Álgebra Linear - Exercícios Resolvidos sobre Espaços Vetoriais e Transformações Lineares

1 15 ponto Dados os vetores v1 1 3 2T v2 3 8 1T e v3 1 2 0T determine dim CA e dim NA 2 15 ponto Seja A 3 1 1 0 1 2 5 2 1 Qual a dimensão do espaço das colunas de A e do espaço nulo de A 3 10 ponto Inverta as matrizes se possível a A 1 2 1 2 1 2 1 2 1 b B 3 1 0 1 c C 3 2 1 2 4 10 ponto As colunas uma matriz quadrada são Linearmente Independentes Existe A1 Qual é dim CA 5 15 ponto Encontre uma base ortonormal para o espaço das colunas de A 1 0 1 0 1 0 1 0 1 6 20 pontos Mostre que T R2 R2 dada pela matriz A costheta sentheta sentheta costheta é uma transformação linear 7 15 ponto Calcule os autovalores da matriz A 3 1 2 1 1 Seja A 1 3 1 3 8 2 2 1 0 Temos A 1 3 1 3 8 2 2 1 0 L2 3 L1 L2 L3 2 L1 L3 1 3 1 0 1 1 0 5 2 1 3 1 0 1 1 0 5 2 L3 5 L2 L3 1 3 1 0 1 1 0 0 3 13 L3 L3 1 3 1 0 1 1 0 0 1 L2 L3 L2 L1 3 L2 L1 L1 L3 L1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Logo B1 132 381 120 é uma base para o espaçocoluna e portanto dim CA 3 Espaço Nulo Precisamos resolver o sistema A x 0 Do escalonamento temos o seguinte sistema equivalente x 0 y 0 z 0 Logo NA 000 e portanto dim NA 0 3 a Seja A 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Vejamos se a matriz A é invertível Temos detA 1 2 1 2 1 2 1 2 1 114 222 141 13 24 15 3 8 5 16 Como detA 16 0 então A é invertível x 3z 0 y 2z 0 onde obtemos x z y 2z z z Logo B 1 2 1 é uma base do espaço nulo de A e portanto dim NA 1 2 Seja A 3 1 1 0 1 2 5 2 1 Temos A 3 1 1 0 1 2 5 2 1 13 L1 L1 1 13 13 0 1 2 5 2 1 L3 5L1 L3 1 13 13 0 1 2 0 13 23 L3 13 L2 L3 1 0 1 0 1 2 0 0 0 L1 13 L2 L1 Logo B 305 112 é uma base do espaço coluna de A e portanto dim EA 2 Espaço nulo Precisamos resolver o sistema AX 0 Do escalonamento de A temos o seguinte sistema equivalente cálculo A¹ utilizando GaussJordan 1 2 1 1 0 0 L₂ 2L₁ L₂ 1 2 1 1 0 0 2 1 2 0 1 0 L₃ L₁ L₃ 0 3 4 2 1 0 1 2 1 0 0 1 0 4 0 1 0 1 13 L₂ L₂ 1 2 1 1 0 0 0 1 43 23 13 0 0 4 0 1 0 1 L₃ 4 L₂ L₃ 1 2 1 1 0 0 0 1 43 23 13 0 316 L₃ L₃ 0 0 163 1 53 43 0 0 1 1 516 14 316 L₂ 43 L₃ L₂ L₁ L₃ L₁ 1 2 0 1116 14 316 L₁ 2L₂ L₁ 0 1 0 14 0 14 0 0 1 516 14 316 1 0 0 316 14 516 0 1 0 14 0 14 0 0 1 516 14 316 A¹ Portanto A¹ 316 14 516 14 0 14 516 14 316 Obs Se A a b tal que detA 0 Então c d A¹ 1detA d b c a b seja B 3 1 0 1 Temos detB 3 1 3 0 3 0 1 como detB 0 então B é invertível Temos B¹ 13 1 1 13 13 0 3 0 1 Portanto B¹ 13 13 0 1 c seja C 3 2 1 2 Temos detC 3 2 6 2 8 1 2 como detC 8 0 então C é invertível C¹ 18 2 2 28 28 14 14 1 3 18 38 Portanto C¹ 14 14 18 38 Seja A uma matriz quadrada de ordem n tal que suas colunas são linearmente independentes Logo A é equivalente a matriz identidade de ordem n Portanto detA 0 Então existe A¹ Além disso dimCA n onde n é a ordem da matriz no caso n é o número de colunas de A Seja A 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Primeiro vamos encontrar uma base para o espaçocoluna de A A 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 Logo B 1 0 1 0 1 0 é uma base do espaço coluna de A Observe que os vetores da base B são ortogonais pois 101010 0 Logo basta normalizar para obtermos uma base ortonormal w₁ 101101 1012 12 0 12 w₂ 010010 0101 010 Portanto uma base ortonormal para o espaço coluna de A é dada por B 12 0 12 0 1 0 6 Seja T IR2 IR2 dada pela matriz A cos θ sen θ sen θ cos θ Vejamos que T é uma transformação linear Sejam ut x1 y1 vt x2 y2 IR2 λ IR Temos i Tut vt T x1 x2 y1 y2 cos θ sen θ sen θ cos θ x1 x2 y1 y2 x1 x2 cos θ y1 y2 sen θ x1 x2 sen θ y1 y2 cos θ x1 cos θ y1 sen θ x2 cos θ y2 sen θ x1 sen θ y1 cos θ x2 sen θ y2 cos θ x1 cos θ y1 sen θ x1 sen θ y1 cos θ x2 cos θ y2 sen θ x2 sen θ y2 cos θ Tut Tvt Logo Tutvt Tut Tvt ii Tλ ut cos θ sen θ sen θ cos θ λ x1 λ y1 λ x1 cos θ λ y1 sen θ λ x1 sen θ λ y1 cos θ λ x1 cos θ y1 sen θ λ x1 sen θ y1 cos θ λ x1 cos θ y1 sen θ x1 sen θ y1 cos θ λ Tut Logo Tλ ut λ Tut Portanto T é uma transformação linear 7 considere a matriz A 3 1 2 1 Temos pλ detAλI 3 λ 1 2 1 λ 3 λ 1 λ 2 3 3λ λ λ² 2 λ² 4 λ 5 Logo p λ λ² 4 λ 5 vamos achar as raízes de p λ λ 4 16 45 2 λ416 20 2 λ 4 4i 2 λ 1 2 i e λ 2 2 i Portanto os autovalores de A são λ 1 2 i λ 2 2 i