Álgebra Linear 2

Álgebra Linear II Notas de Aula - 30/11/2009 Profº: José Sérgio Domingues Universidade Estadual de Montes Claros - UNIMONTES Curso de Licenciatura Plena em Matemática Sumário 1 Diagonalização de Matrizes 1 2 Diagonalização de Operadores 2 3 Formas Bilineares e Quadráticas Reais 4 3.1 Formas Bilineares 4 3.2 Matriz de uma Forma Bilinear 5 3.3 Forma Bilinear Simétrica 6 3.4 Formas Quadráticas 7 4 Forma Canônica de Jordan 8 5 Teorema Espectral 10 5.1 Operadores Auto-Adjuntos 10 5.2 Teorema Espectral 10 6 Referências 11 1 Diagonalização de Matrizes Definição 1.1. Dizemos que uma matriz A, de ordem n, é diagonalizável, se existem matrizes P e D tais que A = PDP^{-1}, ou equivalente, D = P^{-1}AP, em que D é uma matriz diagonal. Teorema 1.2. Seja A uma matriz de ordem n que tem n autovetores L.I (V_1, V_2,...,V_n), associados a λ_1, λ_2,...,λ_n, respectivamente. Então, as matrizes P=[V_1 V_2 ... V_n] e D= diag(λ_1, λ_2, ..., λ_n) são tais que D = P^{-1}AP, ou seja, A é diagonalizável. Reciprocamente, se A é diagonalizável, então ela possui n autovetores L.I. Exemplo 1.3. Encontre as matrizes P e D, sendo A= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} e verifique que PDP^{-1}. Os autovalores encontrados são λ_1 = -1 e λ_2 = 3. Seus respectivos autoespaços associados são W_α | α ∈ ℝ = {α(1, 2) | α ∈ ℝ} e W_2 = {(α, -2α) | α ∈ ℝ}: Observe que V_1 = (1, 2) e V_2 = (1, -2) são autovetores L.I. Portanto, de acordo com o Teorema 1.2, temos que P= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} e D = diag(λ_1, λ_2). Além disso, A=PDP^{-1}, ou seja, A é diagonalizável. Teorema 1.4. Autovalores distintos possuem autovetores associados linearmente independentes (L.I.). Corolário 1.5. Se V é um espaço vetorial de dimensão n e T é um opendor linear que possui n autovalores distintos, então V possui uma base cujos vetores são todos autovetores de T. Em outras palavras, o corolário nos garante que, se conseguirmos encontrar tantos autovalores distintos quanto for a dimensão do espaço, podemos garantir a existência de uma base de autovetores. 2 Diagonalização de Operadores Definição 2.1. Dizemos que o operador linear T : V → V é um operador diagonalizável se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T. Portanto, de acordo com o corolário acima, para verificar se um operador linear é diagonalizável, basta mostrar que a matriz associada a esse operador possui n autovalores distintos. Exemplo 2.2. Verifique que T : R^3 → R^3 dado por T(x, y, z) = (3x−3y−4z, 3y+5z, −z), não é diagonalizável. A matriz associada a esse operador linear em relação à base canônica é | 3 -3 -4 | A = | 0 3 5 | | 0 0 -1 | portanto, o seu polinômio característico é dado por det(A−λI3) e seus autovalores são as soluções da equação característica det(A−λI3). Para o nosso exemplo, temos | 3 -3 -4 | | λ 0 0 | | 3−λ -3 -4 | A−λI3 = | 0 3 5 | - | 0 λ 0 | = | 0 3−λ 5 | | 0 0 -1 | | 0 0 λ | | 0 0 −1−λ | Então, P(λ) = 0 ⇐⇒ det(A−λI3) = (3−λ)^2(−1−λ) = 0 ⇐⇒ λ1 = 3 e λ2 = −1. • Para λ1 = 3, temos: (A−3I3) - | 0 -3 -4 | | x | | 0 | = | -3y - 4z = 0 | | 0 5 0 | | y | | 0 | | 5z = 0 | | 0 0 -4 | | z | | 0 | | -4z = 0 | ⇐⇒ x = α e y = z = 0. Portanto, W1 = {(α, 0, 0) | α ∈ R} = {α(1, 0, 0) | α ∈ R} Para λ2 = -1, temos: 3) v = 0 ⇐⇒ - - - Portanto, - -α, α) | α ∈ R} = - - Neste caso, temos apenas dois autovetores L.I para , e portanto não existe uma base de constituída só de autovetores de . Isto significa este operador não é diagonalizável. Exemplo 2.3. Mostre que onde + 4y, -x + 2y), é diagonalizável. De acordo com o que estudamos anteriormente, para mostrar que T é diagonalizável, basta verificar que a matriz associada a este operador linear possui o número de autovalores distintos igual a 2, pois neste caso, V = R^2 e dim(R^2) = 2. Pois bem, em relação à base canônica α, temos que A = [T]^α_α = | -3 4 | | -1 2 | Logo, det(A-λI2) = 0 ⇐⇒ det | -3-λ 4 | = 0 ⇐⇒ (−3−λ)(2−λ) + 4 = 0 | -1 2-λ | ⇐⇒ λ^2 + λ - 2 = ⇐⇒ λ1 = 1 e λ2 = -2. Como a matriz A possui dois autovalores distintos, pelo Corolário 1.5, V = R^2 possui uma base formada por autovetores de T. E portanto, pela Definição 2.1, T é diagonalizável. Exemplo 2.4. No exemplo anterior, vimos que λ1 = 1 ≠ λ2 = -2. O leitor pode verificar que dois autovetores linearmente independentes associados a λ1 e λ2 são, respectivamente, V1 = (1, 1) e V2 = (4, 1). Pelo Corolário 1.5, uma base de V = R^2 é β = {V1, V2}. Vamos encontrar [T] β_β e observar de que tipo ela será. Portanto, concluímos que [T] β_β = | 1 0 | | 0 -2 | que é uma matriz diagonal, onde a diagonal principal é formada exatamente pelos autovalores de T. Isso não ocorreu por acaso, na realidade, a definição formal de operador diagonalizável, vem da ideia de a partir de um operador linear T : V → V, conseguirmos encontrar uma base β de na qual a matriz do operador nesta base seja uma matriz diagonal, que é a forma mais simples possível de se representar um operador. 3 Formas Bilineares e Quadráticas Reais 3.1 Formas Bilineares Definição 3.1. Seja V um espaço vetorial real. Uma forma bilinear é uma aplicação definida por (v, w) ↦ B(v, w) tal que: i. Para w fixado, B(v, w) é uma forma linear em v, isto é, B(v1 + v2, w) = B(v1, w) + B(v2, w) e B(av, w) = aB(v, w) ii. Para v fixado, B(v, w) é uma forma linear em w, isto é, B(v, w1 + w2) = (v, w1) + B(v, w2) e B(v, aw) = aB(v, w) Exemplo 3.2. O produto usual de números reais, definido por P : R × R → R com (x, y) ↦ xy. Vamos verificar as duas propriedades para demonstrar que esta aplicação é bilinear. i. P(x1 + x2, y) = (x1 + x2)y = x1y + x2y = P(x1, y) + P(x2, y) P(ax, y) = axy = aP(x, y) ii. P(x Exemplo 3.3. Seja um espaço vetorial com produto interno ). O operador linear B : V X V → R definido por (v, w) ↦ v, w) é uma forma bilinear pelas propriedades de produto interno. 3.2 Matriz de uma Forma Bilinear Seja V um espaço vetorial e B : V X V → R uma forma bilinear. Se α = {v1, ..., vn} é uma base de V, podemos associar a B uma matriz ([B]α α , denominada matriz da forma bilinear , na base , da seguinte forma: Como α é base de V, tomando v, w ∈ V podemos escrever v = x1v1 + .. e = y1v1 + ... + Então, x1... xn] B(v1, v1) … B(v1, vn) ⋮ ⋱ ⋮ B(vn, v1) … B(vn, vn) ⋯ y1 ⋮ yn Portanto, B(v, w) = [v]α ⋅ [B]α α ⋅ [w]α Exemplo 3.4. Seja B : R² X a forma bilinear dada por , w) = −x1y1 + 2x2y1 + 5x2 onde e (y1, y2). Então, se α = { e1, e2} é a base canônica de R², temos: B(e1, e1) = B(1, 0), (1, 1 + 2 ⋅ 0 ⋅ 1 + 5 ⋅ 0 ⋅ 0 = −1 B(e2, e1) = B((0, 1) (1, 0)) = 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 ⋅ 0 = 2 B(e1 e2) = B(( 0), (0, 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 ⋅ 1 = 1 ⋅ 1 ⋅ 0 + 5 ⋅ 5 Então, [B]α α = e Exemplo 3.5. Seja −2 0 0 4 2 0 0 0 2 É possível associar a uma forma bilinear definida por (y1, y2, y3) = [x1 x2 x3 −2 0 0 y1 4 2 0 y2 0 0 0 y3 3.3 Forma Bilinear Simétrica Definição 3.6. Uma forma bilinear é denominada forma bilinear simétrica se , ∀ v, v, Exemplo 3.7. , onde é um produto interno em . Exemplo 3.8. dada por 1½ + 2x2y2, onde v = (x1, x2) e w = (y1, y2) (Verifique!). Exemplo 3.9. Vamos encontrar a matriz da forma bilinear acima, utilizando a base canônica α, [B]α α. No exemplo acima, V = R² ⟹ α = {e1, e2} é uma base de V. Logo, B(e1, 1, 0), (1, 0)) = −1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 = 0, 1)) = −1 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 ⋅ 1 = Então, [B]α α = Observação 3.10. Observe que a matriz da forma bilinear que encontramos acima é simétrica. Teorema 3.11. Uma forma bilinear R é simétrica se, e somente se, [B]α α é uma matriz simétrica. Observação 3.12. A demonstração do teorema acima é trivial, e fica a cargo do leitor. 3.4 Formas Quadráticas Definição 3.13. Seja V um espaço vetorial real e B : V X V → R uma forma bilinear simétrica. A função Q : V → R definida por Q(v) = B(v, v) é chamada forma quadrática associada a B. Exemplo 3.14. Seja B : R³ X R³ → R dada por B(v, w) = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3 + x1y2 + x2y1, onde v = (x1, x2, x3) e w = (y1, y2, y3). Facilmente, verifica-se que B é uma forma bilinear simétrica de R³. A forma quadrática associada associada a B é a função Q(v) = = x1² + 2x2² + 3x3² + x1x2 + x2x1 2x2² + 3x3² + 2x1x2 Exemplo 3.15. Associada ao produto interno usual de Rⁿ, B : Rⁿ X Rⁿ → R com B(v, w) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn (que obviamente é uma forma linear simétrica) está a forma quadrática Q(v), dada por Q(v) = B(v, v) = x1² + x2² + ... + xn² 4 Forma Canônica de Jordan Partição de uma Matriz em Blocos: Particionar uma matriz A qualquer em blocos, significa dividir esta matriz em submatrizes. Exemplo 4.1. Se A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & \pi & \sqrt{3} \\ 6 & -7 & 2 & -1 \\ -7 & -3 & -9 & 0 \end{pmatrix}, uma das possíveis subdivisões de A é A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & \pi & \sqrt{3} \\ 6 & -7 & 2 & -1 \\ -7 & -3 & -9 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{13} & A_{14} \end{pmatrix}, onde, A_{11} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & \pi \end{pmatrix}, A_{12} = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \end{pmatrix}, A_{13} = \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -7 & -3 \end{pmatrix} e A_{14} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}, são os blocos da subdivisão da matriz original A. Já estudamos que nem todo operador linear T : V \to V é diagonalizável, ou seja, nem sempre existe uma base de tal que a matriz é diagonal. Entretanto, para várias aplicações, é suficiente que exista uma base tal que a matriz tenha uma forma bem próxima da forma diagonal. Essa forma é denominada forma canônica de Jordan. Definição 4.2. Uma matriz , nxn, está na forma canônica de Jordan, se ela é da forma \begin{pmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\\ 0 & J_{\lambda_2} & 0 \\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\ 0 & 0 & J_{\lambda_k} \end{pmatrix}, em que J_{\lambda_j} = \begin{pmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\\ \cdots & \ddots & \cdots \\\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix} para . é chamado bloco de Jordan. Exemplo 4.3. A = \begin{pmatrix} \cdots \\\ \cdots \end{pmatrix} está na forma canônica de Jordan e é formada por dois blocos de Jordan, o primeiro sendo x e o segundo x . Exemplo 4.4. \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \end{pmatrix} está na forma canônica de Jordan e é formada por dois blocos de Jordan, ambos 2x2. Exemplo 4.5. C = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 \end{pmatrix} está na forma canônica de Jordan e é formada por apenas um bloco de Jordan. Exemplo 4.6. D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} está na forma canônica de Jordan e é formada por blocos x . Exemplo 4.7. \begin{pmatrix} \cdots \\\ 1 & -1 \end{pmatrix} não está na forma canônica de Jordan. Pois como os elementos da diagonal principal não são iguais, ela teria que ser formada por pelo menos dois blocos de Jordan e [-1] deveria ser um bloco de Jordan 1x1. 5 Teorema Espectral 5.1 Operadores Auto-Adjuntos Definição 5.1. Sejam U e V espaços vetoriais sobre R. Indicaremos por L(U, V ) o conjunto das transformações lineares de U em V e se U = V, o conjunto dos operadores lineares de U será denotado por L(U). Definição 5.2. Seja V um espaço vetorial euclidiano. Um operador T ∈ L(V ) se diz auto-adjunto se ⟨T (v), w⟩ = ⟨v, T (w)⟩ para quaisquer v, w ∈ V . Exemplo 5.3. Seja T ∈ L(R^2) dado por T (x, y) = ax + by, bx + cy. Vamos mostrar que T é um operador auto-adjunto. ⟨T (x, y), z, y)⟩ = ((ax + by, b⟨z, y)) = axz + byz + bxt + cyt. Por outro lado, ⟨(x, y), T (z, y))⟩ = ((, y) z + bt, bz + ct)⟩ = axz + bxt + byz + cyt. Portanto, ⟨T (x, ), (z, y)⟩ = ⟨(x, y)⟩ e consequentemente, T é um operador auto-adjunto. 5.2 Teorema Espectral Teorema 5.4 (Espectral). Para todo operador auto-adjunto T ∈ L(V ), sendo V um espaço vetorial de dimensão finita e munido de produto interno, existe uma base ortonormal {v1, v ,..., vn} ⊆ V formada por autovetores de T. 6 Referências [1] BOLDRINI, J. L (et al.). Álgebra Linear, 3ª edição. Editora Harbra ltda. São Paulo, 1980. [2] CALLIOLI, H. e ROBERTO C. Álgebra Linear e Aplicações - Nova Edição. [3] LIMA, E.L. Álgebra Linear, 7ª edição - Coleção Matemática Universitária - IMPA. [4] LANG, S. Álgebra Linear - Editora Edgar Blucher Ltda, SP. SANTOS, R.J. Introdução à Álgebra Linear - Editora UFMG - Belo Horizonte. [5] SANTOS, R.J. Álgebra Linear e Aplicações - Editora UFMG - Belo Horizonte.