Álgebra Line

ATENÇÃO Afirmaçõesrespostas sem justificativas serão desconsideradas Escreva as resoluções de forma organizada e legível 1 Em cada item deste exercício são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V Verifique se W é um subespaço vetorial de V a V IR3 W xyz IR3 x y z 0 b V IR3 W xyz IR3 x y z 1 c V IR2 W xy IR2 x 0 d V IR3 W xyz IR3 x 3y z e V IR2 W xy IR2 y Q 2 Sejam os vetores u 2 3 2 e v 1 2 4 em IR3 a Escreva w 7 11 2 como combinação linear de u e v b O vetor 2 5 4 pode ser escrito como combinação linear de u e v Justifique c Para que valores de k o vetor w 8 14 k se escreve como combinação linear de u e v 3 Os conjuntos abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes Justifique Faça contas somente quando for realmente necessário a 10201 01021 23465 IR5 b 213 IR3 c 210 130 350 IR3 d 213 000 152 IR3 e 112 100 4612 IR3 f 111 231 312 001 IR3 4 Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços a W xyz IR3 x z 0 e x 2y 0 b W xyz IR3 x 2y 3z 0 c W xyzt IR4 x 2y z 0 e t 0 d W xyzt IR4 2x 2y 0 e t x z 5 Para cada um dos subconjuntos S V onde V é o espaço vetorial indicado encontrar o subespaço gerado por S isto é S a S 1021 V IR2 b S 111220 V IR3 c S 123002242 V IR3 d S 100101010011 V IR4 6 Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais a W xy IR2 2x 2y 0 b W xyzt IR4 2x 2y 0 e t x z c W 123002242 7 Considere as bases β u1u2u3 e γ w1w2w3 de IR3 relacionadas da seguinte forma w1 u1 u2 u3 w2 2u2 3u3 w3 3u1 u3 a Determine as matrizes de mudança de base Iβγ e Iγβ b Sabendo que uβ 1 2 3T determine o vetor u com relação à base γ 8 Considere a seguinte matriz de mudança da base β para a base β Iββ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 Encontre a vβ sabendo que vβ 1 2 3T b vβ sabendo que vβ 1 2 3T Observamos que o terceiro vetor é combinação linear dos dois primeiros 21020130102123465 Portanto o conjunto é LD b 213 IR3 Resolução Um único vetor nãonulo é sempre LI c 210130350 IR3 Resolução Todos os vetores pertencem ao plano z0 Três vetores em um espaço de dimensão 2 são sempre LD d 213000152 IR3 Resolução Contém o vetor nulo portanto é LD e 1121004612 IR3 Resolução Observamos que 4612 2112 6100 portanto LD f 111231312001 IR3 Resolução Quatro vetores em IR3 são sempre LD dimensão do espaço é 3 Exercício 4 Conjuntos de geradores a W xyz IR3 xz0 e x2y0 Resolução Resolvendo o sistema xz 2y z y z2 x2y Portanto W z z2 z z IR z1 12 1 z IR Um gerador 1 12 1 ou 2 1 2 eliminando frações b W xyz IR3 x2y3z0 Resolução x 2y 3z então W 2y3z y z y z IR y210 z301 y z IR Geradores 210 301 Resolução de Exercícios de Álgebra Linear Exercício 1 Verificação de subespaços vetoriais Para cada item verificaremos se W é subespaço de V testando a V R3 W x y z R3 x y z 0 Resolução Vetor nulo 0 0 0 W pois 0 0 0 0 Soma Se x1 y1 z1 x2 y2 z2 W então x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 y1 z1 x2 y2 z2 0 0 0 Produto por escalar Para α R αx αy αz αx y z α 0 0 Portanto W é subespaço de V b V R3 W x y z R3 x y z 1 Resolução Contraexemplo 1 0 0 W pois 1 0 0 1 1 mas 21 0 0 2 0 0 W pois 2 0 0 2 1 Portanto W não é subespaço de V c V R2 W x y R2 x 0 Resolução Contraexemplo 1 0 W mas 11 0 1 0 W Portanto W não é subespaço de V 1 d V R3 W x y z R3 x 3y z Resolução Vetor nulo 0 0 0 W pois 0 3 0 0 Soma Se x1 y1 z1 x2 y2 z2 W então x1 x2 3y1 y2 x1 3y1 x2 3y2 z1 z2 Produto por escalar Para α R αx 3αy αx 3y αz Portanto W é subespaço de V e V R2 W x y R2 y Q Resolução Contraexemplo 0 1 W mas π0 1 0 π W pois π Q Portanto W não é subespaço de V Exercício 2 Combinações lineares Dados u 2 3 2 e v 1 2 4 em R3 a Escreva w 7 11 2 como combinação linear de u e v Resolução Queremos α β tais que αu βv w 2α β 7 3α 2β 11 2α 4β 2 Resolvendo o sistema Da 1ª eq β 2α 7 Substituindo na 2ª 3α 22α 7 11 α 14 11 α 25 β 225 7 43 Verificando na 3ª eq 225 443 50 172 222 2 Sistema inconsistente Portanto w não é combinação linear de u e v 2 b O vetor 2 5 4 pode ser escrito como combinação linear de u e v Resolução Montamos o sistema 2α β 2 3α 2β 5 2α 4β 4 Da 1ª eq β 2α 2 Substituindo na 2ª 3α 22α 2 5 α 4 5 α 1 β 21 2 4 Verificando na 3ª eq 21 44 2 16 18 4 Sistema inconsistente Portanto não é possível c Para que valores de k o vetor w 8 14 k é combinação linear de u e v Resolução Montamos o sistema 2α β 8 3α 2β 14 2α 4β k Resolvendo as duas primeiras equações Da 1ª eq β 2α 8 Subs tituindo na 2ª 3α 22α 8 14 α 16 14 α 2 β 22 8 4 Substituindo na 3ª eq 22 44 4 16 12 k Portanto apenas para k 12 Exercício 3 Independência linear a 1 0 2 0 1 0 1 0 2 1 2 3 4 6 5 R5 Resolução Temos 3 vetores em R5 Como o número de vetores é menor que a dimensão do espaço podemos ter LI ou LD Analisando a matriz 1 0 2 0 1 0 1 0 2 1 2 3 4 6 5 3 Para cada um dos subconjuntos S V onde V é o espaço vetorial indicado encontrar o subespaço gerado por S isto é S a S 10 21 V IR2 b S 111 220 V IR3 c S 123 002 242 V IR3 d S 1001 0101 0011 V IR4 6 Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais a W xy IR2 2x 2y 0 b W xyzt IR4 2x 2y 0 e t x z c W 123 002 242 7 Considere as bases β u1 u2 u3 e γ w1 w2 w3 de IR3 relacionadas da seguinte forma w1 u1 u2 u3 w2 2u2 3u3 w3 3u1 u3 a Determine as matrizes de mudança de base Iβγ e Iγβ b Sabendo que uβ 1 2 3T determine o vetor u com relação à base γ 8 Considere a seguinte matriz de mudança da base β para a base β Iββ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 Encontre a vβ sabendo que vβ 1 2 3T b vβ sabendo que vβ 1 2 3T c W x y z t R4 x 2y z 0 e t 0 Resolução z x 2y e t 0 então W x y x 2y 0 x y R x1 0 1 0 y0 1 2 0 x y R Geradores 1 0 1 0 0 1 2 0 d W x y z t R4 2x 2y 0 e t x z Resolução x y e z t x então W x x t x t x t R x1 1 1 0 t0 0 1 1 x t R Geradores 1 1 1 0 0 0 1 1 Exercício 5 Subespaço gerado a S 1 0 2 1 V R2 Resolução Como os vetores são LI não múltiplos S R2 b S 1 1 1 2 2 0 V R3 Resolução S α1 1 1 β2 2 0 α β R α 2β α 2β α c S 1 2 3 0 0 2 2 4 2 V R3 Resolução Observe que 2 4 2 21 2 320 0 2 então S 1 2 3 0 0 2 Como esses dois vetores são LI geram um plano em R3 d S 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 V R4 Resolução Os vetores são LI portanto geram um subespaço de di mensão 3 em R4 S x y z x y z x y z R Exercício 6 Base e dimensão a W x y R2 2x 2y 0 Resolução x y então W x x x R 1 1 Base 1 1 dimensão 1 5 b W x y z t R4 2x 2y 0 e t x z Resolução Como visto no Exercício 4d W 1 1 1 0 0 0 1 1 Como os vetores são LI formam uma base Dimensão 2 c W 1 2 3 0 0 2 2 4 2 Resolução Como visto no Exercício 5c W 1 2 3 0 0 2 Esses vetores são LI formando uma base Dimensão 2 Exercício 7 Mudança de base Dadas as bases β u1 u2 u3 e γ w1 w2 w3 de R3 com w1 u1 u2 u3 w2 2u2 3u3 w3 3u1 u3 a Determine Iβ γ e Iγ β Resolução A matriz Iβ γ tem como colunas as coordenadas de wj na base β Iβ γ 1 0 3 1 2 0 1 3 1 Para Iγ β invertemos a matriz Iγ β Iβ γ1 1 0 3 1 2 0 1 3 1 1 Calculando a inversa 1 0 3 1 0 0 1 2 0 0 1 0 1 3 1 0 0 1 1 0 0 29 3 23 0 1 0 19 23 13 0 0 1 19 13 29 Portanto Iγ β 1 9 2 27 6 1 6 3 1 3 2 6 b Dado uβ 1 2 3 encontre uγ Resolução uγ Iγ βuβ 1 9 2 27 6 1 6 3 1 3 2 1 2 3 1 9 2 54 18 1 12 9 1 6 6 1 9 38 4 1 Exercício 8 Matriz de mudança de base Dada Iβ β 1 1 0 0 1 1 1 0 1 a Encontre vβ sabendo vβ 1 2 3 Resolução vβ Iβ β vβ Iβ β1vβ Calculando a inversa Iβ β 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 Então vβ 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 0 1 2 3 4 1 2 b Encontre vβ sabendo vβ 1 2 3 Resolução vβ Iβ βvβ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 2 3 1 2 0 0 2 3 1 0 3 1 1 4 7