Exercícios Resolvidos Algebra Linear - Vetores Combinacao Linear e Transformacoes

FUNDAÇÃO PRESIDENTE ANTÔNIO CARLOS FUPAC UNIPAC Lafaiete NOME nome N DE CLASSE numclasse MATRÍCULA matricula TURMA turma PERÍODO TURNO turno PROFESSOR DISCIPLINA nomedisciplina ASSINATURA DO ALUNO Obs Todas as questões deverão constar a resolução caso contrário não serão aceitas 1 Em R4 sejam os vetores X1 1 2 1 1 X2 1 0 2 3 e X3 1 1 0 2 Verifique se é combinação linear do vetor X 2 1 5 5 2 Classifique os vetores em LD linear dependente ou LI linear independente Obs Faça as operações para provar sua resposta a X1 3 1 2 X2 1 2 1 e X3 1 1 2 b X1 1 2 3 X2 2 1 1 e X3 1 1 2 3 Determinar as coordenadas do vetor u 2 1 4 do R3 em relação as bases a Canônica b 1 1 1 1 0 1 1 0 1 4 Qual é a transformação linear T R2 R3 tal que T 1 0 2 1 0 e T 0 1 0 0 1 5 Qual é a transformação linear T R3 R2 tal que T 3 2 1 1 1 e T 00 1 0 0 6 Verifique se os vetores abaixo são ortogonais a X1 1 3 X2 3 2 b X1 4 6 X2 3 2 1 Para verificar se o vetor X é uma combinação linear dos vetores X1 X2 e X3 precisamos encontrar constantes a b e c tais que X aX1 bX2 cX3 Podemos escrever essa equação como um sistema de equações lineares a b c 2 2a c 1 a 2b 5 a 3b 2c 5 Resolvendo o sistema pelo método de Gauss Da equação 3 do sistema 1 obtemos a variável c logo c 1 3 2 𝑐 3 2 Da equação 2 do sistema 1 obtemos a variável b 2b 3 c logo b 2 Da equação 1 do sistema 1 obtemos a variável a a b c 2 logo a 1 Portanto o vetor X é uma combinação linear dos vetores X1 X2 e X3 com coeficientes a1 b2 e c1 2a Para determinar se os vetores X1 3 1 2 X2 1 2 1 e X3 1 1 2 são linearmente independentes LI ou linearmente dependentes LD podemos verificar se é possível escrever um dos vetores como combinação linear dos outros Vamos escrever essa verificação na forma de um sistema de equações lineares aX1 bX2 cX3 0 Onde 0 representa o vetor nulo 0 0 0 Podemos escrever esse sistema na forma de sistema 3a b c 0 a 2b c 0 2a b 2c 0 Resolvendo o sistema pelo método de Gauss Com o sistema final obtido temos que ele apresenta infinitas soluções Logo é LD 2b Para verificar se os vetores X1 1 2 3 X2 2 1 1 e X3 1 1 2 são linearmente independentes LI ou linearmente dependentes LD podemos escrever um sistema de equações lineares na forma aX1 bX2 cX3 0 onde 0 representa o vetor nulo 0 0 0 Isso é equivalente a escrever o sistema a 2b c 0 2a b c 0 3a b 2c 0 Resolvendo o sistema pelo método de Gauss Com o sistema final obtido a única solução para o sistema é a0 b0 e c0 Portanto os vetores X1 X2 e X3 são linearmente independentes LI Isso ocorre porque não foi possível encontrar uma combinação linear não trivial dos vetores que resulte no vetor nulo 3a A base canônica é formada pelos vetores unitários em cada uma das dimensões do espaço No caso de R3 a base canônica é dada pelos vetores e1 1 0 0 e2 0 1 0 e3 0 0 1 Para determinar as coordenadas do vetor u 2 1 4 na base canônica precisamos encontrar as constantes a b e c tais que u ae1 be2 ce3 Substituindo os valores temos 2 1 4 a1 0 0 b0 1 0 c0 0 1 Isso implica que a 2 b 1 c 4 Portanto as coordenadas do vetor u 2 1 4 na base canônica são 2 1 4 Ou seja o vetor já está expresso na base canônica 3b Para determinar as coordenadas do vetor u 2 1 4 na base 1 1 1 1 0 1 1 0 1 precisamos encontrar as constantes a b e c tais que u a1 1 1 b1 0 1 c1 0 1 Isso implica que temos o sistema de equações a b c 2 a c 1 a c 4 Resolvendo o sistema pelo método de Gauss Portanto temos que 2c 3 o que implica que c 32 Substituindo c 32 na segunda equação obtemos a c 1 o que implica que a 52 Substituindo a 52 e c 32 na primeira equação obtemos a b c 2 o que implica que b 1 Assim as coordenadas do vetor u 2 1 4 na base 1 1 1 1 0 1 1 0 1 são 52 1 32 4 Para definir uma transformação linear precisamos especificar como ela age em cada vetor da base canônica de R2 A base canônica de R2 é 1 0 0 1 Sabendo que T1 0 2 1 0 e T0 1 0 0 1 podemos definir T da seguinte forma Tx y xT1 0 yT0 1 x2 1 0 y0 0 1 Portanto a transformação linear T que satisfaz as condições dadas é Tx y 2x x y T321 11 e T001 00 Vemos que 321 e 001 são LI então podemos fazer xyz a321 b001 x 3a a x3 y 2a a y2 z a b b z x3 ou b z y2 Assim teremos duas possíveis transformações uma com a x3 e a outra com a y2 as duas corretas Txyz x3 T321 z x3 T001 Txyz x3 11 z x300 Txyz x3 x3 Ou se utilizarmos a y2 teremos de forma semelhante Txyz y2 y2 6a Para verificar se dois vetores são ortogonais precisamos calcular o produto escalar entre eles e verificar se o resultado é zero O produto escalar entre dois vetores x x1 x2 e y y1 y2 é dado por x y x1 y1 x2 y2 Portanto para verificar se os vetores X1 1 3 e X2 3 2 são ortogonais precisamos calcular o produto escalar entre eles X1 X2 1 3 3 2 3 6 9 O resultado não é zero portanto os vetores X1 e X2 não são ortogonais 6b Para verificar se os vetores X1 4 6 e X2 3 2 são ortogonais precisamos calcular o produto escalar entre eles X1 X2 4 3 6 2 12 12 24 O resultado não é zero portanto os vetores X1 e X2 não são ortogonais