2 tal que se 0 x 4 δ então 2x7 1 ε Portanto limx42x7 1 Limite C limx37 3x 2 Para provar este limite usando a definição εδ precisamos mostrar que para todo ε 0 existe um δ 0 tal que se 0 x 3 δ então 7 3x 2 ε 1 Simplifique a expressão 7 3x 2 7 3x 2 7 3x 2 9 3x 3x 3 3x 3 2 Relacione com ε Queremos que 3x 3 ε 3 Encontre δ em termos de ε Dividindo ambos os lados por 3 temos x 3 ε3 Portanto podemos escolher δ ε3 4 Demonstração Dado ε 0 escolha δ ε3 Então se 0 x 3 δ temos 7 3x 2 3x 3 3δ 3 ε3 ε Assim 7 3x 2 ε que é o que queríamos mostrar Limite D limx27 2x 11 Para provar este limite usando a definição εδ precisamos mostrar que para todo ε 0 existe um δ 0 tal que se 0 x 2 δ então 7 2x 11 ε 1 Simplifique a expressão 7 2x 11 7 2x 11 7 2x 11 4 2x 2x 2 2x 2 2 Relacione com ε Queremos que 2x 2 ε 3 Encontre δ em termos de ε Dividindo ambos os lados por 2 temos x 2 ε2 Portanto podemos escolher δ ε2 4 Demonstração Dado ε 0 escolha δ ε2 Então se 0 x 2 δ temos 7 2x 11 2x 2 2δ 2 ε2 ε Assim 7 2x 11 ε que é o que queríamos mostrar E x2 4 x 2x 2 x 2 x 2 Precisamos encontrar um limitante para x 2 Para isso vamos restringir o valor de x a um intervalo próximo de 2 Suponha que x 2 1 Isso implica que 1 x 2 1 1 x 3 3 x 2 5 Portanto x 2 5 Agora podemos escrever x2 4 x 2 x 2 x 2 5 Queremos que x2 4 ε então precisamos que x 2 5 ε x 2 ε5 Agora temos duas condições para x 2 1 x 2 1 2 x 2 ε5 Para satisfazer ambas as condições escolhemos δ min1 ε5 Assim se 0 x 2 δ então x2 4 x 2 x 2 ε5 5 ε Portanto provamos que para todo ε 0 existe um δ 0 neste caso δ min1 ε5 tal que se 0 x 2 δ então x2 4 ε Isso demonstra que limx2 x2 4 9 a limx2 2xx 1x 1 222 12 1 413 12 b limx3x3 x2 9x 33 32 93 27 9 27 45 c limx23x3 5x2 3x 2 4x 3 323 522 2 2 42 3 38 54 2 2 8 3 24 20 4 5 40 5 8 2 d limx31 x x x 32 Multiplicando pelo conjugado do numerador limx31 x x x 3 1 x x 1 x x2 limx31 x x x 31 x x2 limx3x2 x 1 x 31 x x2 limx3x 3x 2 x 31 x x2 limx3x 2 1 2x x2 3 2 1 3 32 572 552 12 1 e limx3 x2 2x x 1 32 23 3 1 9 6 4 34 f limx1 x4 1x1 limx1 x1x3 x2 x 1x1 limx1 x3 x2 x 1 13 12 1 1 4 g limt2 t3 3t2 12t 4t3 4t 23 322 122 423 42 8 12 24 48 8 00 Usando a regra de LHôpital limt2 3t2 6t 123t2 4 322 62 12322 4 12 12 1212 4 128 32 h limt1 t3 t2 5t 3t3 3t 2 13 12 51 313 31 2 1 1 5 31 3 2 00 Usando a regra de LHôpital limt1 3t2 2t 53t2 3 312 21 5312 3 3 2 53 3 00 Usando a regra de LHôpital novamente limt1 6t 26t 61 261 86 43 i limx1 3x2 x 22x2 x 3 312 1 2212 1 3 3 1 22 1 3 00 Usando a regra de LHôpital limx1 6x 14x 1 61 141 1 55 1 l limx3 xx 3 Quando x se aproxima de 3 pela direita x 3 se aproxima de 0 pela direita então x 3 é positivo e próximo de 0 Portanto xx 3 tende a limx3 xx 3 m limx3 xx 3 Quando x se aproxima de 3 pela esquerda x 3 se aproxima de 0 pela esquerda então x 3 é negativo e próximo de 0 Portanto xx 3 tende a limx3 xx 3 n limx2 xx2 4 limx2 xx 2x 2 Este limite não existe o limx3 1x 3 Quando x se aproxima de 3 pela esquerda x 3 se aproxima de 0 pela esquerda então x 3 é negativo e próximo de 0 Portanto x 3 se aproxima de 0 pela direita e 1x 3 tende a limx3 1x 3 p limx9 x 9x 3 limx9 x 3x 3x 3 limx9 x 3 9 3 3 3 6 q limx4 3 xx2 2x 8 limx4 3 xx 4x 2 limx4 x 3x 4x 2 Este limite não existe