Cálculo Envolvendo Limite Derivada

Instituto de Matemática IMUFRJ Cálculo Diferencial e Integral I P1 03052024 Prova A 10h 12h Nº 0000 BOA PROVA Q1 A função fx é derivável e atinge valor mí nimo y 0 em x 05 Assinale a equação da reta tangente ao gráfico de fx nesse ponto a y 0 b y 2x c y x d y 1 e y 2x 1 Q2 A figura abaixo representa os gráficos das funções F traço mais grosso e G traço mais fino que são respectivamente as derivadas das funções F e G Escolha a única alternativa correta a Não podemos garantir que Fd Gd mas isso pode ocorrer b Gx é crescente no intervalo a b c Em x c a taxa de variação instantânea de Fx é maior que a de Gx d Fx tem um valor máximo em x 0 e A reta tangente ao gráfico de Fx no ponto b Fb tem coeficiente angular negativo Q3 Julgue as afirmações I A taxa de variação média de uma função cons tante em um intervalo I é nula nesse intervalo II Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo I então ela é crescente no intervalo I III Se uma função é decrescente em um intervalo I então sua taxa de variação média é negativa em I É correto afirmar que a Apenas I e III são verdadeiras b Apenas I e II são verdadeiras c Apenas II e III são verdadeiras d Todas são verdadeiras e Todas são falsas Q4 Considere a função fx representada pelo gráfico abaixo 1 2 3 4 5 6 1 1 Assinale a única alternativa que corresponde com o gráfico da função f x 1 2 3 4 5 6 1 1 I 1 2 3 4 5 6 1 1 II 1 2 3 4 5 6 1 1 III 1 2 3 4 5 6 1 1 IV a I b II c IV d III e Nenhum Q5 Um empresário pretende criar uma nova em presa num estudo anterior foi verificada a possibili dade de serem contratados até 120 funcionários De acordo com a sua equipe contábil o lucro anual espe rado em função do número de funcionários contrata dos é dado por Lx x3 120x2 0 x 120 Qual o número de funcionários a contratar que maxi miza o seu lucro anual esperado a 80 b 70 c 75 d 90 e 85 Q6 O gráfico abaixo representa a função fx Assinale a alternativa onde todas as afirmações são verdadeiras 3 3 2 a lim x3 fx e lim x fx 2 b lim x3 fx e lim x fx 2 c lim x3 fx e lim x3 fx d lim x3 fx e lim x3 fx e lim x fx 0 e lim x fx 0 1 Q7 Em quantos pontos no gráfico da função fx x3 3x 12 sua reta tangente é paralela à reta y 3x 5 a Nenhum b 1 c 2 d 3 e 4 Q8 Sejam fx x2 9 e gx 2x 4 A derivada de hx fx gx é a hx x24x9 2x22 b hx 2x 2x42 c hx x24x9 x22 d hx x24x 2x22 e hx x24x9 2x42 Q9 Considere a dedução da derivada da função fx 2x3 pela definição formal de derivada Den tre as alternativas a seguir indique a única que cor responde à conclusão que chegamos durante essa de dução a 2xx32x3 x tende para 2 quando x tende a 0 b 2xx3 x tende para 2x quando x tende a 0 c 2xx3 x tende para 2 quando x tende a 0 d 2xx32x3 x é um limite indeterminado quando x tende a 0 logo a função não tem derivada e 2xx32x3 x tende para valores diferentes se x tende a 0 pela esquerda ou pela direita logo a função não tem derivada Q10 Seja a função fx representada pelo gráfico abaixo Assinale a única alternativa onde todas as afirmações são verdadeiras 3 2 2 a lim x3 fx 2 f 2 f 4 b lim x3 fx 2 f x 0 para x 3 c f x é constante para x 3 f3 2 d f x 0 para x 3 lim x3 fx 2 e f3 2 f x 0 para x 3 Q11 Considere a função hx x100100xgx Sabendo que g é derivável g1 1 e g1 1 Podemos afirmar que o valor de h1 é igual a a 99 b 0 c 99 d Nada podemos afirmar por não conhecermos a expressão algébrica de g e 199 Q12 A figura abaixo representa o gráfico de fx no intervalo 4 4 Considere as afirmações 3 2 1 1 2 3 I lim x0 fx e lim x2 fx II lim x0 fx e lim x0 fx III lim x0 fx e lim x2 fx a Estão corretas apenas II e III b Todas as afirmações estão corretas c Estão corretas apenas I e II d Apenas a II está correta e Apenas a III está correta Q13 Sejam f e g funções definidas e deriváveis para todo x R tais que f1 g1 fx gx para todo x 1 e f 1 g1 Marque a única al ternativa que é sempre verdadeira para todas as fun ções f e g que se encaixem nessas condições a fx gx quando x 1 e fx gx quando x 1 b fx gx quando x 1 e fx gx quando x 1 c fx gx para todo x 1 d fx gx para todo x 1 e f é crescente e g é decrescente Q14 Seja fx uma função derivável e considere hx fx 1x Sabendo que fx é positiva e decres cente no intervalo 1 o que sabemos sobre hx a hx é negativa e crescente no intervalo 1 b hx é positiva e crescente no intervalo 1 c hx é positiva e decrescente no intervalo 1 d hx é negativa e decrescente no intervalo 1 e hx atinge um valor máximo em 1 2