Algebra Linear Transformações Lineares

Solução 1 Rotação em 45 no sentido antihorário R1xy Cos45 Sen45 Sen45 Cos45 x y 22 22 22 22 x y 22 x 22 y 22 x 22 y reflexão R2xy x y Logo Txy R2 o R1 xy R2 22 x 22 y 22 x 22 y Txy 22 x 22 y 22 x 22 y T10 22 22 22 10 22 01 T01 22 22 22 10 22 01 A matriz canônica de T T 22 22 22 22 solução 2 Consideremos T11 11 T20 02 Sujo xy a11 b20 x a 2b y a a y b 12 xy Logo xy y11 12 xy 20 Aplicando T Txy yT11 12 xy T20 Txy yx Por outro lado sejam T11 02 e T20 11 Sujo xy a11 b20 xy y11 12 xy 20 Aplicando T Txy y T11 12 xy T20 02 11 Txy 02y 12 xy 12 xy Txy 12 xy 12 x3y fórmula 3 Dai Tv 2 projvn v Tv v 2 projvn Tv v 2 vn nn n Como o plano tem equação xz0 então n 101 Logo Txyz xyz 2 xyz101 101101 101 Txyz xyz xz101 Txyz z y x 1 Seja T R2 R2 a transformação linear tal que Tv é a rotação de v em 45 graus no sentido antihorário seguida de uma reflexão através do eixo x Obtenha a matriz canônica de T 2 Obtenha duas transformações lineares diferentes que transformem o triângulo de vértices 0 0 1 1 e 2 0 no triângulo de vértices 0 0 1 1 e 0 2 3 Obtenha a matriz canônica T da transformação linear T R3 R3 que transforma um vetor v em sua reflexão Tv através do plano de equação x z 0 4 Considere a base α 100011011 de R3 Se a matriz de uma transformação linear T na base α é Tα 2 0 1 0 1 1 1 0 1 obtenha a matriz T1 da transformação inversa T1 na base canônica 5 Seja T Rn Rn uma transformação qualquernão necessariamente linear que satisfaz o seguinte TuTv uv para todos uv Rn Prove que T é uma transformação linear e que TuTv uv para todos uv Rn Daí T100 001 T010 010 T001 100 Portanto a matriz canónica T 0 0 1 0 1 0 1 0 0 solução 4 T100 2100 0011 1011 211 T011 0100 1011 0011 011 T011 1100 1011 1011 120 T002 T011 T011 011 120 T002 111 T001 12 12 12 T010 T011 T001 120 12 12 12 T010 12 32 12 Logo T 2 12 12 1 32 12 1 12 12 Como T1 T1 então vamos a determinan a inversa de T Por operações elementares 2 12 12 1 32 12 1 12 12 L1 x 12 L1 1 14 14 12 0 0 1 32 12 0 1 0 1 12 12 0 0 1 L2L1L2 L3L1L3 1 14 14 12 0 0 0 54 14 12 1 0 0 34 14 12 0 1 45 L2 L2 1 14 14 12 0 0 0 1 15 25 45 0 0 34 14 12 0 1 L3 34 L2 L3 L1 14 L2 L1 1 0 15 35 15 0 0 1 15 25 45 0 0 0 25 45 35 1 52 L3 L3 1 0 15 35 15 0 1 15 25 45 0 0 0 1 2 32 52 L1 15 L3 1 0 0 1 12 12 L2 15 L3 0 1 0 0 12 12 0 0 1 2 32 52 Portanto T1 1 12 12 0 12 12 2 32 52 solução 5 Como Tu Tv xv para todos uv Rn em particular v0 Tv 0 Tu u para todo u Rn Por outro lado Tu Tv2 uv Tu Tv Tu Tv uv uv Tu Tu 2 Tu Tv Tv Tv uu 2 uv vv Tu2 2 Tu Tv Tv2 u2 2 uv v2 2 Tu Tv 2 uv Tu Tv uv 1 Tuv Tu Tv2 Tuv Tu Tv Tuv Tu Tv Tuv Tuv Tu Tu Tv Tv 2 Tuv Tv 2 Tuv Tu 2 Tu Tv de 1 uv uv uu vv 2 uv v 2 uv u uu 2 uv vv uu vv 2 uv 2 uu 2 vu 2 uv 0 Daí Tuv Tu Tv2 0 Tu v Tu Tv Também Tk u k T u2 Tk u k T u Tk u k T u Tk u Tk u 2 k Tk u T u k2 T u T u k u k u 2 k k u u k2 uu 0 Daí Tk u k T u2 0 Tk u k T u Portanto T é linear