Resumo das Seções 1 3 1 4 1 5 e 1 7 do Livro Álgebra Linear e Suas Aplicações

1.4 - A equação matricial Ax=b • Uma Combinação linear de vetores pode ser vista como o produto de uma matriz com um vetor. Deixa fixado: AX = | a1, a2, ..., am | x1 = x1a1 + x2a2 + ... + xmam | xn | Conjunto A matriz mxn . Combinação linear das Colunas a1, ..., am Colunas de A, tomando as correspondentes de X como peso. * Para isso, o número de Colunas de A deve ser igual ao número de componentes em X. • É possível escrever uma equação linear na forma do produto Ax. Ex.: x1 + 2x2 - x3 = 4 | 1 2 -1 | | X1 | = | 4 | -5x2 + 3x3 = 1 | 0 -5 3 | | X2 | = | 1 | | X3 | Equação matricial Teorema nº 3: Colunas de A são • A equação matricial "Ax=b" possui o mesmo conjunto das soluções da equação escrita x1a1 + x2a2 + ... + xmam=b o que passam a mesma, conjunto solução do sistema linear | a1 a2 ... am b | Existência de Soluções • Se b for combinação linear das Colunas de A, "Ax" tem solução. Nesse sentido, para que b pertença a conjunto a1, ..., am a equação Ax=b deve ser Consistente. • Na equação Ax=b, as colunas de A geram um plano que representa o conjunto de todas as combinações lineares das três colunas. Teorema nº 4 • Seja A uma matriz mxn. Para cada b em Rm a equação Ax=b tem solução. Cada b em Rm é combinação linear das colunas de A, estas colunas de A geram Rm. Coloca-se linearidade A tem: Se uma dessas afirmações é falsa, então as outras também têm como ser falsas. Calculo de Ax • Cada componente de Ax é a soma dos produtos de elementos de linha de A com as componentes correspondentes de X. Ex.: A = | 2 3 4 | | X1 | | 1 5 -3 | | X2 | | 6 2 8 | | X3 | => | 2X1 + 3X2 + 4X3 | |-X1 + 5X2 - 3X3 | | 6X1 + 2X2 + 8X3 | • b é uma Combinação linear de a1, ..., am se e somente se b pode ser escrito como o produto de matriz é uma linear representada pelo matriz dessa Colin. • G subconjunto de Rm gerado por a1, a2, ..., ap é o conjunto de todas as combinações lineares de {a1, a2, ..., ap}; Se b está em G, todos {a1, a2, ..., ap} basta b pode ser escrito como: b = x1a1 + x2a2 + ... + xpap. Descrição Geométrica de L {{a}} e L {{a1, a2}} • L {{a}} → Conjunto de todos os múltiplos escalares de b. Isso pode ser representado por uma reta contendo a e a origem. • L {{a1, a2}} → Se ambos não são múltiplos nem múltiplos, esse conjunto pode ser representado por um plano que contém o plano U, pelo O. Podemos dizer então, que ele contém as retas: Contendo O e a reta Colinear ao(0). • Propriedades do Produto Ax de matriz com vetor: a) A (u+v) = Au + Av b) A (cv) = c (Av) 1.5 - Conjuntos Solução de Sistemas Lineares: Sistemas Lineares Homogêneos • Um sistema linear é homogêneo quando Ax = 0. Esse sistema sempre tem pelo menos uma solução que é trivialmente aequação trivial que ocorre quando X = 0 (vetor nulo) • A equação Ax = 0 tem solução mais trivial, ou seja, á iné, vête(umájuda olhar o subvertical)quasedrida cois temos lumes limas veriações(livres). Ex: 1 0 -4/3 0 X1 - 4/3 X3 = 0 0 1 0 0 X2 = 0 0 0 0 0 X3 = X3 Ax = 0 assume uma solução para cada valor de X3 (vetórias ciclo). • Podemos escrever a solução do sistema afirmativa de uma forma: [4/3] X = [ 0 ] [-> X3 [X3] [ 1] Isso é representado como uma reta em R³. • Para uma equação homogênea Ax = 0, se a única solução for o vetor nulo, o conjunto solução será {0}, se tiver apenas uma variável o conjunto será uma reta passtrável a origem e se há duas ou mais variáveis livres será um plano constantes a origem. Forma Vetorial Paramétrica: • A equação vetorial paramétrica do plano pode ser escrita da forma: X = p + tv, (t e v em R) Assim, projetamos os parâmetros apenas sobre todas os eixos. A equação vetorial paramétrica será uma reta da forma X = t(a) (com t em R) • Digamos que um conjunto solução está na forma vetorial paramétrica. Quando ele é descrito por vetores Soluções de Sistemas Não-Homogêneos • A solução desse sistema pode ser escrita como um necther mais uma combinação linear arbitrária de vetores que satisfazem um sistema homogêneo correspom dente. Ex: 1 0 -4/3 -1 X1 - 4/3 X3 = -1 0 1 0 2 X2 = 2 0 0 0 0 0 = 0 X = [-1 + 4/3 X3] [ 2 + 0 ] [ X3] = [-1 ] [-2 + X3 4/3] • O conjunto solução é da forma: X = p + X3v. • Parece claro que neste contexto, um tipo de conjunto solução podemos representar através alguma quando p cuorno arreste de caso. Assim, o conjunto vetor a mesma reta paralela. A votação de Ax = 0 para um pleno portables contentrc com o conjurto p. Teorema 6: • O conjunto soluções de Ax = b será o conjunto de vectores na forma x = p + th, em que v é solição homogênea de Ax = 0. OB.: O Teorema se áplica quando Ax = b tem solução, quando não tem o conjunto solução é vazo. Algoritmo p/ obter o conjunto solução na forma vetorial paraimétrica: 1) Escalona a matriz para a forma escalonada reduzida. 2) Escrever as netrizes a partir de uma florma de vector. 3) Escreva uma solução no X com um netor qui represonte do not linhas. 4) Decomponha X em uma combinação linear de vectores. 1.7 - Independência linear • Um conjunto de vetores {V1pV2p} linearmente é independente se a única solução X1V1 + X2V2 + ... + XpVp = 0. è uma solução trivial, o é linearmente dependente se a equação apresenta solução não trivial. • Podemos detectar se um conjunto é linearmente indépamente construir uma equação de soluções livres, fazendo o xição como álgebra da matriz aumentada correspondente. • Para dedecção uma relação de dependência, a fazer atribuimos um valores reais p/ os sentráceis livres, e lançamos uma relação entre os vetores do conjunto. Ex: 1 0 -2 0 X1 - 2x3 = 0 1 1 0 0 X2 + X3 = 0 0 0 0 0 0 = 0 X3 é livre; o conjunto é linearmente dependente Uma das relação de dependência pode ser: X3 = 5 . * 10X1 - 5 192 + 5X3 = 0 Independência linear dos colunas da uma matriz • As colunas de um matriz são linearmente indepa- dentes se Ax = 0 no tiver solução trivial. Digitalizada com CamScanner